바일 변환

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1. 개요

바일 변환은 헤르만 바일이 1918년에 도입한 개념으로, 국소적으로 시공의 축척을 바꾸는 변환을 의미한다. 계량 텐서에 바일 도움변수를 곱하는 변환을 통해 정의되며, 등각 무게와 바일 접속 개념과 관련이 있다. 바일 변환 하에서 불변하는 바일 텐서에 대한 공식이 존재한다.

바일 변환

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 등각 무게
5. 바일 접속
6. 공식

2. 역사

헤르만 바일은 1918년에 게이지의 개념을 도입하여 전자기장을 기하학적으로 설명하려고 하였다. 바일이 도입한 게이지는 오늘날 바일 변환으로 일컬어지는 것으로, 국소적으로 시공의 축척을 바꾸는 변환이었다. (영어로 gauge^영어는 측도를 뜻한다.) 바일의 통일장론은 실패하였으나, 그의 등각 대칭의 도입은 살아남아 이후 끈 이론과 위상 양자장론 등의 초석을 이루게 되었다. 예를 들어, 끈 이론에서 근본적인 폴랴코프 작용은 바일 변환을 따른다.

3. 정의

계량 텐서 $g_{mn}$ 을 생각하자. 바일 도움변수(Weyl parameter^영어) $\Lambda(x)$ 가 주어지면, 바일 변환은 계량 텐서를 다음과 같이 바꾼다.

: $g_{mn}\mapsto(\exp\Lambda)g_{mn}$

4. 등각 무게

수량 $\varphi$ 는 바일 변환 하에서 다음과 같이 변환될 경우 컨포멀 가중치 $k$ 를 갖는다고 한다.

: $\varphi \to \varphi e^{k \omega}.$

따라서 컨포멀 가중치를 갖는 양은 특정 밀도 다발에 속한다. 컨포멀 차원도 참조하라.

5. 바일 접속

일반적인 레비치비타 접속은 바일 변환을 따르지 않는다. 바일 변환에 대해 공변하는 공변 미분을 정의하려면, 바일 접속(Weyl connexion^영어) (또는 등각 접속) $B_m$ 을 정의해야 한다. 레비치비타 접속 $A_m$ 이 주어지면, 바일 접속은 다음과 같이 변환한다.

: $B_m=A_m+\frac12\partial_m\Lambda$

이를 이용하여, 등각 무게 $k$ 를 가진 개체 (즉 $\phi\mapsto\phi\exp(k\Lambda)$ 와 같이 변환하는 개체)의 바일 공변 미분은 다음과 같다.

: $D_m=\partial_m+\frac12kB_m$

$\varphi$ 가 바일 변환 하에서 다음과 같이 변환될 경우 컨포멀 가중치 $k$ 를 갖는다고 한다.

: $\varphi \to \varphi e^{k \omega}.$

따라서 컨포멀 가중치를 갖는 양은 특정 밀도 다발에 속한다. 컨포멀 차원도 참고하라. $A_\mu$ 를 $g$ 의 레비-치비타 접속에 관련된 접속 1-형식이라고 할 때, 초기 1-형식 $\partial_\mu\omega$ 에도 의존하는 접속을 다음과 같이 도입할 수 있다.

: $B_\mu = A_\mu + \partial_\mu \omega.$

그러면 $D_\mu \varphi \equiv \partial_\mu \varphi + k B_\mu \varphi$ 는 공변적이며 컨포멀 가중치 $k - 1$ 을 갖는다.

6. 공식

다음 변환에 대해
: $g_{ab} = f(\phi(x)) \bar{g}_{ab}$
다음 공식들을 유도할 수 있다.
: $\begin{align}g^{ab} &= \frac{1}{f(\phi(x))} \bar{g}^{ab}\\\sqrt{-g} &= \sqrt{-\bar{g}} f^{D/2} \\\Gamma^c_{ab} &= \bar{\Gamma}^c_{ab} + \frac{f'}{2f} \left(\delta^c_b \partial_a \phi + \delta^c_a \partial_b \phi - \bar{g}_{ab} \partial^c \phi \right) \equiv \bar{\Gamma}^c_{ab} + \gamma^c_{ab} \\R_{ab} &= \bar{R}_{ab} + \frac{f$ f- f^{\prime 2}}{2f^2} \left((2-D) \partial_a \phi \partial_b \phi - \bar{g}_{ab} \partial^c \phi \partial_c \phi \right) + \frac{f'}{2f} \left((2-D) \bar{\nabla}_a \partial_b \phi - \bar{g}_{ab} \bar{\Box} \phi\right) + \frac{1}{4} \frac{f^{\prime 2}}{f^2} (D-2) \left(\partial_a \phi \partial_b \phi - \bar{g}_{ab} \partial_c \phi \partial^c \phi \right) \\R &= \frac{1}{f} \bar{R} + \frac{1-D}{f} \left( \frac{ff - f^{\prime 2}}{f^2} \partial^c \phi \partial_c \phi + \frac{f'}{f} \bar{\Box} \phi \right) + \frac{1}{4f} \frac{f^{\prime 2}}{f^2} (D-2) (1-D) \partial_c \phi \partial^c \phi\end{align}
바일 텐서는 바일 재스케일링 하에서 불변한다.