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영행렬

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목차

1. 개요

영행렬은 환 R 위의 m×n 행렬로, 모든 성분이 환 R의 덧셈 항등원 0∈R인 행렬이다. 임의의 행렬에 영행렬을 더하거나 곱하면 원래 행렬이 유지되거나 영행렬이 된다. 영행렬은 행렬 공간의 덧셈 항등원이며, 모든 벡터를 영벡터로 보내는 선형 변환을 나타낸다. 최소제곱법 회귀분석에서 데이터에 완벽하게 들어맞는 경우 소멸 행렬은 영행렬이다.

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  • 0 - 3월 0일
  • 0 - 영벡터
영행렬
정의
정의행렬의 모든 성분이 0인 행렬
표기O
성질
덧셈에 대한 항등원임의의 행렬 A에 대해 A + O = A
곱셈임의의 행렬 A에 대해 AO = O, OA = O
선형 변환모든 벡터를 영벡터로 보내는 선형 변환에 대응
유일성주어진 크기의 영행렬은 유일함

2. 정의

환 ''R'' 위의 ''m''×''n'' '''영행렬'''은 모든 성분이 환 ''R''의 덧셈 항등원 0∈''R''인 ''m''×''n'' 행렬이며, 다음과 같이 표현된다.

:0_{m\times n}=\begin{pmatrix}

0 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 0 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & 0

\end{pmatrix}_{m\times n}

예를 들어, 2×3 및 4×4 영행렬은 각각 다음과 같다.

:\begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

:\begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

3. 성질

환 ''R'' 위의 임의의 ''m''×''n'' 행렬 ''A''에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

:''A''+0''m''×''n''=0''m''×''n''+''A''=''A''

:0''m''×''m''''A''=''A''0''n''×''n''=0''m''×''n''

즉,


  • ''m''×''n'' 영행렬은 행렬 공간 \operatorname{Mat}(m,n;R)의 덧셈 항등원이다.
  • 임의의 행렬에 영행렬을 곱하면 영행렬이 된다.

''K''의 환에 속하는 원소를 가진 ''m'' × ''n'' 행렬의 집합은 환 ''K''''m'',''n''을 형성한다. ''K''''m'',''n''의 영행렬 0''K''''m'',''n''은 모든 성분이 0''K''와 같은 행렬이며, 여기서 0''K''는 ''K''의 덧셈 항등원이다.

:

0_{K_{m,n}} = \begin{bmatrix}

0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\

0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0_K & 0_K & \cdots & 0_K \end{bmatrix}_{m \times n}



영행렬은 ''K''''m'',''n''에서 덧셈 항등원이다.[4] 즉, 모든 A \in K_{m,n}에 대해 다음 방정식을 만족한다.

:0''K''''m'',''n'' + ''A'' = ''A'' + 0''K''''m'',''n'' = ''A''.

주어진 차원 ''m''×''n'' (주어진 환의 원소로 구성)에 정확히 하나의 영행렬이 존재하므로, 문맥이 명확할 때 종종 ''the'' 영행렬이라고 지칭한다. 일반적으로 환의 영원은 유일하며, 일반적으로 모환을 나타내는 아래 첨자 없이 0으로 표시된다. 따라서 위의 예는 모든 환에 대한 영행렬을 나타낸다.

영행렬은 또한 모든 벡터를 영벡터로 보내는 선형 변환을 나타낸다.[5] 이것은 멱등 행렬이며, 자신과 곱하면 결과가 자기 자신이 된다는 의미이다.

영행렬은 계수가 0인 유일한 행렬이다.

다음에서, ''l'', ''m'', ''n''은 임의의 자연수라고 한다.

  • ''m''행 ''n''열의 영행렬 ''O''와 ''m''행 ''n''열의 임의의 행렬 ''A''의 합은 ''A'' + ''O'' = ''O'' + ''A'' = ''A''가 되며, 차는 ''A'' − ''O'' = ''A'', ''O'' − ''A'' = −''A''가 된다.
  • ''l''행 ''m''열의 영행렬 ''O''와 ''m''행 ''n''열의 임의의 행렬 ''A''의 곱 ''OA''는, ''l''행 ''n''열의 영행렬이 된다.
  • ''l''행 ''m''열의 임의의 행렬 ''B''와 ''m''행 ''n''열의 영행렬 ''O''의 곱 ''BO''는, ''l''행 ''n''열의 영행렬이 된다.


이러한 점들로부터, ''n''차의 정사각 행렬 전체가 이루는 환을 생각할 때, 영행렬은 그 영원이 된다.

3. 1. 덧셈 항등원

환 R 위의 임의의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.[4]

:A+0_{m\times n}=0_{m\times n}+A=A

:0_{m\times m}A=A0_{n\times n}=0_{m\times n}

즉,

  • m\times n 영행렬은 행렬 공간 \operatorname{Mat}(m,n;R)의 덧셈 항등원이다.
  • 임의의 행렬에 영행렬을 곱하면 영행렬이 된다.


K의 환에 속하는 원소를 가진 m \times n 행렬의 집합은 환 K_{m,n}을 형성한다. K_{m,n}의 영행렬 0_{K_{m,n}} \, 은 모든 성분이 0_K \, 와 같은 행렬이며, 여기서 0_K 는 K의 덧셈 항등원이다.

:

0_{K_{m,n}} = \begin{bmatrix}

0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\

0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0_K & 0_K & \cdots & 0_K \end{bmatrix}_{m \times n}



영행렬은 K_{m,n} \, 에서 덧셈 항등원이다. 즉, 모든 A \in K_{m,n} \, 에 대해 다음 방정식을 만족한다.

:0_{K_{m,n}}+A = A + 0_{K_{m,n}} = A.

주어진 차원 ''m''×''n'' (주어진 환의 원소로 구성)에 정확히 하나의 영행렬이 존재하므로, 문맥이 명확할 때 종종 ''the'' 영행렬이라고 지칭한다. 일반적으로 환의 영원은 유일하며, 일반적으로 모환을 나타내는 아래 첨자 없이 0으로 표시된다. 따라서 위의 예는 모든 환에 대한 영행렬을 나타낸다.

영행렬은 또한 모든 벡터를 영벡터로 보내는 선형 변환을 나타낸다.[5] 이것은 멱등 행렬이며, 자신과 곱하면 결과가 자기 자신이 된다는 의미이다.

영행렬은 계수가 0인 유일한 행렬이다.

  • ''m''행 ''n''열의 영행렬 ''O''와 ''m''행 ''n''열의 임의의 행렬 ''A''의 합은 ''A'' + ''O'' = ''O'' + ''A'' = ''A''가 되며, 차는 ''A'' − ''O'' = ''A'', ''O'' − ''A'' = −''A''가 된다.
  • ''l''행 ''m''열의 영행렬 ''O''와 ''m''행 ''n''열의 임의의 행렬 ''A''의 곱 ''OA''는, ''l''행 ''n''열의 영행렬이 된다.
  • ''l''행 ''m''열의 임의의 행렬 ''B''와 ''m''행 ''n''열의 영행렬 ''O''의 곱 ''BO''는, ''l''행 ''n''열의 영행렬이 된다.


이러한 점들로부터, ''n''차의 정사각 행렬 전체가 이루는 환을 생각할 때, 영행렬은 그 영원이 된다.

3. 2. 곱셈 결과

환 R 위의 임의의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

:A+0_{m\times n}=0_{m\times n}+A=A

:0_{m\times m}A=A0_{n\times n}=0_{m\times n}

즉,

  • m\times n 영행렬은 행렬 공간 \operatorname{Mat}(m,n;R)의 덧셈 항등원이다.
  • 임의의 행렬에 영행렬을 곱하면 영행렬이 된다.


''l'', ''m'', ''n''이 임의의 자연수라고 할 때,

  • ''m''행 ''n''열의 영행렬 ''O''와 ''m''행 ''n''열의 임의의 행렬 ''A''의 합은 ''A'' + ''O'' = ''O'' + ''A'' = ''A''가 되며, 차는 ''A'' − ''O'' = ''A'', ''O'' − ''A'' = −''A''가 된다.
  • ''l''행 ''m''열의 영행렬 ''O''와 ''m''행 ''n''열의 임의의 행렬 ''A''의 곱 ''OA''는, ''l''행 ''n''열의 영행렬이 된다.
  • ''l''행 ''m''열의 임의의 행렬 ''B''와 ''m''행 ''n''열의 영행렬 ''O''의 곱 ''BO''는, ''l''행 ''n''열의 영행렬이 된다.


이러한 점들로부터, ''n''차의 정사각 행렬 전체가 이루는 환을 생각할 때, 영행렬은 그 영원이 된다.

3. 3. 기타 성질

K의 환에 속하는 원소를 가진 m × n 행렬의 집합은 환 Km,n을 형성한다. Km,n의 영행렬 0Km,n은 모든 성분이 0K와 같은 행렬이며, 여기서 0K는 K의 덧셈 항등원이다.

영행렬은 Km,n에서 덧셈 항등원이다.[4] 즉, 모든 A ∈ Km,n에 대해 다음 방정식을 만족한다.

0Km,n + A = A + 0Km,n = A.

주어진 차원 ''m''×''n'' (주어진 환의 원소로 구성)에 정확히 하나의 영행렬이 존재하므로, 문맥이 명확할 때 종종 ''the'' 영행렬이라고 지칭한다. 일반적으로 환의 영원은 유일하며, 일반적으로 모환을 나타내는 아래 첨자 없이 0으로 표시된다. 따라서 위의 예는 모든 환에 대한 영행렬을 나타낸다.

영행렬은 또한 모든 벡터를 영벡터로 보내는 선형 변환을 나타낸다.[5] 이것은 멱등 행렬이며, 자신과 곱하면 결과가 자기 자신이 된다는 의미이다.

영행렬은 계수가 0인 유일한 행렬이다.

  • ''m''행 ''n''열의 영행렬 ''O''와 ''m''행 ''n''열의 임의의 행렬 ''A''의 합은 ''A'' + ''O'' = ''O'' + ''A'' = ''A''가 되며, 차는 ''A'' − ''O'' = ''A'', ''O'' − ''A'' = −''A''가 된다.
  • ''l''행 ''m''열의 영행렬 ''O''와 ''m''행 ''n''열의 임의의 행렬 ''A''의 곱 ''OA''는, ''l''행 ''n''열의 영행렬이 된다.
  • ''l''행 ''m''열의 임의의 행렬 ''B''와 ''m''행 ''n''열의 영행렬 ''O''의 곱 ''BO''는, ''l''행 ''n''열의 영행렬이 된다.


이러한 점들로부터, ''n''차의 정사각 행렬 전체가 이루는 환을 생각할 때, 영행렬은 그 영원이 된다.

4. 활용

최소제곱법 회귀분석에서 데이터에 완벽하게 들어맞는 경우, 소멸 행렬은 영행렬이다.

4. 1. 최소제곱법

최소제곱법 회귀분석에서 데이터에 완벽하게 들어맞는 경우, 소멸 행렬은 영행렬이다.

참조

[1] 서적 Linear Algebra https://books.google[...] Springer
[2] 웹사이트 Intro to zero matrices (article) {{!}} Matrices https://www.khanacad[...] 2020-08-13
[3] 웹사이트 Zero Matrix https://mathworld.wo[...] 2020-08-13
[4] 서적 Modern Algebra https://books.google[...] Courier Dover Publications
[5] 서적 Linear Algebra: An Introduction https://books.google[...] Academic Press
[6] 서적 Linear Algebra Springer 1987


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