시 (기하학)

3. 공식

활꼴에서 현의 길이($l$)는 높이(화살거리,$s$)와 반지름($r$)에 대해 다음 관계가 있다.

:$r^2\; =\; \backslash left(\; \backslash right)^2\; +\; (r-s)^2$

:$s=\; r\; -\backslash sqrt\{r^2\; -\; \backslash left(\; \backslash right)^2\}$

:$l\; =\; 2\; \backslash sqrt\{2rs\; -\; s^2\}$

$s$는 시타(호의 깊이 또는 높이)를 나타내고, $r$은 원의 반지름과 같으며, $l$은 호의 밑변을 가로지르는 현의 길이를 나타낸다. $\backslash tfrac12l$과 $r\; -\; s$는 $r$이 빗변인 직각삼각형의 두 변이므로, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립한다.

: $r^2\; =\; \backslash left(\backslash tfrac12l\backslash right)^2\; +\; \backslash left(r-s\backslash right)^2.$

이 식을 재배열하여 다른 세 가지를 구할 수 있다.

: $\backslash begin\{align\}$

s &= r - \sqrt{r^2 - \tfrac14l^2}, \\[10mu]

l &= 2\sqrt{2rs - s^2}, \\[5px]

r &= \frac{s^2 + \tfrac14l^2}{2s} = \frac{s}{2}+\frac{l^2}{8s}.

\end{align}

시타는 versine 함수로부터도 계산할 수 있는데, 이 함수는 중심각 2''θ''}}의 각을 가지는 호에 적용되며, 단위원의 versine과 일치한다.

: $s\; =\; r\; \backslash operatorname\{versin\}\backslash theta\; =\; r\backslash left(1-\backslash cos\backslash theta\backslash right)\; =\; 2r\backslash sin^2\backslash frac\backslash theta\; 2.$

4. 근사

활꼴에서 화살거리(s)가 반지름(r)에 비해 매우 작을 때, 다음 공식을 사용할 수 있다.^[2][5]

:$s\backslash approx\; \backslash frac\{l^2\}\{8r\}.$

화살거리(s)가 작고, 화살거리, 반지름, 현의 길이가 알려져 있다면, 다음 공식을 사용하여 호의 길이를 추정할 수 있다.

:$a\backslash approx\; l+\backslash frac\{2\; s^2\}\{r\}\backslash approx\; l+\backslash frac\{8\; s^2\}\{3\; l\},$

여기서 는 호의 길이를 나타낸다.

이 공식은 중국의 수학자 심괄에게 알려졌으며, 2세기 후에 곽수경에 의해 더 정확한 공식이 개발되었다.^[3][6]

5. 응용

활꼴은 건축, 토목 공학에서 곡선 벽, 아치형 천장, 교량 등 다양한 구조물을 설계하는 데 널리 사용되는 "평평해진" 호를 만드는 데 사용된다.

물리학에서는 시(矢, Sagitta)가 가속 입자의 곡률 반지름을 계산하는 데 사용된다. 특히 거품 상자 실험에서 붕괴 입자의 운동량을 결정하는 데 활용된다. 역사적으로, 시는 구심 시스템에서 움직이는 물체의 계산에 사용되었으며, 아이작 뉴턴의 프린키피아에서도 이 방법이 사용되었다.

6. 역사

6. 1. 동아시아

6. 2. 서양

7. 한국의 활꼴

참조

_[1] 웹사이트 德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? http://www2.hawaii.e[...] University of Hawaii 2015-11-08
_[2] 서적 Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver https://books.google[...] Research & Education Association 1978-12
_[3] 서적 Science and Civilisation in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth https://books.google[...] Cambridge University Press
_[4] 웹사이트 德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? http://www2.hawaii.e[...] University of Hawaii 2015-11-08
_[5] 서적 Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver https://books.google[...] Research & Education Association 1978-12
_[6] 서적 Science and Civilisation in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth https://books.google[...] Cambridge University Press