세계면

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1. 개요
2. 수학적 공식화
- 2.1. 보손 끈
  - 2.1.1. 세계면 계량 (World-sheet metric)
참조

1. 개요

세계면은 끈 이론에서 끈이 시공간을 따라 움직이면서 만들어내는 2차원 표면이다. 보손 끈 이론에서 세계면은 $d$ 차원 민코프스키 공간 $M$ 에 내장된 표면 $\Sigma$ 로 표현되며, 열린 끈과 닫힌 끈으로 구분된다. 세계면은 시간꼴 좌표 $\tau$ 와 공간꼴 좌표 $\sigma$ 를 가지며, 폴랴코프 작용을 정의하기 위해 세계면 계량 $\mathbf{g}$ 을 갖는다. 바일 변환은 계량 구조의 중복으로 간주되므로, 세계면은 계량의 등각류 $[\mathbf{g}]$ 를 갖춘 것으로 간주된다.

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세계면
개요
정의	끈 이론에서 끈이 움직이면서 그리는 2차원 표면
설명	점 입자의 경로인 세계선의 끈 이론 버전
프랑스어 명칭	입자: partcule ponctuelle (점 입자) 끈: corde 막: brane
참고	월드볼륨 (막 (brane)의 진화 묘사)
이론적 배경
관련 이론	끈 이론 M-이론
수학적 구조	2차원 다양체
물리적 의미
역할	끈의 시공간 내 움직임 묘사
관련 개념	시공간 시간 공간
역사적 맥락
초기 연구	레너드 서스킨드의 하드론 이중 대칭 이론 (1970)
추가 정보
관련 용어	세계선

2. 수학적 공식화

보손 끈 이론에서, 끈의 주위 공간 역할을 하는 것은 $d$ 차원 평탄 시공간 $M$ 이다. '''세계면''' $\Sigma$ 는 $M$ 에 내장된 2차원 표면 ( $\Sigma \hookrightarrow M$ )이며, 유도된 유도 계량은 모든 곳에서 $(-, +)$ 부호를 갖는다. 따라서 국소적으로 좌표 $(\tau,\sigma)$ 를 정의할 수 있는데, 여기서 $\tau$ 는 시간꼴, $\sigma$ 는 공간꼴이다.

스트링은 열린 끈과 닫힌 끈으로 분류된다. 열린 끈의 세계면 위상은 $\mathbb{R}\times I$ ( $I := [0,1]$ 는 닫힌 구간)이며, 전역 좌표 차트 $(\tau, \sigma)$ ( $-\infty < \tau < \infty$ , $0 \leq \sigma \leq 1$ )를 갖는다. 닫힌 끈^[3]의 세계면 위상은 $\mathbb{R}\times S^1$ 이며, '좌표' $(\tau, \sigma)$ ( $-\infty < \tau < \infty$ , $\sigma \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ )를 갖는다. 즉, $\sigma$ 는 $\sigma \sim \sigma + 2\pi$ 로 주기적인 좌표이다. 보통 $0 \leq \sigma < 2\pi$ 를 선택하여 중복을 제거한다.

2. 1. 보손 끈

보손 스트링은 고전적으로 다음과 같이 공식화된다.

우선, 스트링의 주위 공간 역할을 하는

d

차원 평탄 시공간

M

을 고정한다.

'''세계면'''

\Sigma

는

M

에 내장된 2차원 표면 (

\Sigma \hookrightarrow M

)이며, 유도된 유도 계량은 모든 곳에서

(-, +)

부호를 갖는다. 따라서 국소적으로 좌표

(\tau,\sigma)

를 정의할 수 있는데, 여기서

\tau

는 시간꼴,

\sigma

는 공간꼴이다.

스트링은 열린 끈과 닫힌 끈으로 분류된다. 열린 끈의 세계면 위상은

\mathbb{R}\times I

(

I := [0,1]

는 닫힌 구간)이며, 전역 좌표 차트

(\tau, \sigma)

(

-\infty < \tau < \infty

,

0 \leq \sigma \leq 1

)를 갖는다.

닫힌 끈^[3]의 세계면 위상은

\mathbb{R}\times S^1

이며, '좌표'

(\tau, \sigma)

(

-\infty < \tau < \infty

,

\sigma \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}

)를 갖는다. 즉,

\sigma

는

\sigma \sim \sigma + 2\pi

로 주기적인 좌표이다. 보통

0 \leq \sigma < 2\pi

를 선택하여 중복을 제거한다.

2. 1. 1. 세계면 계량 (World-sheet metric)

폴랴코프 작용을 정의하기 위해, 세계면은 '''세계면 계량'''^[4]을 갖추게 된다. 이는 부호수

(-, +)

를 가지며 유도된 계량과는 독립적이다.

바일 변환은 계량 구조의 중복으로 간주되므로, 세계면은 대신 계량의 등각류를 갖춘 것으로 간주된다. 그러면

(\Sigma, [\mathbf{g}])

는 부호수

(-, +)

를 가진 등각 다양체의 데이터를 정의한다.

참조

_[1] 서적 Conformal Field Theory
_[2] 논문 Dual-symmetric theory of hadrons, I.
_[3] 웹사이트 Lectures on String Theory http://www.damtp.cam[...] 2022-08-14
_[4] 서적 String Theory, Volume 1: Introduction to the Bosonic string

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