운동량

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1. 개요
2. 고전역학에서의 운동량
- 2.1. 운동량 보존 법칙
- 2.2. 충격량
3. 상대론적 운동량
4. 일반화된 운동량
5. 전자기학에서의 운동량
- 5.1. 전자기장 속의 하전 입자
- 5.2. 전자기장 내 운동량 보존
6. 양자역학에서의 운동량
7. 유체역학에서의 운동량
- 7.1. 연속체에서의 운동량 보존
- 7.2. 음파
8. 개념의 역사
참조

1. 개요

운동량은 고전역학에서 질량과 속도의 곱으로 정의되는 벡터량이며, 물체의 운동 방향과 속도를 예측하는 데 사용된다. 운동량 보존 법칙에 따라 외부 힘이 없는 계에서는 총 운동량이 일정하게 유지되며, 충돌, 로켓 추진 등에 적용된다. 충격량은 운동량의 변화량으로, 힘과 시간의 곱으로 나타낼 수 있다. 상대성 이론에서는 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루며, 일반화된 운동량은 라그랑지안과 해밀토니안을 통해 정의된다. 운동량 보존은 공간의 균질성에서 비롯되며, 양자역학에서는 연산자로 표현되고 불확정성 원리와 관련된다. 유체역학에서는 연속체 역학을 통해 운동량 보존 법칙이 적용되며, 전자기장 내에서는 전하의 운동에 영향을 미친다. 운동량 개념은 고대부터 발전해 왔으며, 뉴턴에 의해 정립된 후 다양한 분야로 확장되었다.

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운동량
운동량
풀 큐 공의 운동량이 충돌 후 랙에 있는 공으로 전달됩니다.
단위	kg·m/s
차원	M L T^-1
다른 단위	slug·ft/s
기호	p, p
보존 여부	예
개요
정의	운동량은 움직이는 물체가 가지는 운동의 크기를 나타내는 물리학 량이다.
계산식	운동량은 질량과 속도의 곱으로 계산한다.
공식	p = mv
질량	m
속도	v
운동량	p
특징	운동량은 방향을 가진 벡터량이다.
보존 법칙
운동량 보존 법칙	고립계에서 물체들의 상호작용을 통해 운동량이 변할 수 있지만, 계 전체의 총 운동량은 항상 일정하게 유지된다.
충돌	물체가 충돌할 때, 총 운동량은 충돌 전후로 변하지 않는다.
관련 개념
선운동량	운동량은 종종 선운동량이라고 불린다.
각운동량	운동량과 관련된 개념으로 회전 운동과 관련된 각운동량이 있다.
힘	힘은 운동량의 변화율과 같다.
역사
기원	운동량 개념은 아이작 뉴턴의 고전 역학에 의해 발전되었다.
뉴턴의 제2법칙	뉴턴의 제2법칙은 힘이 운동량의 변화율과 같다는 것을 나타낸다.
현대적 이해	현대 물리학에서는 운동량은 기본적인 물리량 중 하나로 이해된다.

2. 고전역학에서의 운동량

고전역학에서 운동량은 물체의 질량과 속도의 곱으로 정의되며, 크기와 방향을 모두 갖는 벡터량이다. 운동량 '''p'''는 질량 ''m''과 속도 '''v'''의 곱으로 표현된다.

: $\mathbf{p}= m \mathbf{v}$

운동량은 벡터량이므로 크기와 방향을 모두 가지며, SI 단위계에서는 킬로그램 미터 매 초(kg⋅m/s)로 측정된다. 예를 들어, 1kg의 모형 비행기가 시속 1m로 북쪽으로 비행한다면, 이 비행기의 운동량은 북쪽으로 1kg⋅m/s이다.

입자계의 운동량은 각 입자 운동량의 벡터 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 질량이 $m_1$ 과 $m_2$ 이고, 속도가 $\mathbf{v}_1$ 과 $\mathbf{v}_2$ 인 두 입자의 총 운동량은 다음과 같다.

$\begin{align}p &= p_1 + p_2 \\&= m_1 v_1 + m_2 v_2\,.\end{align}$

일반적으로, 둘 이상의 입자들의 운동량은 다음과 같이 표현된다.

$p = \sum_{i} m_i v_i .$

입자계는 질량중심을 가지며, 이는 입자들 위치의 가중합으로 결정된다.

$r_\text{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots} = \frac{\sum_{i}m_ir_i}{\sum_{i}m_i}.$

입자들의 총질량이 $m$ 이고 질량중심이 $\mathbf{v}_\text{cm}$ 속도로 움직인다면, 계의 운동량은 오일러의 제1 법칙에 따라 다음과 같다.^[2]^[3]

$p= mv_\text{cm}.$

운동량은 기준계에 따라 달라지는 측정 가능한 양이다. 예를 들어, 1000kg의 항공기가 50m/s로 비행할 때와 45m/s로 비행할 때의 운동량은 각각 50,000 kg·m/s와 45,000 kg·m/s로 계산될 수 있다.

갈릴레이 변환에 따르면, 기준계가 변해도 운동량은 보존된다. 갈릴레이 불변성으로도 알려진 이 성질은, 힘이 두 기준계에서 같은 형태를 갖는 한 뉴턴의 제2법칙이 변하지 않음을 의미한다.^[6]

2차원 탄성 충돌과 같이 실제 운동은 방향과 속도를 모두 가지므로 벡터로 표현해야 한다. $x, y, z$ 축을 갖는 좌표계에서 속도와 운동량은 다음과 같이 표현된다.^[14]

$\mathbf{v} = \left(v_x,v_y,v_z \right).$

$\mathbf{p} = \left(p_x,p_y,p_z \right).$

벡터 방정식 $\mathbf{p}= m \mathbf{v}$ 는 다음 세 개의 스칼라 방정식으로 표현될 수 있다.^[14]

$\begin{align}p_x &= m v_x\\p_y &= m v_y \\p_z &= m v_z.\end{align}$

아이작 뉴턴은 운동 제2법칙을 통해 운동량의 시간적 변화와 힘의 관계를 제시하였다. 해석역학에서는 일반화 좌표와 오일러-라그랑주 방정식을 통해 운동량을 정의한다.

2. 1. 운동량 보존 법칙

어떤 계에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 뉴턴의 운동법칙에 따라 계의 총 운동량은 바뀌지 않는다.

두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 m₁^영어, m₂^영어, 충돌 전의 속도를 '''v'''_1,i^영어, '''v'''_2,i^영어, 충돌 후의 속도를 '''v'''_1,f^영어, '''v'''_2,f^영어라고 하면 다음 식이 성립한다.

:m₁'''v'''_1,i + m₂'''v'''_2,i = m₁'''v'''_1,f + m₂'''v'''_2,f^영어

이때 e = ('''v'''_1,f - '''v'''_2,f)/('''v'''_2,i - '''v'''_1,i)^영어를 '''반발 계수'''라고 부르고, 0 이상 1 이하의 값을 가진다. 만약 e = 1인 경우의 충돌은 탄성 충돌이라고 부르고, 이때에는 운동 에너지 보존 법칙이 성립한다.

e < 1인 경우는 비탄성 충돌(inelastic collision^영어)이라고 하고, 특히 e = 0인 경우는 '''완전 비탄성 충돌'''이라고 부른다. 이때에는 충돌한 두 물체의 속도차, 즉 입자 사이 상대 속도가 같다.

닫힌계(외부와 물질을 교환하지 않고 외부 힘이 작용하지 않는 계)에서는 총 운동량이 일정하게 유지된다. 이 사실은 '''운동량 보존 법칙'''으로 알려져 있으며, 뉴턴 운동 법칙에서 유도된다.^[4]^[5] 두 입자가 상호 작용할 때, 제3법칙에서 설명하는 바와 같이, 두 입자 사이의 힘은 크기는 같지만 방향은 반대이다. 입자에 1과 2의 번호를 매기면, 제2법칙은 다음과 같다.

:dP₁/dt = - dP₂/dt^영어

여기서 음의 부호는 힘이 서로 반대 방향임을 나타낸다. 이는 다음과 같이 같다.

:d/dt(P₁ + P₂) = 0^영어

입자의 속도가 상호 작용 전에 v_A1^영어 및 v_B1^영어이고, 상호 작용 후에 v_A2^영어 및 v_B2^영어이면,

:m_Av_A1 + m_Bv_B1 = m_Av_A2 + m_Bv_B2^영어

이 법칙은 입자 사이의 힘이 아무리 복잡하더라도 성립한다. 마찬가지로, 여러 입자가 있는 경우 각 입자 쌍 사이에서 교환되는 운동량은 0이 되므로 총 운동량 변화는 0이다. 여러 개의 상호 작용하는 입자의 총 운동량 보존은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[4]

:m_Av_A + m_Bv_B + m_Cv_C + ... = constant^영어

이 보존 법칙은 충돌(탄성 충돌과 비탄성 충돌 모두)과 폭발력에 의해 발생하는 분리를 포함한 모든 상호 작용에 적용된다.^[4] 또한 뉴턴 법칙이 적용되지 않는 상황, 예를 들어 상대성 이론 및 전자기학에서도 일반화할 수 있다.^[18]

질점계의 운동에서, 특히 작용하는 외력이 평형을 이루는 경우

:dP/dt = d/dt(∑_i'''p'''_i(t)) = 0^영어

:'''P'''(t) = ∑_i'''p'''_i(t) = const.^영어

가 성립한다. 즉, 이 계에서는 계의 총 운동량이 시간적으로 변하지 않는다. 이것은 '''운동량 보존 법칙'''이라고 불린다. 운동량 보존 법칙은 뉴턴 역학에서는 작용 반작용의 법칙에서 유도되지만, 운동량 보존 법칙 자체는 작용 반작용의 법칙보다 일반적으로 성립하는 법칙이다. 예를 들어, 전자기학 등의 장의 이론에서는 근접 작용론의 입장을 취하고, 원격 작용론적인 법칙인 작용 반작용의 법칙을 그 기초에는 두지 않는다. 그러나 전자기학에서도 운동량 보존 법칙이 성립하고, 그것에 따라 운동량의 정의도 확장된다.

2. 2. 충격량

충격량은 일정 시간 동안 물체의 운동량 변화량으로, 힘과 시간의 곱으로 나타낼 수 있다. 충격량의 단위는 운동량의 단위와 같다.

뉴턴의 운동법칙에 따라 힘은 운동량의 시간에 따른 변화율이므로, 일정한 시간 ''t''에 대한 힘 '''F'''에 대한 충격량 '''I'''는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbf{I} = \int \mathbf{F}\, dt

만약 힘의 세기나 방향이 시간에 따라 바뀌지 않으면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathbf{I} = \mathbf{F} \cdot \Delta t

힘의 정의를 이 식에 다시 사용하면, 다음 식을 유도할 수 있다.

:

\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt

:

\mathbf{I} = \int d\mathbf{p}

:

\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}

시간 부터 까지 물체의 운동량 변화량은 다음과 같다.

:

\Delta \boldsymbol{p}(t_0; t_1) := \boldsymbol{p}(t_1) -\boldsymbol{p}(t_0)=\int_{t_0}^{t_1} \frac{d\boldsymbol{p}}{dt}\, dt

이 물체가 시간 에 힘 을 받으면서 운동하고 있었다면, 운동 방정식에서 운동량의 시간 변화율 은 힘 과 같으므로, 운동량의 변화량 은 다음과 같다.

:

\Delta \boldsymbol{p}(t_0; t_1) =\int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F}(t)\, dt =: \boldsymbol{I}

이 힘의 시간 적분 가 바로 '''충격량'''이며, 운동량의 변화량과 같다.

시간 동안 물체가 받는 힘의 시간적인 평균은 다음과 같이 정의된다.

:

\boldsymbol{F}_\text{ave}(t_0; t_1) := \frac{1}{\Delta t} \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F}(t)\, dt

힘의 시간 평균 을 이용하면 충격량은 다음과 같이 표현된다.

:

\boldsymbol{I} =\Delta\boldsymbol{p}(t_0; t_1) =\boldsymbol{F}_\text{ave}(t_0; t_1) \Delta t

특히 시간 이 충분히 짧고, 힘이 일정하다고 볼 수 있는 경우에는, 충격량은 단순히 힘과 시간의 곱으로 나타낼 수 있다.

:

\boldsymbol{I} =\Delta\boldsymbol{p} =\boldsymbol{F}\, \Delta t

즉, 물체에 일정한 힘을 가하여 물체의 운동량 변화를 크게 하려면, 힘이 작용하는 시간을 길게 하면 된다. 반대로, 큰 힘을 가했다 하더라도, 그것이 매우 짧은 시간 동안이라면, 물체에 주는 충격량은 작아진다.

3. 상대론적 운동량

특수 상대성 이론에서, 3차원 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다.^[54]^[55] 상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 $m_0$ 과 로런츠 인자 $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ , 속도 $v$ 의 곱으로 정의된다.

:'''p''' = ''γm''₀'''v'''

광자와 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 경우, 에너지 $E$ 와 운동량 $\mathbf p$ 는 서로 비례한다.

: $E/c=\lVert\mathbf p\rVert$ .

4. 일반화된 운동량

운동량은 측정하는 기준계에 따라 달라지는 양이다. 예를 들어, 질량 1000kg의 항공기가 공기 중에서 50m/s로 비행하면 운동량은 50,000 kg·m/s이다. 만약 5m/s의 역풍을 맞으면, 지구 표면 기준 속도는 45m/s이고 운동량은 45,000 kg·m/s가 된다. 두 계산 모두 정확하며, 운동량 변화는 물리 법칙과 일치한다.

기준계 변화는 운동 계산을 단순화할 수 있다. 두 입자 충돌에서 한 입자가 정지 상태로 시작하는 기준계를 선택하거나, 질량 중심계를 사용할 수 있다. 질량 중심계에서는 총 운동량이 0이다.

뉴턴의 운동 법칙은 제약 조건이 있는 경우 적용하기 어려울 수 있다. 예를 들어 주판알은 선을 따라 움직이고, 추는 고정된 거리에서 흔들린다. 이러한 제약 조건은 일반적인 직교 좌표를 더 적은 수의 ''일반화 좌표''로 변경하여 해결할 수 있다.^[17] 일반화 좌표에서 역학 문제를 푸는 방법이 개발되었고, 이 방법들은 ''일반화 운동량''(정준 운동량 또는 켤레 운동량)을 도입한다. 일반화 운동량과 구분하기 위해 질량과 속도의 곱을 ''역학적 운동량'', ''운동 운동량'', ''기하 운동량''이라고도 한다.^[18]^[19]^[20]

일상생활에서 물체의 운동량은 움직이는 물체를 멈추기 어려운 정도로 느껴진다. 무겁고 빠른 물체일수록 운동량이 크고, 정지시키려면 더 큰 충격량이 필요하다. 아이작 뉴턴은 운동 제2법칙을 통해 운동량의 시간적 변화와 힘의 관계를 제시하였다.

포텐셜이 속도에 의존하는 경우도 있다. 이때 직교 좌표계에서의 일반화된 운동량은 뉴턴 역학에서의 운동량과 다르다.

: $p_i = \frac{\partial (K(\boldsymbol{v}) - U(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v}))}{\partial v_i} \ne \frac{\partial K(\boldsymbol{v})}{\partial v_i} = mv_i.$

전자기장 속에서 운동하는 전하를 가진 입자의 비상대론적 운동이 그 예시이다. 이 계의 라그랑지안은 다음과 같다.

: $L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v}) = \frac{m}{2}\boldsymbol{v}^2 - e\phi(\boldsymbol{x}) + e\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})$

여기서 $e$ 는 물체의 전하, $\phi$ 는 스칼라 퍼텐셜, $\boldsymbol{A}$ 는 벡터 퍼텐셜이다. 이때 켤레 운동량은 다음과 같다.

: $\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{A}$

즉, 켤레 운동량은 질량과 속도의 곱인 '일반적인' 운동량에 전자기장과의 상호작용에 의한 $e\boldsymbol{A}$ 항이 더해진다.

이때, 해밀토니안은 르장드르 변환

: $H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) = \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{p} - L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})$

에 의해 다음과 같이 표현된다.

: $H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) = \frac{\left(\boldsymbol{p} - e\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})\right)^2}{2m} + e\phi(\boldsymbol{x})$

벡터 퍼텐셜이 없는 계와 비교하면, 형식적으로는 켤레 운동량 $\boldsymbol{p}$ 를 운동학적인 운동량 $\boldsymbol{p} - e\boldsymbol{A}$ 로 치환한 것과 같다.

4. 1. 라그랑주 역학

라그랑주 역학에서 일반화된 운동량은 일반화 좌표와 연관되어 있다. 일반화 운동량의 각 성분은 좌표에 대한 '켤레 운동량'이라고 하며, 다음과 같이 정의된다.^[18]

:

p_j = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} \,.

여기서

\mathcal{L}

은 라그랑지안으로 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이(

T - V

)를 나타내며,

\dot{q}_j

는 일반화 좌표의 시간 미분(일반화 속도)이다.

만약 주어진 좌표

q_j

가 라그랑지안에 나타나지 않으면 (하지만 그 시간 미분은 나타날 수 있다), 해당 좌표에 대한 켤레 운동량

p_j

는 상수이다. 이것은 운동량 보존의 일반화이다.^[18]

일반화 좌표가 단순히 일반적인 공간 좌표일지라도, 켤레 운동량이 반드시 일반적인 운동량 좌표인 것은 아니다. 전자기학에 대한 섹션에서 그 예를 찾을 수 있다.

해석역학에서 일반화 좌표

q_i

에 대응하는 '''일반화 운동량'''

p_i

는 그 계의 라그랑지안

L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})

의 일반화 속도

\dot{q}_i

에 대한 편미분으로 정의된다.

:

p_i := \frac{\partial L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})}{\partial \dot{q}_i}

여기서, 라그랑지안

L

은 운동 에너지

K

와 퍼텐셜

U

의 차이로 정의된다.

:

L = K - U.

3차원 직교 좌표계

\boldsymbol{x} = (x, y, z)

에서, 퍼텐셜이 속도

\dot{\boldsymbol{x}}

에 의존하지 않을 때는

:

L(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}}) = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - U(\boldsymbol{x})

:

p_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} = m \dot{\alpha}, \quad \alpha = x, y, z

이고, 이때 일반화 운동량

\boldsymbol{p}

는 질량과 속도의 곱이 된다. 이것은 뉴턴 형식의 운동량과 일치한다.

일반화 좌표로 2차원 극좌표

\boldsymbol{x} = (r, \theta)

를 선택하면, 라그랑지안과

r

,

\theta

에 대해 공액인 운동량

p_r

,

p_\theta

는 각각

:

L(r, \theta, \dot{r}, \dot{\theta}) = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U(\boldsymbol{x})

:

p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r}

:

p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m r^2 \dot{\theta}

가 된다. 여기서,

\theta

에 대해 공액인 운동량은 각운동량이 된다. 또

r

의 공액 운동량은 동경 방향의 운동량을 나타낸다.

4. 2. 해밀턴 역학

해밀턴 역학에서 라그랑지안(일반화 좌표와 그 도함수의 함수)은 일반화 좌표와 운동량의 함수인 해밀토니안으로 대체된다. 해밀토니안은 다음과 같이 정의된다.^[23]

:

\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\mathbf{p},t\right) = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{L}\left(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t\right)\,,

여기서 운동량은 위에서처럼 라그랑지안을 미분하여 얻는다. 해밀턴 운동 방정식은^[23]

:

\begin{align}\dot{q}_i &= \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_i}\\

\dot{p}_i &= \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_i}\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} &= \frac{\text{d} \mathcal{H}}{\text{d}t}\,.

\end{align}

라그랑주 역학과 마찬가지로, 일반화 좌표가 해밀토니안에 나타나지 않으면, 그 켤레 운동량 성분은 보존된다.^[24]

해밀턴 형식의 해석역학에서는 정준 방정식을 통해 주어지는 정준 변수 중 하나를 좌표라 부르고 다른 하나를 '''운동량'''이라 부른다. 이 의미의 운동량은 다른 것과 구별하여 정준 운동량^[84]이라고 부른다. 또한, 정준 운동량은 정준 방정식에서 좌표의 짝이 되는 의미에서 '''켤레 운동량'''^[85]이라고 불린다. 운동량은 해밀턴 형식의 역학에서는 속도보다 기본적인 양이며, 해밀턴 형식으로 기술되는 일반적인 양자역학에서도 중요한 역할을 한다.

해밀턴 형식의 역학에서는 일반화속도 대신에 일반화 운동량이 역학변수로 사용된다. 해밀토니안은 라그랑지안의 르장드르 변환으로 정의된다.

4. 3. 대칭과 보존

운동량 보존은 공간의 균질성(병진 대칭성)에 대응하는 보존량이다. 즉, 운동량 보존은 물리 법칙이 위치에 의존하지 않는다는 사실의 결과이며, 뇌터의 정리의 특수한 경우이다.^[25] 공간에서의 위치는 운동량에 대한 정준 켤레량이다. 시간의 균질성에 대응하는 에너지, 공간의 등방성에 대응하는 각운동량과 함께 기본적인 물리량이다.

이러한 대칭성을 갖지 않는 계에서는 운동량 보존을 정의할 수 없다. 운동량 보존이 적용되지 않는 예로는 일반 상대성 이론의 곡면 시공간^[26]이나 응축 물질 물리학의 시간 결정^[27]^[28]^[29]^[30]이 있다.

5. 전자기학에서의 운동량

해석역학에서는 일반화 좌표와 오일러-라그랑주 방정식을 통해 주어지는 운동량을 '''일반화 운동량'''^[83]이라고 부른다. 해밀턴 형식에서는 정준 방정식을 통해 주어지는 정준 변수 중 하나를 좌표, 다른 하나를 '''운동량'''(momentum^영어)이라 부르며, 이는 정준 운동량^[84] 또는 '''켤레 운동량'''^[85]이라고도 불린다.

자기장 속에서 움직이는 전자와 같이, 켤레 운동량과 일반적인 운동량이 다른 경우가 있다. 전자기장 속 전자에 작용하는 로렌츠 힘에 대응하는 퍼텐셜 에너지에는 전자의 속도 항이 포함되어, 켤레 운동량은 라그랑지안의 퍼텐셜 항에 의존하게 된다.^[85] 이때 켤레 운동량과 운동학적 운동량은 일치하지 않는다.

5. 1. 전자기장 속의 하전 입자

맥스웰 방정식에서 입자 사이의 힘은 전기장과 자기장에 의해 매개된다. 전하 $q$를 가진 입자에 작용하는 전자기력(로렌츠 힘)은 전기장 $\mathbf{E}$와 자기장 $\mathbf{B}$의 결합으로 인해 다음과 같다.^[40]

:

\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}).

( SI 단위)

전기퍼텐셜 $\varphi(\mathbf{r}, t)$과 자기 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)$을 갖는다.^[22] 비상대론적 영역에서 일반화된 운동량은 다음과 같다.

:

\mathbf{P} = m\mathbf{\mathbf{v}} + q\mathbf{A},

반면 상대론적 역학에서는 다음과 같다.

:

\mathbf{P} = \gamma m\mathbf{\mathbf{v}} + q\mathbf{A}.

$q\mathbf{A}$는 때때로 '퍼텐셜 운동량'이라고 불린다.^[41]^[42]^[43] 이는 입자가 전자기장과 상호 작용하여 발생하는 운동량이다.

해석역학에서 일반화 좌표와 오일러-라그랑주 방정식을 통해 주어지는 일반화 운동량^[83]의 예시로, 전자기장 속을 운동하는 전자의 운동을 들 수 있다. 전자기장 속을 운동하는 전자에는 로렌츠 힘이 작용하지만, 이 로렌츠 힘에 대응하는 일반화된 퍼텐셜 에너지에는 전자의 속도 항이 있기 때문에, 켤레 운동량은 라그랑지안의 퍼텐셜 항에 의존하는 형태가 된다. 이때 켤레 운동량과 운동학적 운동량은 일치하지 않는다.

포텐셜이 속도에 의존하는 경우, 직교 좌표계에서의 일반화된 운동량은 뉴턴 역학에서의 운동량과 다르다. 이러한 계의 예로, 전자기장 속에서 운동하는 전하를 가진 입자의 비상대론적 운동을 들 수 있다. 이 계의 라그랑지안은 구체적으로 다음과 같다.

:

여기서 $e$는 물체가 가지는 전하, $\phi$는 스칼라 퍼텐셜, $\mathbf{A}$는 벡터 퍼텐셜이다. 이때, 켤레 운동량은

:$\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{A}$

이 된다. 이때의 켤레 운동량은 질량과 속도의 곱인 '일반적인' 운동량에 전자기장과의 상호작용에 의한 $e\mathbf{A}$ 항이 더해진다.

5. 2. 전자기장 내 운동량 보존

닫힌계에서는 총 운동량이 일정하게 유지된다. 이 사실은 운동량 보존 법칙으로 알려져 있으며, 뉴턴 운동 법칙에서 유도된다.^[4]^[5] 이는 상대성 이론 및 전자기학에서도 일반화할 수 있다.^[18]

맥스웰 방정식에서 입자 사이의 힘은 전기장과 자기장에 의해 매개된다. 전하 q^영어를 가진 입자에 작용하는 전자기력(로렌츠 힘)은 전기장 '''E'''^영어과 자기장 '''B'''^영어의 결합으로 인해 다음과 같다.

:

\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}).

(SI 단위)^[40]

비상대론적 영역에서는 일반화된 운동량이 다음과 같다.

:

\mathbf{P} = m\mathbf{\mathbf{v}} + q\mathbf{A},

반면 상대론적 역학에서는 다음과 같다.

:

\mathbf{P} = \gamma m\mathbf{\mathbf{v}} + q\mathbf{A}.

q'''A'''^영어는 때때로 '퍼텐셜 운동량'이라고 불린다.^[41]^[42]^[43] 이는 입자가 전자기장과 상호 작용하여 발생하는 운동량이다.

뉴턴 역학에서 운동량 보존 법칙은 작용-반작용 법칙에서 유도될 수 있다. 어떤 상황에서는 움직이는 대전 입자가 서로 반대 방향이 아닌 힘을 작용할 수 있다.^[45] 그럼에도 불구하고, 입자와 전자기장의 총 운동량은 보존된다.

6. 양자역학에서의 운동량

양자역학에서 운동량은 파동함수에 대한 연산자로 정의된다.^[48] 하이젠베르크의 불확정성 원리에 따르면, 단일 관측 가능 계의 운동량과 위치는 동시에 정확하게 알 수 없다. 즉, 입자의 위치에 대한 정보가 어느 정도 있다면, 운동량은 항상 어느 정도의 불확정성을 갖는다. 양자역학에서 위치와 운동량은 켤레 변수이다.

전하와 스핀이 없는 입자의 운동량 연산자는 다음과 같다.

: $\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla$ .

여기서,

$\nabla$ 는 기울기 연산자이다.
$\hbar$ 는 디랙 상수이다.
$i = \sqrt{-1}$ 은 허수 단위이다.

위치 기저로 기술되는 단일 입자의 경우, 운동량 연산자는 위와 같이 쓸 수 있지만, 다른 기저에서는 다른 형태를 가질 수 있다. 예를 들어, 운동량 공간에서 운동량 연산자는 다음과 같은 고유값 방정식으로 표현된다.

:

\mathbf{p}\psi(p) = p\psi(p)\,,

여기서 연산자 p가 파동 고유함수 ψ(p)에 작용하면, 그 파동 함수에 고유값 p를 곱한 결과가 나온다. 이는 위치 연산자가 파동 함수 ψ(x)에 작용하여 그 파동 함수에 고유값 x를 곱한 결과를 얻는 것과 유사하다.

빛(혹은 전자기파)는 파동이지만, 실험에 의해 에너지와 운동량을 가진 입자이기도 하다는 것이 알려져 있다. 이 질량 0인 입자를 광자라고 한다.

양자역학에서 고전론적 운동량

\vec{p}

는 파동 함수

\psi(t,\vec{x}) = \psi(t, x, y, z)

에 대한,

:

\vec{p} \rightarrow \frac{\hbar}{i}\vec{\nabla} = \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial y},\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial z}\right)

라는 연산자로 간주된다. 여기서,

i

는 허수 단위,

\nabla

는 델 연산자이다.

혹은 에너지와 함께 사차원 벡터로 나타내면,

:

p_\mu \rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x^\mu}

이다. 이것들은 '''대응 원리'''라고 불린다.

정준 양자화라는 방법에 따르면, 위치와 운동량은 정준 교환 관계

:

[x^\mu,p_\nu]=i\hbar \delta^\mu_\nu

:

[x^\mu,x^\nu]=0 \, ,\, [p_\mu,p_\nu]=0

를 만족하는 물리량으로 양자화된다.

7. 유체역학에서의 운동량

유체역학에서 유체는 연속체로 간주되며, 각 지점에서 밀도, 속도, 압력, 점성 등의 물리량을 정의하여 운동량을 기술한다.

7. 1. 연속체에서의 운동량 보존

유체역학 및 고체역학과 같은 분야에서는 개별 원자 또는 분자의 운동을 추적하는 것이 현실적이지 않다. 대신, 각 지점에 작은 영역 내 원자들의 속성 평균값을 할당받은 입자 또는 유체 소포가 존재하는 연속체로 재료를 근사해야 한다. 특히, 밀도와 속도는 시간과 위치에 따라 달라진다. 단위 부피당 운동량은 이다.^[31]

정수압 평형 상태의 물기둥에서 물에 작용하는 모든 힘은 균형을 이루고 물은 정지해 있다. 어떤 물방울에도 중력과 주변 물이 표면에 가하는 힘의 합, 두 가지 힘이 균형을 이룬다. 단위 부피당 중력은 이며, 여기서 는 중력 가속도이다. 단위 면적당 수직 항력은 압력 이다. 물방울 내부의 단위 부피당 평균 힘은 압력의 기울기이므로 힘 균형 방정식은 다음과 같다.^[32]

-\nabla p +\rho \mathbf{g} = 0\,.

힘이 균형을 이루지 않으면 물방울이 가속된다. 이 가속도는 단순히 편미분 이 아니며, 주어진 부피의 유체는 시간에 따라 변하기 때문이다. 대신, 물질 도함수가 필요하다.^[33]

\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t}  + \mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\,.

임의의 물리량에 적용되는 물질 도함수는 지점에서의 변화율과 유체가 지점을 지나갈 때 발생하는 이류로 인한 변화를 포함한다. 단위 부피당 운동량 변화율은 와 같다. 이것은 물방울에 작용하는 알짜힘과 같다.

물방울의 운동량을 변화시킬 수 있는 힘에는 위에서 언급한 압력 기울기와 중력이 포함된다. 또한, 표면력은 물방울을 변형시킬 수 있다. 가장 간단한 경우, 물방울 표면에 평행하게 작용하는 전단 응력 는 변형률 또는 변형률 속도에 비례한다. 유체가 한쪽에서 다른 쪽보다 더 빠르게 움직이기 때문에 이러한 전단 응력이 발생한다. 방향의 속도가 에 따라 변하는 경우, 방향에 수직인 단위 면적당 방향의 접선력은 다음과 같다.

\sigma_{zx} = -\mu\frac{\partial v_x}{\partial z}\,,

여기서 는 점성이다. 이것은 또한 단위 면적당 유량 또는 -운동량의 표면을 통한 흐름이다.^[34]

점성의 영향을 포함하여 비압축성 흐름의 뉴턴 유체에 대한 운동량 균형 방정식은 다음과 같다.

\rho \frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\boldsymbol{\nabla} p + \mu\nabla^2 \mathbf{v} + \rho\mathbf{g}.\,

이것을 나비어-스토크스 방정식이라고 한다.^[35]

운동량 균형 방정식은 고체를 포함한 더 일반적인 재료로 확장될 수 있다. 방향의 법선을 가진 각 표면과 방향의 힘에 대해, 응력 성분 이 있다. 이 9개의 성분은 압력과 전단력을 모두 포함하는 코시 응력 텐서 를 구성한다. 운동량의 국소적 보존은 코시 운동량 방정식에 의해 표현된다.

\rho \frac{D \mathbf{v}}{D t} = \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f}\,,

여기서 는 체적력이다.^[36]

코시 운동량 방정식은 고체와 액체의 변형에 광범위하게 적용된다. 응력과 변형률 속도 사이의 관계는 재료의 특성에 따라 달라진다(점성의 종류 참조).

7. 2. 음파

매질의 교란은 그 근원으로부터 멀어지는 파동의 진동을 발생시킨다. 유체에서 압력의 작은 변화는 종종 음파 방정식으로 설명할 수 있다.

여기서 c|씨^영어는 음속이다. 고체에서 압력의 전파(P파)와 전단(S파)에 대해서도 유사한 방정식을 얻을 수 있다.^[37]

속도 v}}에 의한 운동량 성분 ρv}}의 플럭스 또는 단위 면적당 수송량은 ρv|로우브이브이}}와 같다. 위의 음향 방정식으로 이어지는 선형 근사에서 이 플럭스의 시간 평균은 0이다. 그러나 비선형 효과는 0이 아닌 평균을 발생시킬 수 있다.^[38] 파동 자체가 평균 운동량을 갖지 않더라도 운동량 플럭스가 발생할 수 있다.^[39]

8. 개념의 역사

요한 필로포누스는 아리스토텔레스의 『물리학』 주석서에서, 운동을 유지하기 위해 외부 힘이 필요하다는 아리스토텔레스의 주장에 반박하며 운동의 원인을 물체에 내재된 '임페투스(impetus)'로 설명했다.^[58]

이븐 시나는 필로포누스의 영향을 받아 『의학총서(The Book of Healing)』에서 임페투스를 외부 힘에 의해 소멸하는 지속적인 속성으로 보았다.^[59]^[60]^[61] 13세기와 14세기에 페테르 올리비와 장 뷔리당은 필로포누스와 이븐 시나의 저술을 참고하여 임페투스 이론을 발전시켰다.^[61] 장 뷔리당은 임페투스가 무게와 속도에 비례하며, 공기 저항과 중력에 의해 감소한다고 주장했다.^[62]^[63]

르네 데카르트는 『철학의 원리』(1644)에서 '운동의 양'을 크기와 속도의 곱으로 정의하고 우주의 총 운동량 보존을 주장했지만,^[64]^[65] 질량 개념과 속도와 속력을 구별하지 못했다.^[66] 갈릴레오는 『새로운 두 과학에 관한 논의』(1638)에서 impeto^it라는 단어로 데카르트의 운동량과 유사한 개념을 설명했다.

크리스티안 하위헌스는 데카르트의 법칙이 잘못되었음을 지적하고, 갈릴레이 불변성을 고려하여 탄성 충돌 법칙을 올바르게 공식화했다.^[70]^[71] 1670년, 존 월리스는 운동량 보존 법칙을 기술하며 운동량을 나타내는 데 "momentum"을 사용했다.^[75] 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 『형이상학 논고』(1686)에서 데카르트의 "운동량" 보존에 대한 구성에 반박하는 논증을 제시했다.^[76]

아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica^la(1687)에서 운동량 개념을 "속도와 물질의 양을 합쳐서 생기는 것"으로 명확히 정의하고,^[77] 운동 제2법칙과 운동량 보존 법칙을 확립했다.^[78]

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운동량