각속도

1. 개요

각속도는 시간 간격 동안 각의 변화를 나타내는 물리량으로, 회전하는 물체의 회전 속도를 나타낸다. 평균 각속도는 각 변위의 변화량을 시간 간격으로 나눈 값이며, 순간 각속도는 각을 시간으로 미분하여 정의된다. 각속도는 2차원에서는 유사 스칼라, 3차원에서는 유사 벡터로 표현되며, 오른손 법칙에 따라 방향이 결정된다. 강체 회전에서 모든 입자는 동일한 각속도를 가지며, 각속도와 위치 벡터의 외적을 통해 속도를 구할 수 있다. 각속도의 단위는 라디안 매 초(rad/s)이며, 원심력과 코리올리 힘과 같은 물리 현상과 관련이 있다.

2. 정의

속도와 마찬가지로, 특정 시간 간격 $\backslash Delta\; t\; =\; t\_2\; -t\_1$ 동안 각이 변한 정도 $\backslash Delta\; \backslash theta\; =\; \backslash theta\_2\; -\; \backslash theta\_1$의 비로부터 평균회전속력 $\backslash omega\_\{\backslash textrm\{av\}\}$를 정의할 수 있다.
:$\backslash omega\_\{\backslash textrm\{av\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\; \backslash theta\}\{\backslash Delta\; t\}$
여기서 시간 간격을 무한히 줄이면, 즉 각을 시간으로 미분함으로써 순간회전속력 $\backslash omega$를 정의할 수 있다.
:$\backslash omega\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; t\; \backslash rightarrow\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash Delta\; \backslash theta\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\; \backslash frac\{d\; \backslash theta\}\{d\; t\}$
유한한 회전은 벡터로 표현이 불가능하지만, 회전 무한소는 벡터로 표현할 수 있으므로, 이를 시간 무한소로 나눈것, 즉, 어떤 순간의 각을 시간으로 미분한것을 각속도 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$라 한다.
:$\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; =\; \backslash frac\{d\; \backslash boldsymbol\{\backslash theta\}\}\{d\; t\}$
질점의 위치 벡터를 , 속도 벡터를 라고 할 때, 질점의 원점에 대한 각속도 는
:$\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\; \backslash boldsymbol\{r\}\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{v\}$
로 정의된다. 여기서 는 위치 벡터의 크기 이며, 는 벡터 외적을 나타낸다.

2.1. 평균 각속도

속도와 마찬가지로, 특정 시간 간격 $\backslash Delta\; t\; =\; t\_2\; -t\_1$ 동안 각이 변한 정도 $\backslash Delta\; \backslash theta\; =\; \backslash theta\_2\; -\; \backslash theta\_1$의 비로부터 평균회전속력 $\backslash omega\_\{\backslash textrm\{av\}\}$를 정의할 수 있다.
:$\backslash omega\_\{\backslash textrm\{av\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\; \backslash theta\}\{\backslash Delta\; t\}$

2.2. 순간 각속도

속도와 마찬가지로, 특정 시간 간격 $\backslash Delta\; t\; =\; t\_2\; -t\_1$ 동안 각이 변한 정도 $\backslash Delta\; \backslash theta\; =\; \backslash theta\_2\; -\; \backslash theta\_1$의 비로부터 평균회전속력 $\backslash omega\_\{\backslash textrm\{av\}\}$를 정의할 수 있다.
:$\backslash omega\_\{\backslash textrm\{av\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\; \backslash theta\}\{\backslash Delta\; t\}$
여기서 시간 간격을 무한히 줄이면, 즉 각을 시간으로 미분함으로써 순간회전속력 $\backslash omega$를 정의할 수 있다.
:$\backslash omega\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; t\; \backslash rightarrow\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash Delta\; \backslash theta\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\; \backslash frac\{d\; \backslash theta\}\{d\; t\}$
유한한 회전은 벡터로 표현이 불가능하지만, 회전 무한소는 벡터로 표현할 수 있으므로, 이를 시간 무한소로 나눈 것, 즉, 어떤 순간의 각을 시간으로 미분한 것을 각속도 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$라 한다.
:$\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; =\; \backslash frac\{d\; \backslash boldsymbol\{\backslash theta\}\}\{d\; t\}$
질점의 위치 벡터를 , 속도 벡터를 라고 할 때, 질점의 원점에 대한 각속도 는
:$\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\; \backslash boldsymbol\{r\}\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{v\}$
로 정의된다. 여기서 는 위치 벡터의 크기 이며, 는 벡터 외적을 나타낸다.

2.3. 각속도 벡터

3차원 공간에서 움직이는 입자의 위치 벡터 r에 대해, 궤도 각속도는 크기가 r이 각도(단위 시간당 라디안)를 쓸어내는 비율이고, 방향이 r이 각도를 쓸어내는 순간적인 평면(즉, r과 v에 의해 형성된 평면)에 수직인 유사 벡터이다. 그러나 어떤 평면에도 수직인 방향이 두 개 있으므로, 각속도의 방향을 고유하게 지정하기 위해 오른손 법칙이 사용된다.

유사 벡터 $\backslash mathbf\{u\}$를 r과 v에 의해 형성된 평면에 수직인 단위 벡터로 하고 오른손 법칙을 만족시키면(즉, $\backslash mathbf\{u\}$의 위쪽에서 볼 때 순간적인 각 변위의 방향은 반시계 방향), 궤도 각속도 벡터는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\backslash omega\; \backslash mathbf\; u\; =\; \backslash frac\{d\backslash phi\}\{dt\}\backslash mathbf\; u=\backslash frac\{v\; \backslash sin(\backslash theta)\}\{r\}\backslash mathbf\; u,$

여기서 θ는 r과 v 사이의 각도이다. 외적을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash boldsymbol\backslash omega$
=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2}.

위의 방정식에서 접선 속도는 다음과 같이 구할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{v\}\_\{\backslash perp\}\; =\backslash boldsymbol\backslash omega\}\; \backslash times\backslash mathbf\{r\}$

각속도는 물체가 회전하는 평면에 대해 시계 방향 또는 반시계 방향 중 하나를 양으로, 다른 하나를 음으로 정의한다. 표준적으로 사용되는 오른손 좌표계에서는 각속도의 부호는 반시계 방향을 양으로 정의하고, 각속도의 방향은 오른손 법칙에 따라 회전면이 반시계 방향으로 보이는 방향으로 정해진다.

각속도는 종종 스칼라 또는 벡터로 취급되지만, 거울상 반전에 의해 방향이 바뀐다는 등의 성질로부터 엄밀히 말하면 유사 스칼라 또는 유사 벡터로 취급된다. 2차원 공간에서는 회전 평면의 축은 하나로 제한되므로 각속도는 유사 스칼라가 되고, 3차원 공간에서는 회전 평면의 축은 자유로운 방향을 향할 수 있으므로 각속도는 유사 벡터가 된다. 각속도의 절댓값(또는 노름)을 종종 각속도의 크기라고 부르지만, 문맥에 따라서는 각속도의 크기를 포함하여 단순히 "각속도"라고 부르는 경우가 있다.

3. 각속도와 속도의 관계

회전의 중심으로부터 $\backslash mathbf\{r\}$만큼 떨어진 물체의 속도 $\backslash mathbf\{v\}$와 각속도 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}$
특별히, 물체의 운동이 평면 상에서 이루어지는 경우엔 $\backslash mathbf\{r\}$과 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$가 수직이 되어 아래와 같이 각속도에 대해 식을 쓸 수도 있다.
:$\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{v\}\}\{|\backslash mathbf\{r\}|^2\}$
질점의 위치 벡터를 $\backslash mathbf\{r\}$ , 속도 벡터를 $\backslash mathbf\{v\}$ 라고 할 때, 질점의 원점에 대한 각속도 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$는
:$\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\; \backslash boldsymbol\{r\}\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{v\}$
로 정의된다. 여기서 $r$은 위치 벡터의 크기 $|\backslash mathbf\{r\}|$ 이며, $\backslash times$는 벡터 외적을 나타낸다. 이 정의는 다음과 같이 유도된다.

시간 $t$ 와 $t\text{'}$ 에서 질점의 위치 벡터를 각각 $\backslash mathbf\{r\}$, $\backslash mathbf\{r\text{'}\}$ 라고 하자. 이들이 이루는 각을 $\backslash phi$ 라 하면
:$|\backslash boldsymbol\{r\}\backslash times\backslash boldsymbol\{r\}\text{'}|\; =r\backslash ,\; r\text{'}\; \backslash sin\backslash phi$
이다. 시간 간격 $\backslash Delta\; t\; =\; t\text{'}\; -\; t$ 이 작을 때
:$\backslash boldsymbol\{r\}\text{'}\; =\backslash boldsymbol\{r\}\; +\backslash boldsymbol\{v\}\; \backslash Delta\; t\; +O(\backslash Delta\; t^2)$
:$r\text{'}\; =r+O(\backslash Delta\; t)$
:$\backslash sin\backslash phi\; =\backslash omega\; \backslash Delta\; t\; +O(\backslash Delta\; t^2)$
이므로, 벡터 외적에 대한 항등식 $\backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash equiv\; 0$을 사용하면
:$|\backslash boldsymbol\{r\}\backslash times\backslash boldsymbol\{v\}|\; \backslash Delta\; t\; +\; O(\backslash Delta\; t^2)\; =\; r^2\; \backslash omega\; \backslash Delta\; t\; +\; O(\backslash Delta\; t^2)$
을 얻고, 위 식의 양변에서 $\backslash Delta\; t$ 의 1차 항을 비교하여
:$|\backslash boldsymbol\{r\}\backslash times\backslash boldsymbol\{v\}\; |\; =r^2\; \backslash omega$
를 유도한다. 회전각 $\backslash phi\; =\; \backslash omega\backslash Delta\; t$ 의 방향을 회전축의 방향(즉, 오른나사의 진행 방향)과 일치하도록 정의하면, 정의식이 유도된다.

3.1. 2차원 평면에서의 각속도

2차원 평면에서 각속도는 크기만 가지는 유사 스칼라(pseudoscalar)로 표현된다. 각속도의 부호는 회전 방향을 나타내며, 반시계 방향은 양수, 시계 방향은 음수로 정의하는 것이 일반적이다.

평면에서 움직이는 입자의 일반적인 경우, 궤도 각속도는 선택된 원점에 대한 위치 벡터가 각도를 "쓸어내는" 비율이다. 원점 $O$에서 입자 $P$까지의 위치 벡터 $\backslash mathbf\{r\}$와 그 극좌표 $(r,\; \backslash phi)$를 고려하면 (모든 변수는 시간 $t$의 함수), 입자의 선속도 $\backslash mathbf\{v\}$는 반지름 성분 $\backslash mathbf\{v\}\_\backslash |$와 반지름을 넘는(또는 접선) 성분 $\backslash mathbf\{v\}\_\backslash perp$로 나눌 수 있다. 이때 각속도 ω는 시간에 대한 각 위치 변화율이며, 반지름을 넘는 속도로 계산할 수 있다.

:$$\backslash omega\; =\; \backslash frac\{d\backslash phi\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{v\_\backslash perp\}\{r\}.$$

여기서 반지름을 넘는 속도 $v\_\backslash perp$는 $\backslash mathbf\{v\}\_\backslash perp$의 부호가 있는 크기이며, 반시계 방향 운동에는 양수, 시계 방향 운동에는 음수이다. 선속도 $\backslash mathbf\{v\}$에 대한 극좌표를 취하면 크기 $v$(선속도)와 반지름 벡터에 대한 각도 $\backslash theta$가 주어지므로, $v\_\backslash perp\; =\; v\backslash sin(\backslash theta)$이고, 다음 식이 성립한다.

:$$\backslash omega\; =\; \backslash frac\{v\backslash sin(\backslash theta)\}\{r\}.$$

가장 간단한 경우인 반지름 $r$의 원운동에서 x축으로부터 각변위 $\backslash phi(t)$로 주어지는 위치에서 궤도 각속도는 시간에 대한 각도 변화율이다.

회전의 중심으로부터 $\backslash mathbf\{r\}$만큼 떨어진 물체의 속도 $\backslash mathbf\{v\}$와 각속도 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$사이에는 다음과 같은 관계가 있으며,
:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}$
물체의 운동이 평면 상에서 이루어지는 경우엔 $\backslash mathbf\{r\}$과 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$가 수직이 되어 아래와 같이 각속도에 대해 식을 쓸 수도 있다.
:$\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{v\}\}\{|\backslash mathbf\{r\}|^2\}$

3.2. 3차원 공간에서의 각속도

3차원 공간에서 각속도는 크기와 방향을 모두 가지는 유사 벡터로 표현된다. 회전 중심으로부터 $\backslash mathbf\{r\}$만큼 떨어진 물체의 속도 $\backslash mathbf\{v\}$와 각속도 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$ 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}$
:$\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$
=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2}.
위의 방정식에서 접선 속도는 다음과 같이 구할 수 있다.
:$\backslash mathbf\{v\}\_\{\backslash perp\}\; =\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; \backslash times\backslash mathbf\{r\}$

각속도의 방향은 순간적인 회전 평면에 수직이며, 오른손 법칙을 사용하여 결정된다. 오른손 좌표계에서는 반시계 방향을 양으로 정의하고, 각속도의 방향은 오른손 법칙에 따라 회전면이 반시계 방향으로 보이는 방향으로 정해진다.

각속도는 종종 스칼라 또는 벡터로 취급되지만, 거울상 반전에 의해 방향이 바뀐다는 성질 때문에 엄밀하게는 유사 스칼라 또는 유사 벡터로 취급된다. 2차원 공간에서는 회전 평면의 축이 하나로 제한되므로 각속도는 유사 스칼라가 되고, 3차원 공간에서는 회전 평면의 축이 자유로운 방향을 향할 수 있으므로 각속도는 유사 벡터가 된다.

4. 강체 회전

강체 회전의 경우, 강체 내 모든 입자는 동일한 각속도를 가진다. 강체의 각속도는 고정된 점을 기준으로, 강체에 고정된 좌표계의 회전으로 기술할 수 있다.

회전하는 세 개의 단위 좌표 벡터로 이루어진 좌표계가 주어지면, 세 벡터는 모두 각 순간 동일한 각속도를 가져야 한다. 이러한 좌표계에서 각 벡터는 일정한 스칼라 반지름을 가진 움직이는 입자로 간주될 수 있다.

오일러의 회전 정리에 따르면, 모든 회전하는 좌표계는 순간 회전축을 가지며, 이는 각속도 벡터의 방향이고, 각속도의 크기는 2차원 경우와 일치한다. 강체에 고정된 기준점 $\{\backslash boldsymbol\; r\_0\}$을 선택하면, 강체 내 임의의 점의 속도 $\backslash dot\; \{\backslash boldsymbol\; r\}$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash dot\; \{\backslash boldsymbol\; r\}=\; \backslash dot\; \{\backslash boldsymbol\; r\_0\}+\; \{\backslash boldsymbol\backslash omega\}\backslash times(\{\backslash boldsymbol\; r\}-\{\backslash boldsymbol\; r\_0\})$


고정된 점 O를 중심으로 회전하는 강체를 생각해 보자. 강체에 고정된 직교 단위 벡터 집합 $\backslash mathbf\{e\}\_1,\; \backslash mathbf\{e\}\_2,\; \backslash mathbf\{e\}\_3$로 구성된 기준틀을 만들고, 그 공통 원점을 O에 놓는다. 그러면 O를 중심으로 틀과 강체의 각속도 벡터는 다음과 같다.

: $\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\; \backslash left(\backslash dot\; \backslash mathbf\{e\}\_1\backslash cdot\backslash mathbf\{e\}\_2\backslash right)\; \backslash mathbf\{e\}\_3\; +\; \backslash left(\backslash dot\; \backslash mathbf\{e\}\_2\backslash cdot\backslash mathbf\{e\}\_3\backslash right)\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; +\; \backslash left(\backslash dot\; \backslash mathbf\{e\}\_3\backslash cdot\backslash mathbf\{e\}\_1\backslash right)\; \backslash mathbf\{e\}\_2,$


여기서 $\backslash dot\; \backslash mathbf\{e\}\_i=\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{e\}\_i\}\{dt\}$는 회전으로 인한 틀 벡터 $\backslash mathbf\{e\}\_i,\; i=1,2,3,$의 시간에 따른 변화율이다.

레온하르트 오일러는 오일러 각과 중간 프레임을 사용하여 각속도 유사 벡터의 성분을 처음으로 계산했다.
* 기준 프레임의 한 축(세차 축)
* 기준 프레임에 대한 이동 프레임의 교점선(장동 축)
* 이동 프레임의 한 축(고유 회전 축)

오일러는 각속도 유사 벡터의 이 세 축에 대한 투영이 각각의 연관된 각도의 도함수임을 증명했다(이는 순간 회전을 세 개의 순간 오일러 회전으로 분해하는 것과 같다). 따라서:

: $\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\; \backslash dot\backslash alpha\backslash mathbf\; u\_1+\backslash dot\backslash beta\backslash mathbf\; u\_2+\backslash dot\backslash gamma\; \backslash mathbf\; u\_3$

이 기저는 직교 기저가 아니며 사용하기 어렵지만, 이제 기저의 변환만으로 속도 벡터를 고정 프레임 또는 이동 프레임으로 변경할 수 있다. 예를 들어, 이동 프레임으로 변경하면:

: $\backslash boldsymbol\backslash omega\; =$
(\dot\alpha \sin\beta \sin\gamma + \dot\beta\cos\gamma) \hat\mathbf i+
(\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j +
(\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k

여기서 $\backslash hat\backslash mathbf\; i,\; \backslash hat\backslash mathbf\; j,\; \backslash hat\backslash mathbf\; k$는 이동하는 물체에 고정된 프레임에 대한 단위 벡터이다.

위치 벡터와 각속도의 벡터 외적은, 삼중 벡터곱 공식으로부터

:$\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; \backslash times\backslash boldsymbol\{r\}\; =\backslash boldsymbol\{v\}\; -\backslash frac\{\backslash boldsymbol\{r\}\}\{r^2\}(\backslash boldsymbol\{r\}\backslash cdot\backslash boldsymbol\{v\})$

이 된다. 동경 방향의 단위 벡터 를 도입하면

:$\backslash boldsymbol\{v\}\; =v\_r\; \backslash boldsymbol\{e\}\_r\; +\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; \backslash times\backslash boldsymbol\{r\}$

이다. 동경 방향의 속도 성분을 갖지 않을 때, 즉 원점으로부터의 거리가 변화하지 않을 때

:$\backslash boldsymbol\{v\}\; =\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\; \backslash times\backslash boldsymbol\{r\}$

이 된다. 특히 원점을 고정점으로 하는 강체 회전에서는, 단일의 각속도에 의해 모든 입자의 속도가 같은 형태로 표현된다.

5. 각속도 텐서

각속도는 텐서(tensor)로도 표현될 수 있다.

6. 단위

각속도의 단위는 각도의 단위와 시간의 단위의 비로 표현된다. 국제단위계(SI)에서 각도의 단위는 라디안(rad), 시간의 단위는 초(s)이므로, 각속도의 단위는 라디안 매 초(rad/s)가 된다. 각속도를 나타내는 기호로는 종종 그리스 문자의 ω 또는 Ω가 사용된다.

7. 관련 물리 현상

각속도와 관련된 물리 현상으로는 원심력과 코리올리 힘이 있다.