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양자정보

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목차

1. 개요

양자 정보는 양자역학적 현상을 이용하여 정보를 처리하는 분야로, 20세기 초 양자역학의 발전과 통신 이론, 암호학, 컴퓨터 과학 등의 발전을 통해 연구가 시작되었다. 양자 정보의 기본 단위는 큐비트이며, 큐비트는 중첩 상태를 가질 수 있어 고전 정보와는 다른 특징을 갖는다. 양자 정보는 양자 컴퓨터, 양자 암호, 양자 통신 등 다양한 분야에 응용되며, 2016년 중국은 세계 최초의 양자 통신 위성인 묵자호를 발사했다.

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양자정보
개요
유형물리학
하위 분야양자 컴퓨팅, 양자 암호, 양자 통신, 양자 센서, 양자 재료
관련 주제정보 이론, 양자 역학
추가 정보
참고 문헌참고 문헌

2. 역사와 발전

양자 정보 이론은 양자역학, 통신 이론, 암호학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야의 발전과 함께 성장해왔다.

양자 컴퓨터는 양자 정보를 이용하여 많은 정보를 중첩된 상태로 유지하고 병렬 연산을 수행하여 소인수 분해와 같은 특정 계산에서 속도 향상을 기대할 수 있다. 그러나 이론 컴퓨터 과학에서는 어떤 문제가 양자 컴퓨터에 적합한지 아직 명확하게 밝혀지지 않았다.

양자 암호는 관측에 의해 중첩 상태가 붕괴되어 고전적인 상태가 된다는 양자 정보의 특성을 활용한다. 이를 통해 도청자의 영향을 배제하는 기술을 확립하여, 기존 암호 통신보다 훨씬 강력한 통신을 가능하게 할 것으로 기대된다.

2016년 8월 16일, 중화인민공화국은 세계 최초의 양자 통신 위성인 "묵자호"를 발사했다.

2. 1. 고전 물리학에서 양자역학으로의 발전

20세기 초 고전 물리학은 자외선 파탄이나 전자가 핵으로 붕괴하는 현상 등 여러 문제들을 예측하며 한계를 드러냈다. 이러한 문제들은 처음에는 임시방편으로 해결하려 했으나, 곧 새로운 이론의 필요성이 대두되었고, 양자역학 이론이 탄생했다.[29]

양자역학은 에르빈 슈뢰딩거의 파동역학과 베르너 하이젠베르크의 행렬역학으로 공식화되었다.[27] 이 두 방법은 나중에 동등하다는 것이 증명되었다.[30] 이들의 공식은 미시적 시스템의 역학을 설명했지만, 측정 과정을 설명하는 데에는 여러 불만족스러운 점이 있었다. 폰 노이만은 연산자 대수를 사용하여 양자 이론을 재구성하고, 측정을 역학과 마찬가지로 설명하려 했다.[2] 그러나 이러한 연구들은 측정의 철학적 측면에 더 중점을 두었고, 측정을 통해 정보를 추출하는 정량적 접근은 부족했다.

2. 2. 통신 이론의 발전

1960년대에 루슬란 스트라토노비치, 칼 헬스트롬과 고든은[16] 양자역학을 이용한 광통신의 공식을 제안했다. 이것이 양자 정보 이론의 역사적 첫 등장이다. 그들은 주로 통신에 대한 오류 확률과 채널 용량을 연구했다.[16][21][22] 이후, 알렉산더 홀레보는 양자 채널을 통해 고전적인 메시지를 전송할 때 통신 속도의 상한을 얻었다.[23][24]

2. 3. 원자 물리학과 상대성 이론의 발전

1970년대에 원자 트랩 및 주사 터널링 현미경과 같이 단일 원자 양자 상태를 조작하는 기술이 개발되기 시작하여 단일 원자를 분리하여 배열할 수 있게 되었다. 이러한 개발 이전에는 단일 양자 시스템에 대한 정밀한 제어가 불가능했고, 실험에서는 더 거친, 다수의 양자 시스템에 대한 동시 제어를 사용했다.[29] 실행 가능한 단일 상태 조작 기술의 개발은 양자 정보 및 계산 분야에 대한 관심을 증가시켰다.

1980년대에는 양자 효과를 사용하여 아인슈타인의 상대성 이론을 반증할 수 있는지에 대한 관심이 높아졌다. 만약 알 수 없는 양자 상태를 복제할 수 있다면, 양자 얽힘된 양자 상태를 사용하여 빛보다 빠른 속도로 정보를 전송하여 아인슈타인의 이론을 반증할 수 있을 것이다. 그러나 복제 불가능성 정리는 그러한 복제가 불가능하다는 것을 보여주었다. 이 정리는 양자 정보 이론의 초기 결과 중 하나였다.[29]

2. 4. 암호학의 발전

1980년대에 양자 정보 이론 연구는 정체되었지만, 암호학 분야에서 발전을 이루었다. 베넷(Bennett)과 브라사드(Brassard)는 BB84 양자 암호 프로토콜을 개발하여 도청이 불가능한 통신 채널을 제시했다.[9] 이는 양자역학의 기본 원리인 관찰이 관찰 대상을 방해한다는 점을 이용한 것이다.[9] 안전한 통신 회선에 도청자가 침입하면 통신을 시도하는 두 당사자는 즉시 도청자의 존재를 알 수 있게 된다.

2. 5. 컴퓨터 과학 및 수학의 발전

앨런 튜링의 프로그래밍 가능한 컴퓨터, 즉 튜링 기계 개념은 현실 세계의 모든 계산을 튜링 기계로 변환할 수 있음을 보여주었다.[3][11] 이는 처치-튜링 명제로 알려져 있다.

최초의 컴퓨터가 만들어진 후, 컴퓨터 하드웨어는 무어의 법칙에 따라 빠르게 성장했다. 무어의 법칙은 집적 회로 내의 트랜지스터 수가 2년마다 두 배로 증가한다는 것이다.[28] 트랜지스터가 점점 더 작아지면서 양자 효과가 나타나 간섭을 일으켰다. 이는 양자 역학을 이용해 알고리즘을 설계하는 양자 컴퓨팅의 출현으로 이어졌다.

데이비드 도이치와 리처드 조자가 개발한 도이치-조자 알고리즘은 양자 컴퓨터가 특정 문제에서 고전 컴퓨터보다 훨씬 빠를 수 있음을 보여주었지만, 실질적인 응용 분야는 거의 없었다.[29] 1994년 피터 쇼어는 정수의 소인수를 찾는 문제를 제시했다. 이 문제는 이론적으로 양자 컴퓨터에서 효율적으로 해결할 수 있지만, 고전 컴퓨터에서는 그렇지 않아 양자 컴퓨터가 튜링 기계보다 더 강력해야 함을 보여주었다.

양자 컴퓨터에서 양자 정보를 이용하면 많은 정보를 중첩된 상태로 유지하면서 병렬로 연산할 수 있어 소인수 분해 등 특정 유형의 계산에서 속도 향상을 기대할 수 있다. 그러나 이론 컴퓨터 과학에서 고전적인 컴퓨터와 비교하여 어떤 문제가 양자 컴퓨터에 적합한지에 대해서는 아직 명확하게 밝혀지지 않았다.

2. 6. 정보 이론의 발전

컴퓨터 과학이 혁명을 일으키던 시기에, 클로드 섀넌은 정보 이론과 통신 분야에서도 혁신을 일으켰다.[32][33][34] 섀넌은 잡음 없는 채널 부호화 정리와 잡음 채널 부호화 정리라는 정보 이론의 두 가지 기본 정리를 개발했다. 그는 또한 오류 정정 부호가 전송되는 정보를 보호하는 데 사용될 수 있음을 보여주었다.

양자 정보 이론 역시 비슷한 궤적을 따랐다. 1995년 벤 슈마허는 큐비트를 사용하여 섀넌의 섀넌의 소스 부호화 정리에 대한 양자 유사 정리를 만들었다. 또한 양자 오류 정정 이론이 개발되어 양자 컴퓨터가 잡음에 관계없이 효율적인 계산을 수행하고, 잡음이 있는 양자 채널을 통해 안정적인 통신을 할 수 있게 되었다.[29]

3. 큐비트와 정보 이론

양자 정보는 비트로 요약되는 고전 정보와는 여러 면에서 다르다. 고전 정보의 기본 단위가 비트인 반면, 양자 정보의 기본 단위는 큐비트이다. 고전 정보는 섀넌 엔트로피를 사용하여 측정하는 반면, 양자 정보는 폰 노이만 엔트로피를 사용하여 측정한다. 밀도 행렬 \rho를 갖는 양자 역학적 시스템의 통계적 앙상블이 주어지면, 폰 노이만 엔트로피는 S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho).로 주어진다.[29] 조건부 양자 엔트로피와 같이 고전적인 정보 이론에서 사용되는 엔트로피 측정값 중 많은 것들을 양자 정보에도 적용할 수 있다.[4]

큐비트는 블로흐 구의 방향으로 설명되는 연속적인 값을 가지지만, 양자 정보의 가장 작은 단위이다. 큐비트의 상태가 연속적인 값을 가짐에도 불구하고, 측정을 통해 그 값을 정확하게 알아내는 것은 불가능하다.[29]

일반적으로 양자 정보가 아닌 것은 '''고전적 정보'''라고 불린다. 고전적 정보는 이론 전산학에서 0과 1의 이진값(비트)으로 표현된다. 한편, 양자 정보는 0과 1의 이진값뿐만 아니라 이들의 중첩 상태도 포함한다. 이는 큐비트(qubit)라고 불린다. 또한, 양자 정보는 고전적 정보와 달리 임의의 상태를 복제할 수 없고, 상태를 한 번 관측하면 그 양자 상태가 파괴된다.

서로 직교하는 상태 \

3. 1. 큐비트

고전 정보의 기본 단위는 비트인 반면, 양자 정보의 가장 기본적인 단위는 큐비트이다. 큐비트는 0과 1의 상태뿐만 아니라 이들의 중첩 상태도 가질 수 있으며, 블로흐 구의 방향으로 표현된다.[29] 큐비트는 양자 정보의 가능한 ''가장 작은'' 단위이며, 큐비트 상태가 연속 값을 가짐에도 불구하고, 값을 정확하게 측정하는 것은 불가능하다.[29]

양자 정보 조작의 한계를 설명하는 다섯 가지 유명한 정리는 다음과 같다.[29]

# 무 텔레포테이션 정리: 큐비트는 (전적으로) 고전 비트로 변환될 수 없다. 즉, 완전히 "읽을" 수 없다.

# 무 복제 정리: 임의의 큐비트를 복제하는 것을 방지한다.

# 무 삭제 정리: 임의의 큐비트를 삭제하는 것을 방지한다.

# 무 방송 정리: 임의의 큐비트를 여러 수신자에게 전달하는 것을 방지하지만, (예: 양자 텔레포테이션을 통해) 장소 간에 전송할 수 있다.

# 무 은닉 정리: 양자 정보 보존을 보여준다.

이러한 정리는 유니타리성에서 증명되었으며, 우주 내 양자 정보가 보존된다는 것을 의미한다. 다섯 개의 정리는 양자 정보 처리의 가능성을 열어준다.

일반적으로 양자 정보가 아닌 것은 '''고전적 정보'''라고 불린다. 고전적 정보는 이론 전산학에서 0과 1의 이진값(비트)으로 표현된다. 양자 정보는 0과 1의 이진값뿐만 아니라 이들의 중첩 상태도 포함하며, 큐비트(qubit)라고 불린다. 양자 정보는 고전적 정보와 달리 임의의 상태를 복제할 수 없고, 상태를 한 번 관측하면 그 양자 상태가 파괴된다는 점이 다르다.

3. 2. 정보 이론

클로드 섀넌(Claude Shannon)은 정보 이론의 두 가지 기본 정리인 잡음 없는 채널 부호화 정리와 잡음 채널 부호화 정리(Noisy-channel coding theorem)를 개발했다.[32][33][34] 그는 또한 오류 정정 부호(Error correction code)가 전송되는 정보를 보호하는 데 사용될 수 있음을 보여주었다.

양자 정보 이론 역시 비슷한 궤적을 따랐다. 1995년 벤 슈마허(Ben Schumacher)는 큐비트(qubit)를 사용하여 섀넌의 섀넌의 소스 부호화 정리(Shannon's source coding theorem)에 대한 유사 정리를 만들었다. 또한 오류 정정 이론이 개발되어 양자 컴퓨터가 잡음에 관계없이 효율적인 계산을 수행하고, 잡음이 있는 양자 채널을 통해 안정적인 통신을 할 수 있게 되었다.[29]

양자 정보는 고전 정보와 여러 면에서 다르다. 고전 정보의 기본 단위는 비트인 반면, 양자 정보의 가장 기본적인 단위는 큐비트이다. 고전 정보는 섀넌 엔트로피를 사용하여 측정되는 반면, 양자 역학적 유사체는 폰 노이만 엔트로피이다. 밀도 행렬 \rho를 갖는 양자 역학적 시스템의 통계적 앙상블이 주어지면, 이는 S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho).로 주어진다.[29] 고전적인 정보 이론에서 동일한 엔트로피 측정값 중 많은 것이 호레보 엔트로피[4] 및 조건부 양자 엔트로피와 같이 양자 사례로 일반화될 수도 있다.

(이산적인) 고전 디지털 상태와 달리 큐비트는 연속 값을 가지며, 블로흐 구의 방향으로 설명할 수 있다. 큐비트는 양자 정보의 가능한 ''가장 작은'' 단위이며, 큐비트 상태가 연속 값을 가짐에도 불구하고, 값을 정확하게 측정하는 것은 불가능하다. 다섯 개의 유명한 정리는 양자 정보 조작의 한계를 설명한다.[29]

  • 무 텔레포테이션 정리: 큐비트는 (전적으로) 고전 비트로 변환될 수 없다는 것을 나타낸다. 즉, 완전히 "읽을" 수 없다.
  • 무 복제 정리: 임의의 큐비트를 복제하는 것을 방지한다.
  • 무 삭제 정리: 임의의 큐비트를 삭제하는 것을 방지한다.
  • 무 방송 정리: 임의의 큐비트를 여러 수신자에게 전달하는 것을 방지하지만, (예: 양자 텔레포테이션을 통해) 장소 간에 전송할 수 있다.
  • 무 은닉 정리: 양자 정보 보존을 보여준다.


양자 정보와 그 외의 정보를 구별하기 위해, 일반적으로 양자 정보가 아닌 것은 '''고전적 정보'''라고 불린다. 고전적 정보는 이론 전산학에서 0과 1의 이진값(비트)으로 표현된다. 한편, 양자 정보는 0과 1의 이진값뿐만 아니라 이들의 중첩 상태도 포함한다. 이는 큐비트(qubit)라고 불린다. 또한, 양자 정보는 고전적 정보와 달리 임의의 상태의 복제를 만들 수 없다. 그리고, 양자 정보가 고전적 정보와 크게 다른 점은 상태를 한 번 관측하면 그 양자 상태를 파괴해 버린다는 것이다.

서로 직교하는 상태 \

3. 3. 양자 정보의 한계

양자 정보는 고전 정보와 여러 면에서 다르다. 고전 정보의 기본 단위가 비트인 반면, 양자 정보의 기본 단위는 큐비트이다. 고전 정보는 섀넌 엔트로피로 측정되지만, 양자 정보는 폰 노이만 엔트로피로 측정된다. 밀도 행렬 \rho를 갖는 양자 시스템의 통계적 앙상블이 주어지면, 폰 노이만 엔트로피는 S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho).로 주어진다.[29] 조건부 양자 엔트로피 등 고전 정보 이론의 여러 엔트로피 측정값은 양자 정보에도 적용될 수 있다.

큐비트는 블로흐 구의 방향으로 설명되는 연속적인 값을 가지지만, 양자 정보의 가장 작은 단위이다. 큐비트 상태가 연속적인 값을 가짐에도 불구하고, 측정을 통해 그 값을 정확하게 알아내는 것은 불가능하다.[29] 다음 다섯 가지 정리는 양자 정보 조작의 한계를 설명한다.[29]

# 무 텔레포테이션 정리: 큐비트는 고전 비트로 완벽하게 변환될 수 없다. 즉, 큐비트의 정보를 완전히 "읽을" 수 없다.

# 무 복제 정리: 임의의 큐비트를 복제할 수 없다.

# 무 삭제 정리: 임의의 큐비트를 삭제할 수 없다.

# 무 방송 정리: 임의의 큐비트를 여러 수신자에게 전달할 수 없지만, 양자 텔레포테이션처럼 한 장소에서 다른 장소로 이동은 가능하다.

# 무 은닉 정리: 양자 정보는 보존된다.

이 정리들은 유니타리성에서 증명되었으며, 레너드 서스킨드에 따르면 우주 내 양자 정보가 보존된다는 것을 의미한다.

4. 양자 정보 처리

양자 정보는 여러 가지 면에서 고전 정보와 다르다. 고전 정보의 기본 단위가 비트인 반면, 양자 정보의 기본 단위는 큐비트이다. 큐비트는 블로흐 구 위의 한 점으로 표현되는 연속적인 값을 가질 수 있지만, 양자 정보의 가장 작은 단위이며, 양자 측정을 통해 정확한 값을 알아내는 것은 불가능하다.

큐비트의 상태는 양자 게이트를 통해 변경될 수 있으며, 이는 블로흐 구에서의 회전으로 묘사된다. 양자 정보의 조작에는 한계가 있는데, 이를 설명하는 다섯 가지 유명한 정리가 있다.


  • 무 텔레포테이션 정리: 큐비트는 고전 비트로 완벽하게 변환될 수 없다.
  • 무 복제 정리: 임의의 큐비트를 복제할 수 없다.
  • 무 삭제 정리: 임의의 큐비트를 삭제할 수 없다.
  • 무 방송 정리: 임의의 큐비트를 여러 수신자에게 전달할 수 없지만, 양자 텔레포테이션을 통해 이동은 가능하다.
  • 무 은닉 정리: 양자 정보는 보존된다.


클로드 섀넌이 정보 이론의 기초를 세운 것처럼, 벤 슈마허는 큐비트를 사용하여 섀넌의 정리에 대한 양자 유사 정리를 만들었다. 또한, 양자 오류 정정 이론은 양자 컴퓨터가 잡음 속에서도 효율적인 계산을 수행하고 안정적인 통신을 할 수 있도록 한다.[29]

4. 1. 양자 정보 저장

양자 시스템의 불안정성과 복제 불가능성 때문에 양자 정보 저장은 고전적인 정보 저장보다 훨씬 어렵다. 하지만 양자 오류 정정을 통해 양자 정보를 안정적으로 저장할 수 있다.[29] 양자 오류 정정 코드의 존재는 결함 허용 양자 계산의 가능성을 열어준다.

4. 2. 양자 정보 접근성

단일 큐비트는 1비트 이상의 고전 정보를 전달할 수 없다는 호레보 정리가 있다.[29] 그러나 초밀도 코딩에서는 발신자가 두 개의 얽힌 큐비트 중 하나에 작용하여 수신자에게 공동 상태에 대한 접근 가능한 2비트의 정보를 전달할 수 있다.[29]

4. 3. 양자 채널

양자 정보는 고전적인 통신 채널의 개념과 유사하게 양자 채널을 통해 이동할 수 있다. 양자 메시지는 큐비트로 측정되는 유한한 크기를 가지며, 양자 채널은 초당 큐비트로 측정되는 유한한 채널 용량을 갖는다.[29]

4. 4. 양자 정보 측정

양자 정보 및 그 변화는 폰 노이만 엔트로피를 사용하여 정량적으로 측정할 수 있다. 밀도 행렬 \rho를 갖는 양자 역학적 시스템의 통계적 앙상블이 주어지면, 이는 S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho).[29]로 주어진다. 정보 이론에서 이와 동일한 엔트로피 측정값 중 많은 것이 호레보 엔트로피[4] 및 조건부 양자 엔트로피와 같이 양자 사례로 일반화될 수도 있다.

4. 5. 양자 알고리즘

양자 알고리즘은 특정 문제에 대해 고전 알고리즘보다 빠른 계산 속도를 제공할 수 있다. 대표적인 예로 쇼어 알고리즘, 그로버 알고리즘 등이 있다.

양자 컴퓨터는 특정 문제에 대해 고전 컴퓨터보다 훨씬 빠를 가능성을 보여주었다. 데이비드 도이치와 리처드 조자가 개발한 도이치-조자 알고리즘이 그러한 예이다. 그러나 이 문제는 실질적인 응용 분야가 거의 없었다.[29] 1994년 피터 쇼어는 정수의 소인수를 찾는 것과 같은 매우 중요하고 실용적인 문제를 제시했다. 이른바 이산 대수 문제는 이론적으로 양자 컴퓨터에서는 효율적으로 해결할 수 있지만, 고전 컴퓨터에서는 그렇지 않아 양자 컴퓨터가 튜링 기계보다 더 강력해야 함을 보여주었다.

어떤 경우에는 양자 알고리즘을 사용하여 알려진 모든 고전적인 알고리즘보다 빠르게 계산을 수행할 수 있다. 가장 유명한 예는 차수를 다항 시간 내에 인수분해할 수 있는 쇼어의 알고리즘이며, 이는 차수를 하위 지수 시간 내에 사용하는 최고의 고전적인 알고리즘과 비교된다. 인수분해는 RSA 암호화의 안전에 중요한 부분이기 때문에 쇼어의 알고리즘은 양자 컴퓨터가 작동할 때에도 안전을 유지하는 암호화 방식을 찾으려는 새로운 분야인 양자 후 암호화를 촉발시켰다. 양자 우위를 보여주는 다른 알고리즘의 예로는 그로버의 탐색 알고리즘이 있는데, 이는 양자 알고리즘이 최상의 가능한 고전적 알고리즘보다 2차 속도 향상을 제공한다. 양자 컴퓨터로 효율적으로 해결할 수 있는 문제의 복잡도 클래스는 BQP로 알려져 있다.

양자 컴퓨터에서 양자 정보를 이용하면 많은 정보를 중첩된 상태로 유지하면서 병렬로 연산할 수 있는 특성을 활용하여 소인수 분해 등 특정 유형의 계산에서 속도 향상을 기대할 수 있다. 그러나 이론 컴퓨터 과학에서 고전적인 컴퓨터와 비교하여 어떤 성질의 문제가 양자 컴퓨터에 적합한지에 대해서는 아직 명확하게 밝혀지지 않았다.

4. 6. 양자 키 분배 (QKD)

양자 키 분배(QKD)는 고전적인 암호화와 달리, 원칙적으로 깨지지 않는 무조건적으로 안전한 고전 정보 전송을 가능하게 한다.[29] 다만, QKD의 안전성에 관한 몇 가지 미묘한 점은 논쟁의 대상이다.

양자 암호는 관측에 의해 중첩 상태가 붕괴되어 고전적인 상태가 된다는 양자 정보의 특성을 활용하여 도청자의 영향을 배제하는 기술을 확립할 수 있으므로, 일반적인 암호 통신에서는 상상할 수 없을 정도로 강력한 통신을 할 수 있을 것으로 기대된다. 베넷(Bennett)과 브라사드(Brassard)는 BB84 양자 암호 프로토콜을 사용하여 감지되지 않고 도청하는 것이 불가능한 통신 채널, 즉 장거리에서 은밀하게 통신하는 방법을 개발했다.[9]

5. 양자역학과의 관계

양자역학은 미시적인 물리계가 자연에서 어떻게 동적으로 변화하는지를 연구하는 학문이다. 양자 정보 이론 분야에서 연구되는 양자 시스템은 실제 세계의 어떤 대응물로부터 추상화된다. 예를 들어, 큐비트는 선형 광학 양자 컴퓨터에서 광자일 수도 있고, 이온 트랩 양자 컴퓨터에서 이온일 수도 있으며, 초전도 양자 컴퓨터에서처럼 원자의 큰 집합일 수도 있다. 물리적 구현에 관계없이, 양자 정보 이론이 암시하는 큐비트의 한계와 특징은 이러한 모든 시스템이 복소수 위에서 밀도 행렬의 동일한 장치에 의해 수학적으로 설명되기 때문에 유효하다. 양자역학과의 또 다른 중요한 차이점은 양자역학이 양자 조화 진동자와 같은 무한 차원 시스템을 종종 연구하는 반면, 양자 정보 이론은 연속 변수 시스템[38]과 유한 차원 시스템 모두를 다룬다는 것이다.[20][37][39]

6. 엔트로피와 정보

클로드 섀넌이 정보 이론의 기초를 세운 이후,[32][33][34] 엔트로피는 정보와 불확실성을 측정하는 중요한 개념으로 자리 잡았다. 엔트로피는 고전 정보 이론과 양자 정보 이론 모두에서 다루어지며, 시스템의 상태에 대한 불확실성을 정량화한다.[29]

고전 정보는 클로드 섀넌이 제시한 정보 개념에 기반하며, 정보는 이진 문자열의 비트로 저장될 수 있다. 두 가지 상태를 가지는 모든 시스템은 비트가 될 수 있다.[25]

양자 정보는 비트 대신 큐비트를 기본 단위로 사용하며, 폰 노이만 엔트로피를 통해 측정된다. 밀도 행렬 \rho를 갖는 양자 역학적 시스템의 통계적 앙상블에서 폰 노이만 엔트로피는 S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho).로 주어진다.[29]

6. 1. 고전 정보 이론

클로드 섀넌은 컴퓨터 과학 혁명과 함께 정보 이론과 통신 분야의 혁신을 이끌었다.[32][33][34] 그는 잡음 없는 채널 부호화 정리와 잡음 채널 부호화 정리라는 정보 이론의 두 가지 기본 정리를 개발하고, 오류 정정 부호를 통해 전송되는 정보를 보호할 수 있음을 증명했다.

양자 정보 이론도 이와 유사한 발전을 거쳤다. 1995년 벤 슈마허는 큐비트를 이용해 섀넌의 섀넌의 소스 부호화 정리에 상응하는 정리를 만들었다. 또한 오류 정정 이론의 발전으로 양자 컴퓨터는 잡음 속에서도 효율적인 계산을 수행하고, 잡음 있는 양자 채널을 통한 안정적인 통신이 가능해졌다.[29]

양자 정보는 여러 면에서 고전 정보와 차이를 보인다. 고전 정보의 기본 단위는 비트인 반면, 양자 정보의 기본 단위는 큐비트이다. 고전 정보는 섀넌 엔트로피로 측정되지만, 양자역학에서는 폰 노이만 엔트로피가 사용된다. 밀도 행렬 \rho를 가진 양자 역학적 시스템의 통계적 앙상블에서 폰 노이만 엔트로피는 S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho).로 표현된다.[29] 조건부 양자 엔트로피나 호레보 엔트로피[4]처럼 고전 정보 이론의 엔트로피 측정값들은 양자 사례로 일반화될 수 있다.

큐비트는 (이산적인) 고전 디지털 상태와 달리 연속적인 값을 가지며, 블로흐 구의 방향으로 설명된다. 이는 양자 정보의 가장 작은 단위이지만, 큐비트의 연속적인 값 때문에 정확한 측정은 불가능하다. 양자 정보 조작의 한계를 보여주는 다섯 가지 정리가 존재한다.[29]

  • 무 텔레포테이션 정리: 큐비트는 고전 비트로 완벽하게 변환될 수 없다.
  • 무 복제 정리: 임의의 큐비트는 복제될 수 없다.
  • 무 삭제 정리: 임의의 큐비트는 삭제될 수 없다.
  • 무 방송 정리: 임의의 큐비트는 여러 수신자에게 전달될 수 없으나, 양자 텔레포테이션을 통해 이동은 가능하다.
  • 무 은닉 정리: 양자 정보는 보존된다.


이 정리들은 유니타리성으로부터 증명되며, 레너드 서스킨드에 의하면 우주 내 양자 정보 보존을 나타내는 기술적 용어이다. 이 다섯 가지 정리는 양자 정보 처리의 가능성을 제시한다.

엔트로피는 물리적 시스템 상태의 불확실성을 측정하며,[29] 고전 정보 이론과 양자 정보 이론 모두에서 연구된다.

고전 정보는 클로드 섀넌의 정보 개념에 기반하며, 이진 문자열의 비트에 저장될 수 있다. 두 가지 상태를 가진 모든 시스템은 비트가 될 수 있다.[25]

6. 1. 1. 섀넌 엔트로피

섀넌 엔트로피는 무작위 변수의 값을 측정하여 얻은 정보, 혹은 측정 전 시스템의 불확실성을 정량화한 것이다. 섀넌 엔트로피는 측정을 하기 전의 불확실성이나 측정을 한 후 얻은 정보의 척도로 볼 수 있다.[29]

섀넌 엔트로피는 이산 확률 분포 P(x_1), P(x_2),...,P(x_n)에서 사건 x_1, ..., x_n과 관련된 평균 정보량을 비트 단위로 나타낸다. 섀넌 엔트로피의 수식은 다음과 같다.

H(X) = H[P(x_1), P(x_2),...,P(x_n)]= -\sum_{i=1}^n P(x_i)\log_2P(x_i)

이 식은 정보 소스의 출력을 저장하는 데 필요한 물리적 자원을 정량화하는 데 사용될 수 있다. 섀넌 엔트로피는 일반적으로 실험 표본 수가 많을 때 의미 있게 해석된다.[37]

6. 1. 2. 레니 엔트로피

레니 엔트로피는 섀넌 엔트로피의 일반화이다. 이산 확률 분포의 함수로 작성된 r차 레니 엔트로피는 P(a_1), P(a_2),...,P(a_n)으로, 사건 a_1, ..., a_n과 관련되어 다음과 같이 정의된다:[25]

H_r(A) = {1\over1-r} \log_2\sum_{i=1}^n P^r(a_i)



0 < r <\infty 및 r\neq1에 대해.

r\rightarrow 1일 때 레니 엔트로피는 섀넌 엔트로피의 정의에 도달하고, r\rightarrow 0일 때 하틀리 엔트로피 (또는 최대 엔트로피)에 도달하며, r\rightarrow \infin일 때 최소 엔트로피에 도달한다.

6. 2. 양자 정보 이론

클로드 섀넌은 컴퓨터 과학 발전과 함께 정보 이론과 통신 분야의 혁신을 이끌었다.[32][33][34] 섀넌은 잡음 없는 채널 부호화 정리와 잡음 채널 부호화 정리라는 정보 이론의 두 가지 기본 정리를 개발하고, 오류 정정 부호를 사용하여 정보를 보호할 수 있음을 보였다.

양자 정보 이론 역시 1995년 벤 슈마허가 큐비트를 사용하여 섀넌의 섀넌의 소스 부호화 정리와 유사한 정리를 만들면서 발전했다. 오류 정정 이론 또한 개발되어 양자 컴퓨터가 잡음에 관계없이 효율적으로 계산하고, 잡음이 있는 양자 채널을 통해 안정적으로 통신할 수 있게 되었다.[29]

양자 정보는 고전 정보와 여러 면에서 다르다. 고전 정보의 기본 단위가 비트인 반면, 양자 정보의 기본 단위는 큐비트이다. 고전 정보는 섀넌 엔트로피로 측정되지만, 양자 역학에서는 폰 노이만 엔트로피를 사용한다.

고전 디지털 상태와 달리 큐비트는 연속 값을 가지며, 블로흐 구의 방향으로 설명할 수 있다. 큐비트는 양자 정보의 가장 작은 단위이지만, 큐비트 상태가 연속 값을 가지더라도 값을 정확하게 측정하는 것은 불가능하다. 양자 정보 조작의 한계를 설명하는 다섯 가지 정리는 다음과 같다.[29]

  • 무 텔레포테이션 정리: 큐비트는 고전 비트로 완전히 변환될 수 없다.
  • 무 복제 정리: 임의의 큐비트를 복제할 수 없다.
  • 무 삭제 정리: 임의의 큐비트를 삭제할 수 없다.
  • 무 방송 정리: 임의의 큐비트를 여러 수신자에게 전달할 수 없지만, 양자 텔레포테이션을 통해 장소 간에 전송할 수 있다.
  • 무 은닉 정리: 양자 정보는 보존된다.


이러한 정리는 유니타리성에서 증명되었으며, 우주 내 양자 정보가 보존된다는 것을 의미한다.

큐비트의 상태는 모든 정보를 포함하며, 선형 변환 또는 양자 게이트를 통해 변경될 수 있다. 이러한 유니타리 변환은 블로흐 구에서의 회전으로 묘사된다. 고전적인 게이트가 부울 논리 연산에 해당한다면, 양자 게이트는 물리적인 유니타리 연산자이다.

양자 정보 저장은 양자 시스템의 불안정성과 상태 복사의 불가능성 때문에 고전 정보 저장보다 어렵다. 그러나 양자 오류 정정을 사용하면 양자 정보를 안정적으로 저장할 수 있으며, 이는 결함 허용 양자 계산으로 이어진다.

단일 큐비트 자체는 1비트 이상의 고전적인 정보를 전달할 수 없지만(호레보 정리), 초밀도 코딩에서는 두 개의 얽힌 큐비트 중 하나에 작용하여 수신자에게 2비트의 정보를 전달할 수 있다. 양자 정보는 양자 채널에서 이동할 수 있으며, 큐비트로 측정되는 유한한 크기를 가진다. 양자 채널은 초당 큐비트로 측정되는 유한한 채널 용량을 갖는다.

양자 정보 및 변화는 폰 노이만 엔트로피를 사용하여 정량적으로 측정할 수 있다.

양자 알고리즘을 사용하면 어떤 경우에는 고전적인 알고리즘보다 빠르게 계산할 수 있다. 예를 들어 쇼어의 알고리즘은 다항 시간 내에 인수분해를 할 수 있으며, 이는 RSA 암호화의 안전에 영향을 미쳐 양자 후 암호화 분야를 촉발시켰다. 양자 우위를 보여주는 다른 예로는 그로버의 탐색 알고리즘이 있다. 양자 컴퓨터로 효율적으로 해결할 수 있는 문제의 복잡도 클래스는 BQP로 알려져 있다.

양자 키 분배(QKD)는 원칙적으로 안전한 고전 정보 전송을 허용하지만, QKD의 안전성에 대한 논쟁도 존재한다.

이러한 주제와 차이점에 대한 연구가 양자 정보 이론을 구성한다.

엔트로피는 물리적 시스템 상태의 불확실성을 측정하며,[29] 고전 정보 이론과 양자 정보 이론 모두에서 연구될 수 있다. 고전 정보는 클로드 섀넌이 제시한 정보 개념에 기반하며, 이진 문자열의 비트에 저장될 수 있다. 두 가지 상태를 가진 모든 시스템은 비트가 될 수 있다.[25]

6. 2. 1. 폰 노이만 엔트로피

밀도 행렬 \rho를 갖는 양자 역학적 시스템의 통계적 앙상블이 주어지면, 폰 노이만 엔트로피는 다음과 같이 정의된다.[29]

S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho).

확률 분포에 대한 불확실성을 설명하려는 경우, 확률 분포는 밀도 연산자 \rho로 대체된다.

S(\rho)\equiv - \mathrm{tr}(\rho\ \log_2\ \rho) = -\sum_{i}\lambda_i \ \log_2\ \lambda_i,

여기서 \lambda_i는 \rho의 고유값이다.

폰 노이만 엔트로피는 양자 정보에서 섀넌 엔트로피가 고전 정보에서 수행하는 역할과 유사한 역할을 한다.

서로 직교하는 상태 \

7. 응용

양자 정보는 비트로 요약되는 고전 정보와 달리 큐비트를 기본 단위로 사용한다. 큐비트는 블로흐 구의 방향으로 설명되는 연속적인 값을 가지지만, 양자 정보의 가장 작은 단위이며 정확한 양자 측정은 불가능하다. 양자 정보 조작에는 무 텔레포테이션 정리, 무 복제 정리, 무 삭제 정리, 무 방송 정리, 무 은닉 정리와 같은 다섯 가지 정리에 의해 설명되는 한계가 있다. 이러한 정리는 양자 정보가 보존됨을 보여주며, 양자 정보 처리의 가능성을 열어준다.

큐비트의 상태는 선형 변환 또는 양자 게이트를 통해 변경될 수 있으며, 이는 블로흐 구에서의 회전으로 묘사된다. 양자 게이트는 물리적인 유니타리 연산자이다. 양자 정보의 저장은 고전적인 정보의 저장보다 어렵지만, 양자 오류 정정을 통해 안정적으로 저장할 수 있다.

고전적인 비트는 양자 게이트를 사용하여 큐비트로 인코딩하고 검색할 수 있다. 단일 큐비트는 1비트 이상의 정보를 전달할 수 없지만, 초밀도 코딩을 통해 얽힌 큐비트 중 하나에 작용하여 2비트의 정보를 전달할 수 있다.

양자 정보는 양자 채널을 통해 이동할 수 있으며, 채널 용량은 초당 큐비트로 측정된다. 양자 정보 및 그 변화는 폰 노이만 엔트로피를 사용하여 정량적으로 측정할 수 있다.

양자 알고리즘은 특정 계산에서 고전적인 알고리즘보다 빠르게 수행될 수 있다. 예를 들어 쇼어의 알고리즘은 RSA 암호화의 안전에 중요한 소인수 분해를 빠르게 수행할 수 있어 양자 후 암호화 분야를 촉발시켰다. 그로버의 탐색 알고리즘은 고전 알고리즘보다 이차적인 속도 향상을 제공한다. 양자 컴퓨터로 효율적으로 해결할 수 있는 문제의 복잡도 클래스는 BQP로 알려져 있다.

양자 키 분배(QKD)는 원칙적으로 안전한 정보 전송을 허용하며, QKD의 안전성에 대한 논쟁이 있다.

7. 1. 양자 통신

양자 통신은 양자 물리학과 양자 정보의 응용 분야 중 하나이다. 무 복제 정리와 같은 정리는 양자 통신에서 중요한 속성을 보여준다. 초밀도 코딩과 양자 텔레포테이션은 양자 통신의 응용 분야이다. 이들은 큐비트를 사용하여 통신하는 두 가지 반대되는 방식이다. 텔레포테이션은 앨리스와 밥이 미리 공유된 벨 상태를 가지고 있다는 가정 하에 두 개의 고전 비트를 통신하여 앨리스와 밥 사이에서 하나의 큐비트를 전송하는 반면, 밀집 코딩은 앨리스와 밥이 미리 공유된 벨 상태를 가지고 있다는 동일한 가정 하에 하나의 큐비트를 사용하여 앨리스에서 밥으로 두 개의 고전 비트를 전송한다.[29]

양자 정보와 그 외의 정보를 구별하기 위해, 양자 정보가 아닌 것은 '''고전적 정보'''라고 불린다. 고전적 정보는 이론 전산학에서 0과 1의 이진값(비트)으로 표현된다. 한편, 양자 정보는 0과 1의 이진값뿐만 아니라 이들의 중첩 상태도 포함하며, 큐비트(qubit)라고 불린다. 양자 정보는 고전적 정보와 달리 임의의 상태를 복제할 수 없다. 또한, 양자 정보는 상태를 한 번 관측하면 그 양자 상태가 파괴된다는 점에서 고전적 정보와 크게 다르다.

양자 암호는 관측에 의해 중첩 상태가 붕괴되어 고전적인 상태가 된다는 양자 정보의 특성을 활용하여 도청자의 영향을 배제하는 기술을 확립할 수 있으므로, 일반적인 암호 통신에서는 상상할 수 없을 정도로 강력한 통신을 할 수 있을 것으로 기대된다.

2016년 8월 16일 새벽, 중화인민공화국이 세계 최초의 양자 통신 위성인 "묵자호"를 발사했다.

7. 2. 양자 암호

암호학은 서로를 신뢰하지 않을 수 있는 두 명 이상의 당사자가 관련된 통신 또는 계산을 수행하는 문제이다.[29] 양자 암호는 이러한 문제에 대한 해결책으로, 양자 키 분배 (QKD)를 통해 고전적인 암호화와 달리 원칙적으로 안전한 정보 전송을 가능하게 한다.

양자 암호의 장점은 복제 불가능성 정리에 따라 양자 키를 복사하는 것이 불가능하다는 것이다. 만약 누군가 암호화된 데이터를 읽으려고 시도하면 전송되는 양자 상태가 변하게 되며, 이는 도청을 감지하는 데 사용될 수 있다.

양자 정보와 그 외의 정보를 구별하기 위해, 일반적으로 양자 정보가 아닌 것은 고전적 정보라고 불린다. 고전적 정보는 이론 전산학에서 0과 1의 이진값(비트)으로 표현된다. 한편, 양자 정보는 0과 1의 이진값뿐만 아니라 이들의 중첩 상태도 포함하며, 이는 큐비트(qubit)라고 불린다.

양자 컴퓨터에서 양자 정보를 이용하면 많은 정보를 중첩된 상태로 유지하면서 병렬로 연산할 수 있는 특성을 활용하여 소인수 분해 등 특정 유형의 계산에서 속도 향상을 기대할 수 있다. 그러나 이론 컴퓨터 과학에서 고전적인 컴퓨터와 비교하여 어떤 성질의 문제가 양자 컴퓨터에 적합한지에 대해서는 아직 명확하게 밝혀지지 않았다.

또한, 양자 정보를 사용한 양자 암호는 관측에 의해 중첩 상태가 붕괴되어 고전적인 상태가 된다는 양자 정보의 특성을 활용하여 도청자의 영향을 배제하는 기술을 확립할 수 있으므로, 일반적인 암호 통신에서는 상상할 수 없을 정도로 강력한 통신을 할 수 있을 것으로 기대된다.

BB84, E91, B92 등 다양한 양자 키 분배 프로토콜이 개발되었다.

2016년 8월 16일 새벽, 중화인민공화국은 세계 최초의 양자 통신 위성인 "묵자호"를 발사했다.

7. 2. 1. BB84

BB84는 1984년 찰스 베넷과 질 브라사드가 개발한 최초의 양자 암호 분배 방식이다. 일반적으로 일회용 패드 암호화에 사용할 비밀 키를 제3자로부터 다른 당사자에게 안전하게 전달하는 방법으로 설명된다.[29]

베넷과 브라사드는 BB84 양자 암호 프로토콜을 사용하여, 장거리에서 은밀하게 통신하는 방법을 개발했다. 이 방식은 도청자가 감지되지 않고 통신 채널에 접근하는 것이 불가능하다.[9] 핵심 아이디어는 양자 역학의 기본 원리, 즉 관찰이 관찰 대상을 방해한다는 점을 이용하는 것이다. 안전한 통신 회선에 도청자가 침입하면, 통신을 시도하는 두 당사자는 즉시 도청자의 존재를 알 수 있게 된다.

양자 암호 기술의 가장 잘 알려진 응용 분야 중 하나는 양자 암호이며, 이는 고전적인 키 보안 문제에 대한 이론적인 해결책을 제공한다. 양자 암호의 장점은 복제 불가능성 정리 때문에 양자 키를 복사하는 것이 불가능하다는 것이다. 만약 누군가 암호화된 데이터를 읽으려고 시도하면, 전송되는 양자 상태가 변하게 된다. 이는 도청을 감지하는 데 사용될 수 있다.

7. 2. 2. E91

E91은 1991년 아르투르 에케르트가 개발한 방식으로, 얽힌 광자 쌍을 사용한다. 이 두 광자는 앨리스, 밥 또는 도청자 이브를 포함한 제3자에 의해 생성될 수 있다. 광자 중 하나는 앨리스에게, 다른 하나는 밥에게 분배되어 각자는 쌍으로부터 하나의 광자를 얻게 된다.

이 방식은 양자 얽힘의 두 가지 특성에 의존한다.

# 얽힌 상태는 완벽하게 상관되어 있다. 즉, 앨리스와 밥이 모두 수직 또는 수평 편광을 갖는 입자를 측정하면 100% 확률로 항상 동일한 결과를 얻는다. 다른 보완적(직교) 편광 쌍을 측정하는 경우에도 마찬가지이다. 이는 두 원거리 당사자가 정확한 방향 동기화를 갖도록 한다. 그러나 양자 역학 이론에 따르면 양자 상태는 완전히 무작위적이므로 앨리스가 수직 편광을 얻을지, 수평 편광 결과를 얻을지 예측하는 것은 불가능하다.

# 이브의 도청 시도는 이러한 양자 얽힘을 파괴하여 앨리스와 밥이 이를 감지할 수 있게 한다.

7. 2. 3. B92

BB84의 단순화된 버전이다.[7]

B92와 BB84의 주요 차이점은 다음과 같다.

B92BB84
두 가지 상태만 필요하다.4가지 편광 상태가 필요하다.



BB84와 마찬가지로 앨리스는 임의로 선택된 비트로 인코딩된 일련의 광자를 밥에게 전송하지만, 이번에는 앨리스가 사용해야 하는 기저를 선택한다. 밥은 여전히 무작위로 측정 기저를 선택하지만, 잘못된 기저를 선택하면 양자역학 이론에 의해 아무것도 측정하지 못한다. 밥은 앨리스에게 각 비트를 보낸 후 올바르게 측정했는지 여부를 간단히 알려줄 수 있다.[17]

7. 3. 양자 컴퓨팅

양자 컴퓨팅에서 가장 널리 사용되는 모델은 큐비트를 기반으로 하는 양자 회로이다. 큐비트는 고전적 계산의 비트와 다소 유사하다. 큐비트는 1 또는 0 양자 상태에 있거나, 1과 0 상태의 양자 중첩에 있을 수 있다. 그러나 큐비트를 측정하면 측정 결과는 항상 0 또는 1이며, 이러한 두 가지 결과의 확률은 큐비트가 측정 직전에 있던 양자 상태에 따라 달라진다.[29]

모든 양자 계산 알고리즘은 양자 논리 게이트 네트워크로 표현될 수 있다.

7. 4. 양자 결어긋남 (Quantum decoherence)

양자 결어긋남은 양자 시스템이 완벽하게 고립되지 않았을 때, 환경과의 상호작용으로 인해 결맞음을 잃는 현상이다. 예를 들어, 측정을 하는 동안 결맞음은 환경과 공유되고 시간이 지남에 따라 손실되는 것처럼 보인다. 이 과정의 결과로, 양자적 거동은 겉보기에 손실되는데, 이는 고전 역학에서 마찰에 의해 에너지가 손실되는 것과 유사하다. 만약 양자계가 완벽하게 고립되어 있다면, 완벽하게 결맞음을 유지하겠지만 전체 시스템을 테스트하는 것은 불가능할 것이다.

7. 5. 양자 오류 정정 (Quantum error correction)

'''양자 오류 정정'''(QEC)은 양자 컴퓨터에서 양자 정보를 결어긋남 및 기타 양자 잡음으로 인한 오류로부터 보호하는 데 사용된다. 양자 오류 정정은 잡음이 있는 저장된 양자 정보뿐만 아니라 결함이 있는 양자 게이트, 결함이 있는 양자 준비 및 결함이 있는 측정을 처리할 수 있는 내결함성 양자 계산을 달성하는 데 필수적이다.

피터 쇼어는 하나의 큐비트 정보를 보조 비트의 고도로 얽힌 상태에 저장함으로써 ''양자 오류 정정 코드''를 공식화하는 방법을 처음 발견했다. 양자 오류 정정 코드는 양자 정보를 오류로부터 보호한다.

8. 관련 학술지

다음은 양자 정보 과학 분야의 연구를 게재하는 학술지들이다.


  • 국제 양자 정보 저널(International Journal of Quantum Information)
  • npj 양자 정보(npj Quantum Information)
  • Quantum
  • [https://www.rintonpress.com/journals/qic/ 양자 정보 및 계산](Quantum Information & Computation)
  • [https://www.springer.com/journal/11128 양자 정보 처리](Quantum Information Processing)
  • [https://iopscience.iop.org/journal/2058-9565 양자 과학 기술](Quantum Science and Technology)

9. 한국의 양자 정보 기술 개발 현황

대한민국은 양자 정보 기술을 국가 핵심 전략 기술로 지정하고, 연구 개발 및 산업 생태계 조성에 힘쓰고 있다. 특히, 더불어민주당은 양자 컴퓨팅, 양자 통신, 양자 센서 등 다양한 분야에서 선도적인 기술력을 확보하기 위해 노력하고 있다.

10. 중화인민공화국의 양자 통신 위성 "묵자호"

2016년 8월 16일 새벽, 중화인민공화국은 세계 최초의 양자 통신 위성인 "묵자호"를 발사했다.[1] 이는 양자 암호 통신을 통해 도청의 영향을 배제하는 기술을 확립하여, 기존 암호 통신보다 훨씬 강력한 통신을 가능하게 할 것으로 기대된다.[1]

참조

[1] 논문 Whence the eigenstate–eigenvalue link?
[2] 서적 Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: New Edition https://books.google[...] Princeton University Press 2018-02-27
[3] 웹사이트 Church–Turing Thesis https://mathworld.wo[...] 2020-11-13
[4] 웹사이트 Alexandr S. Holevo http://www.mi.ras.ru[...] 2018-12-04
[5] 서적 Quantum Entropies Springer
[6] 서적 Quantum Information, Computation and Cryptography: An Introductory Survey of Theory, Technology and Experiments https://books.google[...] Springer
[7] 논문 Quantum cryptography using any two nonorthogonal states
[8] 논문 Quantum information theory
[9] 논문 Quantum cryptography: public key distribution and coin tossing
[10] 서적 Philosophy of Quantum Information and Entanglement https://books.google[...] Cambridge University Press
[11] 논문 Quantum theory, the Church–Turing principle and the universal quantum computer
[12] 서적 The Feynman Lectures on Physics. Volume III. Quantum Mechanics https://www.feynmanl[...] California Institute of Technology
[13] 논문 Quantum computing: Opening new realms of possibilities https://www.princeto[...]
[14] 서적 Quantum Information and Consciousness: A Gentle Introduction https://books.google[...] CRC Press 2017-12-06
[15] 논문 Quantum information theoretic approach to the mind-brain problem
[16] 논문 Quantum effects in communications systems
[17] 서적 A Survey of the Prominent Quantum Key Distribution Protocols https://www.cse.wust[...] Washington University in St. Louis
[18] 서적 Quantum Information: An Introduction Springer
[19] 서적 Introduction to Quantum Information Science Springer
[20] 서적 Quantum Information Theory: Mathematical Foundation Springer
[21] 논문 Quantum detection and estimation theory
[22] 서적 Quantum Detection and Estimation Theory Academic Press
[23] 논문 Bounds for the quantity of information transmitted by a quantum communication channel http://mi.mathnet.ru[...]
[24] 논문 On capacity of a quantum communications channel http://mi.mathnet.ru[...]
[25] 서적 Quantum Information: An Overview https://books.google[...] Springer
[26] 서적 Introduction to Quantum Computation and Information https://books.google[...] World Scientific
[27] 서적 Quantum Mechanics in a Nutshell Princeton University Press
[28] 논문 Cramming more components onto integrated circuits
[29] 서적 Quantum Computation and Quantum Information Cambridge University Press
[30] 논문 Equivalence of the Schroedinger and Heisenberg pictures
[31] 서적 Quantum Computation (Physics 219/Computer Science 219) http://www.theory.ca[...] California Institute of Technology
[32] 논문 A mathematical theory of communication
[33] 논문 A mathematical theory of communication
[34] 서적 The Mathematical Theory of Communication http://hdl.handle.ne[...] University of Illinois Press
[35] 서적 Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum. What You Need to Know to Start Doing Physics https://books.google[...] Basic Books
[36] 서적 Introduction to Quantum Information Science Oxford University Press
[37] 서적 The Theory of Quantum Information https://cs.uwaterloo[...] Cambridge University Press
[38] 간행물 Gaussian quantum information
[39] 서적 Quantum Information Theory Cambridge University Press


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