소피 제르맹 정리
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1. 개요
소피 제르맹 정리는 소피 제르맹이 증명한 정리로, 보조 소수 q가 특정 조건을 만족하면 x, y, z 중 적어도 하나는 p²으로 나누어떨어진다는 내용을 담고 있다. 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 경우에 대한 증명에 기여하며, 소피 제르맹은 100보다 작은 모든 소수에 대해 이 조건을 만족하는 보조 소수를 찾았다. 이 정리는 일반화되어 소피 제르맹 소수와 관련된 형태로 표현될 수 있으며, 증명 과정은 무한 강하법과 연관되어 추측된다.
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| 소피 제르맹 정리 | |
|---|---|
| 소피 제르맹 정리 | |
| 분야 | 수론 |
| 정리 이름 | 소피 제르맹 정리 |
| 명명자 | 소피 제르맹 |
| 발표 시기 | 19세기 초 |
| 내용 | |
| 내용 | 페르마의 마지막 정리의 특수한 경우에 대한 결과 |
| 관련 개념 | 소피 제르맹 소수 |
2. 정식화
소피 제르맹은 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 경우(즉, 가 를 나누지 않는 경우)가 특정 조건을 만족하는 보조 소수를 찾을 수 있는 모든 소수 에 대해 성립함을 보였다.
2. 1. 조건
소피 제르맹은 보조 소수 를 찾아 다음 두 조건을 만족하면 , , 중 적어도 하나는 으로 나누어떨어져야 함을 증명했다.# 두 개의 0이 아닌 거듭제곱이 모듈로 에서 1만큼 차이가 나지 않아야 한다.
# 자체가 모듈로 에서 거듭제곱이 아니어야 한다.
2. 2. 결론
구체적으로, 소피 제르맹은 보조 소수 를 찾아 다음 두 조건을 만족하면 , , 중 적어도 하나는 으로 나누어떨어져야 함을 증명했다.# 두 개의 0이 아닌 거듭제곱이 모듈로 에서 1만큼 차이가 나지 않아야 한다.
# 자체가 모듈로 에서 거듭제곱이 아니어야 한다.
반대로, 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 경우(즉, 가 를 나누지 않는 경우)는 하나의 보조 소수라도 찾을 수 있는 모든 소수 에 대해 성립해야 한다.
3. 역사
소피 제르맹은 100보다 작은 모든 소수에 대해 그러한 보조 소수 를 찾아냈다. 1823년 르장드르는 이 정리와 100보다 작은 소수 에 대한 적용을 제르맹의 업적으로 인정했다.[1]
4. 일반화
정수 X, Y, Z에 대해 p가 소피 제르맹 소수이고 Xp + Yp = Zp이면, X, Y, Z는 모두 p의 배수이다.
5. 증명에 대한 고찰
보조 소수 ''q''는 ''n''으로의 가분성과는 아무런 관련이 없으며, 페르마의 마지막 정리를 위반하는 ''x'', ''y'' 또는 ''z'' 중 하나를 반드시 나누어야 한다. 주어진 ''n''에 대해 보조 소수가 메르센 소수와 유사하게 임의로 커질 수 있다는 추측이 사실일 가능성이 높다. 소피 제르맹은 무한 강하법을 통해 일반적인 경우에 정리를 증명했을 가능성이 높다. 왜냐하면 ''x'', ''y'' 또는 ''z'' 중 적어도 하나가 무한 개의 약수로 나누어 떨어진다면 임의로 커져야 하고, 따라서 등식에 의해 모두 존재하지 않기 때문이다.[1]
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