슈뢰딩거-HJW 정리

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1. 개요
2. 섞인 양자 상태의 순화
- 2.1. 순화의 유일성
3. 정리
- 3.1. 순화 1
- 3.2. 순화 2
참조

1. 개요

슈뢰딩거-HJW 정리는 섞인 양자 상태의 순화에 대한 정리이다. 섞인 양자 상태를 더 큰 힐베르트 공간에서의 순수 상태로 표현하는 순화는 유일하지 않으며, 보조 공간과 기저의 선택에 따라 달라진다. 섞인 양자 상태를 두 가지 다른 순수 상태 앙상블로 표현할 경우, 해당 순화들은 보조 공간에서 작용하는 유니터리 변환에 의해서만 다르다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.

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슈뢰딩거-HJW 정리
개요
유형	양자 정보 이론의 정리
분야	양자 역학, 양자 정보 과학
발견자	에르빈 슈뢰딩거 알렉산더 홀레보 마이클 우딩 벤자민 슈마허
발견 연도	1936년 (슈뢰딩거), 1998년 (HJW)
내용
내용	주어진 양자 앙상블에 대해, 해당 앙상블을 생성하는 무한히 많은 방법이 존재함. 즉, 동일한 밀도 행렬은 여러 다른 앙상블로 표현될 수 있음.
중요성	양자 상태를 해석하는 데 있어서, 밀도 행렬은 앙상블의 유일한 설명이 아니라는 점을 강조함. 이는 양자 역학적 상태에 대한 베이즈 확률적 해석과 관련됨.
관련 개념	양자 얽힘 밀도 행렬 양자 측정 앙상블 (물리학)
참고 문헌
주요 논문	슈뢰딩거, E. (1936). Probability relations between separated systems. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 32(3), 446–452. Hughston, L. P., Jozsa, R., & Wootters, W. K. (1993). A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix. Physics Letters A, 183(1), 14–18.
관련 인물
관련 인물	에르빈 슈뢰딩거 알렉산더 홀레보 벤자민 슈마허

2. 섞인 양자 상태의 순화

$\mathcal H_S$ 가 유한차원 복소 힐베르트 공간일 때, $\mathcal H_S$ 에서 정의된 일반적인(섞인 상태일 수 있는) 양자 상태 $\rho$ 는 다음과 같이 분해될 수 있다.^[18]

$\rho=\sum_i p_i|\phi_i\rangle\!\langle\phi_i|$

여기서 $|\phi_i\rangle\in\mathcal H_S$ 는 (반드시 상호 직교할 필요는 없는) 상태들이고, 계수들은 $\sum_i p_i=1$ 이고 $p_i\ge0$ 이다. 임의의 양자 상태는 적당한 $\{|\phi_i\rangle\}_i$ 과 $\{p_i\}_i$ 에 대해 이러한 방식으로 작성될 수 있다.

이러한 $\rho$ 는 순화될 수 있는데, 즉 더 큰 힐베르트 공간에서 정의된 순수 상태의 부분 대각합으로 표현된다. 더 정확하게는, (유한차원) 힐베르트 공간 $\mathcal H_A$ 과 $\rho = \operatorname{Tr}_A(|\Psi_{SA}\rangle\!\langle\Psi_{SA}|)$ 인 순수 상태 $|\Psi_{SA}\rangle\in \mathcal H_S\otimes\mathcal H_A$ 을 찾는 것이 항상 가능하다. 이를 만족시키는 상태 $|\Psi_{SA}\rangle$ 들은 모두 다음 형식이다.

$|\Psi_{SA}\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle$

여기서 $\$

2. 1. 순화의 유일성

두 순화

|\Psi\rangle, |\Psi'\rangle \in \mathcal H_S \otimes \mathcal H_A

가 주어지면, 이들은 모두 위에 주어진 형태의 분해를 허용하므로, 항상 다음을 만족하는 유니터리 연산자

U : \mathcal H_A \to \mathcal H_A

가 존재한다.^[19]

|\Psi'\rangle = (I \otimes U) |\Psi\rangle

3. 정리

섞인 상태 $\rho$ 가 순수 상태 앙상블 $\rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|$ 및 $\rho = \sum_j q_j |\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|$ 로 두 가지 다르게 표현될 수 있다고 가정한다. 여기서 $|\phi_i\rangle$ 과 $|\varphi_j\rangle$ 는 상호 직교한다고 가정하지 않는다.

이러한 섞인 상태 $\rho$ 에 대해서는 두가지의 순화가 존재하며, 각 순화는 다음과 같다.^[20]^[10]

: $|\Psi_{SA}^1\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle$

: $|\Psi_{SA}^2\rangle=\sum_j\sqrt{q_j}|\varphi_j\rangle \otimes |b_j\rangle$

집합 $\{|a_i\rangle\}$ 와 $\$

3. 1. 순화 1

섞인 양자 상태

\rho

가 순수 상태의 앙상블로서 두 가지 다른 구현

\rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|

,

\rho = \sum_j q_j |\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|

을 가진다고 가정하자. 여기서

|\phi_i\rangle

들과

|\varphi_j\rangle

들은 서로 직교한다고 가정되지 않는다. 그러면 섞인 상태

\rho

의 두 가지 해당 순화는 다음과 같다.

순화 1: $|\Psi_{SA}^1\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle$
순화 2: $|\Psi_{SA}^2\rangle=\sum_j\sqrt{q_j}|\varphi_j\rangle \otimes |b_j\rangle$

\{|a_i\rangle\}

과

\

3. 2. 순화 2

섞인 양자 상태

\rho

를 순수 상태의 앙상블로 구현하는 두 가지 다른 방법

\rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|

와

\rho = \sum_j q_j |\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|

를 생각해보자. 여기서

|\phi_i\rangle

와

|\varphi_j\rangle

는 서로 직교하지 않아도 된다. 이 섞인 상태

\rho

에는 다음과 같은 두 가지 순화가 대응된다.

순화 1: $|\Psi_{SA}^1\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle$
순화 2: $|\Psi_{SA}^2\rangle=\sum_j\sqrt{q_j}|\varphi_j\rangle \otimes |b_j\rangle$

여기서

\{|a_i\rangle\}

와

\

참조

_[1] 논문 Probability relations between separated systems
_[2] 논문 A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix 1993-11
_[3] 간행물 Stochastic quantum dynamics and relativity Helvetica Physica Acta 1989
_[4] 논문 Properties of mixtures on non-orthogonal states
_[5] 논문 Information theory and statistical mechanics. II
_[6] 서적 Coming of Age with Quantum Information: Notes on a Paulian Idea Cambridge University Press
_[7] 논문 What Do These Correlations Know about Reality? Nonlocality and the Absurd 1999
_[8] Citation The Schmidt decomposition and purifications https://doi.org/10.1[...] Cambridge University Press
_[9] 서적 The Theory of Quantum Information https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2018
_[10] 논문 The Schrödinger-HJW Theorem 2006-02
_[11] 논문
_[12] 논문
_[13] 간행물 Stochastic quantum dynamics and relativity Helvetica Physica Acta 1989
_[14] 논문
_[15] 논문
_[16] 서적
_[17] 논문
_[18] 인용 The Schmidt decomposition and purifications https://doi.org/10.1[...] Cambridge University Press
_[19] 서적 https://www.cambridg[...]
_[20] 논문

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