항등원
1. 개요
항등원은 집합 S와 S에 대해 닫혀 있는 이항 연산 *로 이루어진 마그마 (S, *)에서, S의 모든 원소 a에 대해 eL * a = a를 만족하는 좌항등원 eL, a * eR = a를 만족하는 우항등원 eR이 존재할 때, eL과 eR이 같으면 e = eL = eR을 의미한다. 덧셈과 곱셈에 대한 항등원을 구분하며, 곱셈에 대한 항등원은 단위원이라고도 불린다. 좌항등원과 우항등원이 모두 존재하면 두 항등원은 같으며, 유일한 항등원이 된다. 마그마는 여러 개의 좌항등원 또는 우항등원을 가질 수 있지만, 양쪽 항등원은 최대 하나만 존재한다. 항등원은 모든 마그마에 존재하는 것은 아니며, 짝수 정수의 곱셈, 유클리드 벡터의 외적, 양수 자연수의 덧셈 등은 항등원을 가지지 않는다. 양의 정수는 최소공배수 연산에 대해 1을, 음이 아닌 정수는 최대공약수 연산에 대해 0을, 벡터는 벡터 덧셈에 대해 영벡터를, 확장된 실수는 최솟값/하한 연산에 대해 양의 무한대를, 최댓값/상한 연산에 대해 음의 무한대를, 콤팩트 곡면은 연결합 연산에 대해 구를, 군은 직접곱 연산에 대해 자명군을 항등원으로 가진다.
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0 -
3월 0일
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영벡터
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단위
단위는 특정 양을 측정하거나 수량을 세는 기준을 의미하며, 불교 용어에서 유래하였으나 수학, 과학, 의학 등 다양한 분야에서 각기 다른 의미와 기준으로 사용된다. -
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항등 함수
항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다. -
군론 -
점군
점군은 도형의 병진 조작을 제외한 대칭 조작들의 집합으로 군론의 공리를 만족하며, 쉐인플리스 기호나 허먼-모건 기호로 표기되고, 대칭 조작에 대응하는 행렬 표현은 가약 표현과 기약 표현으로 분해될 수 있다. -
군론 -
파울리 행렬
파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.
2. 정의
집합 S와 S에 대해 닫혀 있는 이항연산 *로 이루어진 마그마 (S, *)가 주어졌을 때,
* S의 모든 원소 a에 대해 가 성립한다면, 을 좌항등원이라 한다.
* S의 모든 원소 a에 대해 가 성립한다면, 을 우항등원이라 한다.
* 만약 좌항등원과 우항등원이 같다면, 을 항등원이라 한다.
환론과 체론 등에서는 특별히 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원을 구분하기도 하며, 특별히 곱셈에 대한 항등원을 단위원(單位元ko-Hani, unity영어)이라고 부르기도 한다. 이는 환의 단위와는 다른 개념이며, 단위 원은 곱셈에 대한 역원을 갖는 원소를 의미한다.
3. 성질
어떤 마그마에서 좌항등원과 우항등원이 모두 존재하면, 이 둘은 반드시 같고, 유일한 (양쪽) 항등원이 된다. 이를 확인하려면, $l$이 왼쪽 항등원이고 $r$이 오른쪽 항등원이라면, $l = l * r = r$임을 보면 된다. 마그마는 여러 개의 좌항등원 또는 우항등원을 가질 수 있지만, 양쪽 항등원은 최대 하나만 존재할 수 있다. 만약 두 개의 항등원, 예를 들어 $e$와 $f$가 있다면, $e * f$는 $e$와 $f$ 둘 다와 같아야 하기 때문이다.
모든 마그마가 항등원을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 곱셈 연산 아래의 짝수 정수의 경우가 그렇다. 또 다른 예시는 유클리드 벡터의 외적인데, 여기서 항등원이 없는 이유는 0이 아닌 외적의 방향이 항상 곱해진 모든 원소에 직교하기 때문이다. 즉, 원래와 같은 방향으로 0이 아닌 벡터를 얻는 것은 불가능하다. 항등원이 없는 또 다른 예로는 양수 자연수의 덧셈 반군이 있다.
4. 예시
실수나 복소수는 덧셈에 대한 항등원으로 0을, 곱셈에 대한 항등원으로 1을 가진다. 행렬은 행렬의 덧셈에 대해 영행렬을, 행렬의 곱셈에 대해 단위행렬을 항등원으로 가진다. 함수는 합성함수 연산에 대해 항등함수를 항등원으로 가진다.
집합 M의 부분 집합들은 교집합 연산에 대해 M을, 합집합 연산에 대해 공집합을 항등원으로 가진다. 문자열과 튜플은 결합 연산에 대해 빈 문자열이나 빈 리스트를 항등원으로 가진다. 부울 대수는 논리곱과 논리적 쌍조건자 연산에 대해 참(⊤)을, 논리합과 배타적 논리합 연산에 대해 거짓(⊥)을 항등원으로 가진다. 매듭은 매듭 합에 대해 자명한 매듭을 항등원으로 가진다.
4.1. 다른 예시
양의 정수는 최소공배수 연산에 대해 1을 항등원으로 가진다. 음이 아닌 정수는 최대공약수 연산에 대해 0을 항등원으로 가진다. (단, 최대공약수의 정의에 따라 다를 수 있다.) 벡터는 벡터 덧셈에 대해 영벡터를 항등원으로 가진다. 확장된 실수는 최솟값/하한 연산에 대해 양의 무한대를, 최댓값/상한 연산에 대해 음의 무한대를 항등원으로 가진다. 콤팩트 곡면은 연결합 연산에 대해 구를 항등원으로 가진다. 군은 직접곱 연산에 대해 자명군을 항등원으로 가진다.
5. 항등원의 첨가
마그마 (M, \*)가 주어졌을 때, M에 M의 어떤 원소와도 다른 새로운 원소 1을 추가한 집합 M1 := M ∪ {1}에서 임의의 a ∈ M1에 대하여 a * 1 = 1 * a = a 으로 정하고, M의 연산 *를 M1상으로 확장함으로써, 원소 1을 M1의 *에 관한 항등원으로 할 수 있다. 이 (M1, \*)를 (M, \*)의 1-첨가라고 한다.
만약, M이 원래 *에 관한 항등원 e를 가지고 있었더라도, e는 M1상에서는 더 이상 *에 관한 항등원이 아니다.