항등원

3. 성질

어떤 마그마에서 좌항등원과 우항등원이 모두 존재하면, 이 둘은 반드시 같고, 유일한 (양쪽) 항등원이 된다.^[15] 이를 확인하려면, $l$이 왼쪽 항등원이고 $r$이 오른쪽 항등원이라면, $l = l * r = r$임을 보면 된다. 마그마는 여러 개의 좌항등원 또는 우항등원을 가질 수 있지만, 양쪽 항등원은 최대 하나만 존재할 수 있다. 만약 두 개의 항등원, 예를 들어 $e$와 $f$가 있다면, $e * f$는 $e$와 $f$ 둘 다와 같아야 하기 때문이다.

모든 마그마가 항등원을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 곱셈 연산 아래의 짝수 정수의 경우가 그렇다.^[3] 또 다른 예시는 유클리드 벡터의 외적인데, 여기서 항등원이 없는 이유는 0이 아닌 외적의 방향이 항상 곱해진 모든 원소에 직교하기 때문이다. 즉, 원래와 같은 방향으로 0이 아닌 벡터를 얻는 것은 불가능하다. 항등원이 없는 또 다른 예로는 양수 자연수의 덧셈 반군이 있다.

4. 예시

실수나 복소수는 덧셈에 대한 항등원으로 0을, 곱셈에 대한 항등원으로 1을 가진다.^[1] 행렬은 행렬의 덧셈에 대해 영행렬을, 행렬의 곱셈에 대해 단위행렬을 항등원으로 가진다.^[1] 함수는 합성함수 연산에 대해 항등함수를 항등원으로 가진다.^[1]

집합 M의 부분 집합들은 교집합 연산에 대해 M을, 합집합 연산에 대해 공집합을 항등원으로 가진다.^[1] 문자열과 튜플은 결합 연산에 대해 빈 문자열이나 빈 리스트를 항등원으로 가진다.^[1] 부울 대수는 논리곱과 논리적 쌍조건자 연산에 대해 참(⊤)을, 논리합과 배타적 논리합 연산에 대해 거짓(⊥)을 항등원으로 가진다.^[1] 매듭은 매듭 합에 대해 자명한 매듭을 항등원으로 가진다.^[1]

4. 1. 다른 예시

5. 항등원의 첨가

마그마 (''M'', \*)가 주어졌을 때, ''M''에 ''M''의 어떤 원소와도 다른 새로운 원소 1을 추가한 집합 ''M''¹ := ''M'' ∪ {1}에서 임의의 ''a'' ∈ ''M''¹에 대하여 ''a'' * 1 = 1 * ''a'' = ''a'' 으로 정하고, ''M''의 연산 *를 ''M''¹상으로 확장함으로써, 원소 1을 ''M''¹의 *에 관한 항등원으로 할 수 있다. 이 (''M''¹, \*)를 (''M'', \*)의 '''1-첨가'''라고 한다.

만약, ''M''이 원래 *에 관한 항등원 ''e''를 가지고 있었더라도, ''e''는 ''M''¹상에서는 더 이상 *에 관한 항등원이 아니다.

참조

_[1] 웹사이트 Identity Element http://mathworld.wol[...] 2019-12-01
_[2] 웹사이트 Definition of IDENTITY ELEMENT https://www.merriam-[...] 2019-12-01
_[3] 웹사이트 Identity Element https://www.encyclop[...] 2019-12-01
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 웹사이트 Identity Element {{!}} Brilliant Math & Science Wiki https://brilliant.or[...] 2019-12-01
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적