멱등 행렬

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 예
- 2.1. 2 x 2 멱등 행렬
- 2.2. 3 x 3 멱등 행렬
3. 2 x 2 실수 행렬의 경우
4. 성질
5. 응용
- 5.1. 최소제곱법
- 5.2. 투영 연산자
참조

1. 개요

멱등 행렬은 자기 자신과 곱했을 때 원래 행렬과 같은 결과를 내는 행렬을 의미한다. 2x2 및 3x3 행렬의 예시가 있으며, 2x2 실수 행렬의 경우 특정 조건을 만족해야 멱등 행렬이 된다. 멱등 행렬은 대각화 가능하며, 고윳값은 0 또는 1이다. 멱등 행렬의 대각합은 행렬의 계수와 같으며, 회귀 분석과 계량경제학에서 잔차 제곱합을 최소화하는 데 사용되는 등 다양한 응용 분야에서 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

회귀분석 - 회귀 분석
회귀 분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 통계적 기법으로, 최소 제곱법 개발 이후 골턴의 연구로 '회귀' 용어가 도입되어 다양한 분야에서 예측 및 인과 관계 분석에 활용된다.
회귀분석 - 로지스틱 회귀
로지스틱 회귀는 범주형 종속 변수를 다루는 회귀 분석 기법으로, 특히 이항 종속 변수에 널리 사용되며, 오즈에 로짓 변환을 적용하여 결과값이 0과 1 사이의 값을 가지도록 하는 일반화 선형 모형의 특수한 경우이다.
행렬 - 스핀 (물리학)
스핀은 양자역학적 각운동량으로, 양자화된 값을 가지며 자기 쌍극자 모멘트를 유발하여 다양한 분야에 응용되고 스핀트로닉스 기술 발전에 기여하지만, 전자의 스핀 기원은 아직 완전히 밝혀지지 않았다.
행렬 - 파울리 행렬
파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.

멱등 행렬
개요
정의	어떤 행렬을 제곱했을 때 원래의 행렬과 같아지는 행렬
수식	$$A^2 = A$$
성질	고유값은 0 또는 1 대각화 가능 선형 변환의 사영 행렬식은 0 또는 1
예시
2x2 멱등행렬	'$$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 nd{pmatrix}, egin{pmatrix} 1 & 0 \ a & 0 nd{pmatrix}, egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 nd{pmatrix}, egin{pmatrix} a & b \ c & 1-a nd{pmatrix}$$ (단, $$a^2 + bc = a$$)'
특징	'고유값은 0 또는 1 (수학)' '대각화 가능 (선형대수)' '선형 변환의 사영 (선형대수)' '행렬식은 0 또는 1 (수학)'
활용
통계학	분산 분석, 회귀 분석 등에서 멱등행렬이 사용됨
경제학	계량 경제학에서 멱등행렬이 사용됨

2. 예

2 × 2 멱등 행렬의 예시는 다음과 같다.

:

:

:

3 × 3 멱등 행렬의 예시는 다음과 같다.

:

:

:

2. 1. 2 x 2 멱등 행렬

2 \times 2

멱등 행렬의 예시는 다음과 같다.

\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}\qquad\begin{bmatrix}3 & -6 \\1 &  -2\end{bmatrix}

2. 2. 3 x 3 멱등 행렬

3 × 3 멱등 행렬의 예시는 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

:

\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}

:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

3. 2 x 2 실수 행렬의 경우

행렬 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$가 멱등 행렬이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

$a = a^2 + bc$
$b = ab + bd$, 즉 $b(1 - a - d) = 0$ 이므로 $b = 0$ 또는 $d = 1 - a$
$c = ca + cd$, 즉 $c(1 - a - d) = 0$ 이므로 $c = 0$ 또는 $d = 1 - a$
$d = bc + d^2$

따라서 $2\times2$ 행렬이 멱등 행렬이 되기 위한 필요 조건은 대각 행렬이거나 대각합이 1인 것이다. 멱등 대각 행렬의 경우 $a$와 $d$는 1 또는 0이어야 한다.

만약 $b=c$라면, 행렬 $\begin{pmatrix}a & b \\ b & 1 - a \end{pmatrix}$는 $a^2 + b^2 = a$를 만족할 때 멱등 행렬이 되며, 이는 중심이 (1/2, 0)이고 반지름이 1/2인 원의 방정식으로 표현될 수 있다. 각도 $\theta$를 사용하면, $\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 - \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & 1 + \cos\theta \end{pmatrix}$는 멱등 행렬이다.

그러나 $b=c$는 필요 조건은 아니다. $a^2 + bc = a$를 만족하는 행렬 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & 1 - a\end{pmatrix}$는 멱등 행렬이다.

4. 성질

4. 1. 특이성

유일한 비특이 멱등 행렬은 항등 행렬이다. 즉, 비 항등 행렬이 멱등 행렬인 경우, 독립적인 행(과 열)의 수는 행(과 열)의 수보다 적다. 이는 ${\displaystyle A^{2}=A}$로 쓰고, ${\displaystyle A}$가 전체 계수를 가진다(비 특이 행렬이다)고 가정하여 ${\displaystyle A^{-1}}$로 사전 곱하여 ${\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I}$를 얻는 것으로 알 수 있다.

멱등 행렬에서 항등 행렬을 뺀 행렬도 멱등 행렬이 된다. 이는 다음을 통해 알 수 있다.

:${\displaystyle (I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A}$

4. 2. 고윳값

멱등 행렬은 항상 대각화 가능하며, 그 고윳값은 0 또는 1이다.^[3]^[6] 만약

\mathbf{x}

가 어떤 멱등 행렬

A

의 0이 아닌 고유 벡터이고

\lambda

가 그에 대응하는 고윳값이라면,

\lambda \mathbf{x} = A \mathbf{x} = A^2\mathbf{x} = A \lambda \mathbf{x} = \lambda A \mathbf{x} = \lambda^2 \mathbf{x} ,

인데, 이는

\lambda \in \{ 0, 1 \}

임을 의미한다. 이는 추가적으로 멱등 행렬의 행렬식이 항상 0 또는 1임을 의미한다. 행렬식이 1과 같으면, 그 행렬은 가역적이며, 따라서 항등 행렬이다.

4. 3. 대각합

대각합(선형대수학)은 멱등 행렬의 계수 (선형대수학)와 같으므로, 멱등 행렬의 대각합 (주 대각선 요소의 합)은 항상 정수이다. 이는 계수를 쉽게 계산하는 방법이며, 또는 요소가 특별히 알려지지 않은 행렬의 대각합을 결정하는 쉬운 방법이기도 하다. (예를 들어, 통계학에서 분산을 모분산의 추정치로 사용할 때 편향 (통계학)의 정도를 설정하는 데 유용하다).

4. 4. 멱등성 보존

5. 응용

회귀 분석과 계량경제학에서 멱등 행렬은 자주 등장한다.^[2]^[5] 예를 들어, 최소제곱법에서 멱등 행렬은 잔차 제곱합을 최소화하는 계수 추정량을 구하는 데 사용된다. 잔차 벡터를 구하는 과정에서 멱등 행렬이 사용되며, 이를 통해 잔차 제곱합을 간편하게 계산할 수 있다.

최소제곱법에서 회귀 문제는 제곱 잔차(오차) ''e''_''i''의 합을 최소화하도록 계수 추정치의 벡터를 선택하는 것이다. 행렬 형식으로 표현하면 다음과 같다.

: 최소화 $(y - X\beta)^\textsf{T}(y - X\beta)$

여기서 $y$ 는 종속 변수 관측값의 벡터이고, $X$ 는 각 열이 독립 변수 중 하나의 관측값 열인 행렬이다. 결과 추정량은 다음과 같다.

: $\hat\beta = \left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y$

여기서 위첨자 ''T''는 전치 행렬을 나타내며, 잔차 벡터는 다음과 같다.^[2]

: $\hat{e} = y - X \hat\beta= y - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y= \left[I - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}\right]y= My.$

여기서 $M$ 과 $X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}$ (후자는 햇 행렬로 알려져 있음)는 모두 멱등 행렬이자 대칭 행렬이며, 제곱 잔차의 합을 계산할 때 이 사실을 활용하여 단순화할 수 있다.^[2]^[5]

: $\hat{e}^\textsf{T}\hat{e} = (My)^\textsf{T}(My) = y^\textsf{T}M^\textsf{T}My = y^\textsf{T}MMy = y^\textsf{T}My.$

$M$ 의 멱등성은 추정량 $\hat{\beta}$ 의 분산을 결정하는 등 다른 계산에서도 중요한 역할을 한다.

멱등 선형 연산자 $P$ 는 범위 공간에 대한 영 공간을 따른 투영 연산자이다. $P$ 는 멱등 행렬이자 대칭 행렬일 때에만 직교 투영 연산자이다.

5. 1. 최소제곱법

회귀 분석과 계량경제학에서 멱등 행렬은 자주 등장한다.^[2]^[5] 예를 들어, 최소제곱법에서 멱등 행렬은 잔차 제곱합을 최소화하는 계수 추정량을 구하는 데 사용된다. 잔차 벡터를 구하는 과정에서 멱등 행렬이 사용되며, 이를 통해 잔차 제곱합을 간편하게 계산할 수 있다.

최소제곱법에서 회귀 문제는 제곱 잔차(오차) ''e''_''i''의 합을 최소화하도록 계수 추정치의 벡터를 선택하는 것이다. 행렬 형식으로 표현하면 다음과 같다.

: 최소화

(y - X\beta)^\textsf{T}(y - X\beta)

여기서

y

는 종속 변수 관측값의 벡터이고,

X

는 각 열이 독립 변수 중 하나의 관측값 열인 행렬이다. 결과 추정량은 다음과 같다.

:

\hat\beta = \left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y

여기서 위첨자 ''T''는 전치 행렬을 나타내며, 잔차 벡터는 다음과 같다.^[2]

:

\hat{e} = y - X \hat\beta= y - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y= \left[I - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}\right]y= My.

여기서

M

과

X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}

(후자는 햇 행렬로 알려져 있음)는 모두 멱등 행렬이자 대칭 행렬이며, 제곱 잔차의 합을 계산할 때 이 사실을 활용하여 단순화할 수 있다.^[2]^[5]

:

\hat{e}^\textsf{T}\hat{e} = (My)^\textsf{T}(My) = y^\textsf{T}M^\textsf{T}My = y^\textsf{T}MMy = y^\textsf{T}My.

M

의 멱등성은 추정량

\hat{\beta}

의 분산을 결정하는 등 다른 계산에서도 중요한 역할을 한다.

멱등 선형 연산자

P

는 범위 공간에 대한 영 공간을 따른 투영 연산자이다.

P

는 멱등 행렬이자 대칭 행렬일 때에만 직교 투영 연산자이다.

5. 2. 투영 연산자

멱등 선형 연산자

P

는 영 공간 을 따른 범위 공간 에 대한 투영 연산자이다.^[5]

P

가 멱등 행렬이자 대칭 행렬일 때에만 직교 투영 연산자가 된다.^[5]

멱등 행렬은 회귀 분석이나 계량 경제학에서 자주 나타난다. 예를 들어 최소 자승법에서는, 잔차 ''e''_''i''의 제곱합을 최소로 하는 계수 벡터를 구하는 것이 문제가 된다. 이것을 행렬로 쓰면 다음과 같다.

: 최소화

(y - X\beta)^\textsf{T}(y - X\beta)

여기서

y

는 종속 변수의 관측값을 나열한 벡터,

X

는 각 열이 각각의 독립 변수의 관측값을 나열한 행렬이다. 이때 계수 벡터의 추정량은

:

\hat\beta = \left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y

가 된다. 여기서 위첨자 ''T''는 행렬의 전치를 나타내며, 잔차 벡터는

:

\hat{e} = y - X \hat\beta= y - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y= \left[I - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}\right]y= My

가 된다.^[2]^[5]

M

과

X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}

(후자는 사영 행렬로 알려져 있다)는 멱등 행렬이며 대칭 행렬이며, 이것을 사용하면 잔차 제곱합의 계산이

:

\hat{e}^\textsf{T}\hat{e} = (My)^\textsf{T}(My) = y^\textsf{T}M^\textsf{T}My = y^\textsf{T}MMy = y^\textsf{T}My

와 같이 간단해진다.^[5]

M

의 멱등성은 이 외에도,

\beta

의 분산의 추정량을 계산할 때에도 사용된다.^[5]

참조

_[1] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics https://archive.org/[...] McGraw–Hill
_[2] 서적 Econometric Analysis Prentice–Hall
_[3] 서적 Matrix analysis Cambridge University Press
_[4] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics McGraw–Hill
_[5] 서적 Econometric Analysis Prentice–Hall
_[6] 서적 Matrix analysis Cambridge University Press
_[7] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics https://archive.org/[...] McGraw–Hill
_[8] 서적 Econometric Analysis https://archive.org/[...] Prentice–Hall

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com