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슈뢰딩거-HJW 정리

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목차

1. 개요

슈뢰딩거-HJW 정리는 섞인 양자 상태의 순화에 대한 정리이다. 섞인 양자 상태를 더 큰 힐베르트 공간에서의 순수 상태로 표현하는 순화는 유일하지 않으며, 보조 공간과 기저의 선택에 따라 달라진다. 섞인 양자 상태를 두 가지 다른 순수 상태 앙상블로 표현할 경우, 해당 순화들은 보조 공간에서 작용하는 유니터리 변환에 의해서만 다르다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.

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2. 섞인 양자 상태의 순화

\mathcal H_S가 유한차원 복소 힐베르트 공간일 때, \mathcal H_S에서 정의된 일반적인(섞인 상태일 수 있는) 양자 상태 \rho는 다음과 같이 분해될 수 있다.[18]

\rho=\sum_i p_i|\phi_i\rangle\!\langle\phi_i|

여기서 |\phi_i\rangle\in\mathcal H_S는 (반드시 상호 직교할 필요는 없는) 상태들이고, 계수들은 \sum_i p_i=1이고 p_i\ge0이다. 임의의 양자 상태는 적당한 \{|\phi_i\rangle\}_i과 \{p_i\}_i에 대해 이러한 방식으로 작성될 수 있다.

이러한 \rho는 순화될 수 있는데, 즉 더 큰 힐베르트 공간에서 정의된 순수 상태의 부분 대각합으로 표현된다. 더 정확하게는, (유한차원) 힐베르트 공간 \mathcal H_A과 \rho = \operatorname{Tr}_A(|\Psi_{SA}\rangle\!\langle\Psi_{SA}|)인 순수 상태 |\Psi_{SA}\rangle\in \mathcal H_S\otimes\mathcal H_A을 찾는 것이 항상 가능하다. 이를 만족시키는 상태 |\Psi_{SA}\rangle들은 모두 다음 형식이다.

|\Psi_{SA}\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle

여기서 \

2. 1. 순화의 유일성

두 순화 |\Psi\rangle, |\Psi'\rangle \in \mathcal H_S \otimes \mathcal H_A가 주어지면, 이들은 모두 위에 주어진 형태의 분해를 허용하므로, 항상 다음을 만족하는 유니터리 연산자 U : \mathcal H_A \to \mathcal H_A가 존재한다.[19]

|\Psi'\rangle = (I \otimes U) |\Psi\rangle

3. 정리

섞인 상태 \rho가 순수 상태 앙상블 \rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i| 및 \rho = \sum_j q_j |\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|로 두 가지 다르게 표현될 수 있다고 가정한다. 여기서 |\phi_i\rangle과 |\varphi_j\rangle는 상호 직교한다고 가정하지 않는다.

이러한 섞인 상태 \rho에 대해서는 두가지의 순화가 존재하며, 각 순화는 다음과 같다.[20][10]

:|\Psi_{SA}^1\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle

:|\Psi_{SA}^2\rangle=\sum_j\sqrt{q_j}|\varphi_j\rangle \otimes |b_j\rangle

집합 \{|a_i\rangle\}와 \

3. 1. 순화 1

섞인 양자 상태 \rho가 순수 상태의 앙상블로서 두 가지 다른 구현 \rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|, \rho = \sum_j q_j |\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|을 가진다고 가정하자. 여기서 |\phi_i\rangle들과 |\varphi_j\rangle들은 서로 직교한다고 가정되지 않는다. 그러면 섞인 상태 \rho의 두 가지 해당 순화는 다음과 같다.

  • 순화 1: |\Psi_{SA}^1\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle
  • 순화 2: |\Psi_{SA}^2\rangle=\sum_j\sqrt{q_j}|\varphi_j\rangle \otimes |b_j\rangle


\{|a_i\rangle\}과 \

3. 2. 순화 2

섞인 양자 상태 \rho를 순수 상태의 앙상블로 구현하는 두 가지 다른 방법 \rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|와 \rho = \sum_j q_j |\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|를 생각해보자. 여기서 |\phi_i\rangle와 |\varphi_j\rangle는 서로 직교하지 않아도 된다. 이 섞인 상태 \rho에는 다음과 같은 두 가지 순화가 대응된다.

  • 순화 1: |\Psi_{SA}^1\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle
  • 순화 2: |\Psi_{SA}^2\rangle=\sum_j\sqrt{q_j}|\varphi_j\rangle \otimes |b_j\rangle


여기서 \{|a_i\rangle\}와 \

참조

[1] 논문 Probability relations between separated systems
[2] 논문 A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix 1993-11
[3] 간행물 Stochastic quantum dynamics and relativity Helvetica Physica Acta 1989
[4] 논문 Properties of mixtures on non-orthogonal states
[5] 논문 Information theory and statistical mechanics. II
[6] 서적 Coming of Age with Quantum Information: Notes on a Paulian Idea Cambridge University Press
[7] 논문 What Do These Correlations Know about Reality? Nonlocality and the Absurd 1999
[8] Citation The Schmidt decomposition and purifications https://doi.org/10.1[...] Cambridge University Press
[9] 서적 The Theory of Quantum Information https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2018
[10] 논문 The Schrödinger-HJW Theorem 2006-02
[11] 논문
[12] 논문
[13] 간행물 Stochastic quantum dynamics and relativity Helvetica Physica Acta 1989
[14] 논문
[15] 논문
[16] 서적
[17] 논문
[18] 인용 The Schmidt decomposition and purifications https://doi.org/10.1[...] Cambridge University Press
[19] 서적 https://www.cambridg[...]
[20] 논문


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