소피 제르맹 소수

1. 개요

소피 제르맹 소수는 소수 p에 대해 2p+1도 소수일 때의 소수 p를 의미한다. 소피 제르맹 소수 p에 대해 2p+1은 안전 소수라고 불린다. 2, 3, 5, 11, 23 등과 같은 소수들이 소피 제르맹 소수에 해당하며, 2016년 2월에 발견된 2618163402417×2^1290000-1 (388342자리)이 현재까지 알려진 가장 큰 소피 제르맹 소수이다. 소피 제르맹 소수가 무한히 존재하는지는 아직 증명되지 않은 미해결 문제이다.

2. 정의

소수 p에 대해, 2p + 1도 소수일 때, p를 소피 제르맹 소수라고 한다. 예를 들어 23은 소수이고, 2 × 23 + 1 = 47도 소수이므로 23은 소피 제르맹 소수이다.

암호학에서는 p와 2p + 1이 모두 소수일 때, p를 소피 제르맹 소수라고 부르고, 2p + 1을 [[안전 소수]](safe prime^영어)라고 부른다.

현재까지 알려진 가장 큰 소피 제르맹 소수는 2016년 2월에 발견된 2618163402417 × 2^1290000 - 1 (388,342자리 수)이다. 소피 제르맹 소수는 무한히 많이 존재할 것으로 추측되지만, 아직 증명되지는 않았다.

1000보다 작은 소피 제르맹 소수는 다음과 같다.
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, …

3. 예시

예를 들어 23은 소수이고, 2 × 23 + 1 = 47 역시 소수이므로 23은 소피 제르맹 소수이다.

암호학에서는 p와 2p + 1이 모두 소수일 때, p를 소피 제르맹 소수라고 부르며, 2p + 1을 안전 소수(safe prime)라고 부른다. 따라서 앞의 예시에서 47은 안전 소수가 된다.

현재까지 알려진 가장 큰 소피 제르맹 소수는 2016년 2월에 발견된 2618163402417 × 2^1290000 − 1이며, 이는 388,342자리의 수이다. 소피 제르맹 소수가 무한히 많이 존재할 것으로 추측되지만, 아직 증명되지는 않았다.

1000보다 작은 소피 제르맹 소수는 다음과 같다.
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, …

4. 관련 성질

소피 제르맹 소수 $p$에 대해 $2p+1$ 또한 소수가 될 때, 이 $2p+1$을 안전 소수라고 한다.

4.1. 안전 소수

안전 소수 (safe prime)는 p와 2p+1이 모두 소수일 때 2p+1을 칭하는 용어다. 2000보다 작은 안전 소수는 다음과 같다.
5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, …

안전 소수를 겸하는 소피 제르맹 소수
1만보다 작은 자연수 중 소피 제르맹 소수이면서 안전 소수인 수는 다음과 같다.
5, 11, 23, 83, 179, 359, 719, 1019, 1439, 2039, 2063, 2459, 2819, 2903, 2963, 3023, 3623, 3779, 3803, 3863, 4919, 5399, 5639, 6899, 6983, 7079, 7643, 7823, …

4.2. 소피 제르맹 소수이자 안전 소수인 수

10,000보다 작은 자연수 중에서 소피 제르맹 소수이면서 동시에 안전 소수인 수는 다음과 같다.
5, 11, 23, 83, 179, 359, 719, 1019, 1439, 2039, 2063, 2459, 2819, 2903, 2963, 3023, 3623, 3779, 3803, 3863, 4919, 5399, 5639, 6899, 6983, 7079, 7643, 7823, …

5. 목록

1000보다 작은 소피 제르맹 소수는 다음과 같다.
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, …

6. 가장 큰 소피 제르맹 소수

현재까지 알려진 가장 큰 소피 제르맹 소수는 2016년 2월에 발견된 2618163402417×2^1290000-1 이다. 이 소수는 388342자리의 매우 큰 수이다. 소피 제르맹 소수가 무한히 많이 존재할 것이라고 추측되지만, 아직 수학적으로 증명되지는 않았다.

7. 미해결 문제

소피 제르맹 소수가 무한히 많이 존재하는지는 아직 증명되지 않았다. 그러나 무한히 많을 것으로 추측되며, 이는 수론의 주요 미해결 문제 중 하나이다.