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예각삼각형

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목차

1. 개요

예각삼각형은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다. 삼각형의 넓이 S는 변의 길이 a, b, c와 각 A, B, C를 이용하여 다양한 공식으로 나타낼 수 있으며, 특히 두 변과 끼인각을 이용한 넓이 공식이 널리 사용된다. 이러한 공식들은 밑변과 높이를 이용한 기본적인 넓이 공식과 삼각함수의 덧셈 정리, 코사인 법칙 등을 통해 유도될 수 있다.

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예각삼각형
정의
설명세 각이 모두 직각보다 작은 삼각형을 말한다. 다시 말해, 세 각이 모두 90°보다 작은 삼각형이다.
속성
각세 각 모두 90° 미만
종류삼각형
성질
피타고라스 정리'c^2 < a^2 + b^2 (c는 가장 긴 변)'

2. 넓이

두 변과 끼인각을 알 때, 세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

: S = {1 \over{2}}{bc \sin A}= {1 \over{2}}{ca \sin B}= {1 \over {2} } {ab \sin C}

2. 1. 두 변과 끼인각을 이용한 넓이 공식

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

: S = {1 \over{2}}{bc \sin A}= {1 \over{2}}{ca \sin B}= {1 \over {2} } {ab \sin C}

삼각형


밑변 b , 높이 h 를 갖는 삼각형의 넓이 공식은 S= {1 \over 2} b \cdot h이다.[1]

선분 \overline{AB} 와 선분 \overline{AC}의 사잇각(끼인각)을 \sin A 라고 했을 때,

:\sin A = \over {\text{빗변}}} = } =

따라서,

:\sin A =

:c \cdot \sin A = h

:S= {1 \over{2}} {b} \cdot c \cdot \sin A

3. 공식 유도



밑변 b, 높이 h를 갖는 삼각형에서 넓이 공식은 S= \frac{1}{2} b \cdot h이다.[1]

선분 \overline{AB}와 선분 \overline{AC}의 사잇각(끼인각)을 A라고 하면, \sin A = \frac{h}{\overline{AB}} = \frac{h}{c}이다.

따라서,

:\sin A = \frac{h}{c}

:h = c \sin A

이므로, 삼각형의 넓이 공식에 대입하면

:S= \frac{1}{2} b c \sin A

이다.

4. 삼각함수의 덧셈정리



삼각형 ABC의 넓이 \triangle ABC는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\triangle ABC= \triangle AHB+\triangle AHC

:\triangle ABC= {1 \over{2}} {b}c \sin(\alpha+\beta)

또한, \triangle AHB+\triangle AHC 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\triangle AHB+\triangle AHC

:={1 \over{2}}\; \overline{BH}\;\overline{AH} + {1 \over{2}}\; \overline{CH}\;\overline{AH}

:={1 \over{2}}c \sin \alpha \; b \cos \beta + {1 \over{2}} b \sin \beta \; c \cos \alpha

:={1 \over{2}}c b (\sin \alpha \;\cos \beta + \sin \beta \; \cos \alpha)

따라서, 위 식들을 종합하면 다음과 같다.

: {1 \over{2}} {b}c \sin(\alpha+\beta) = {1 \over{2}}c b (\sin \alpha \;\cos \beta + \sin \beta \; \cos \alpha)

: \sin(\alpha+\beta) = (\sin \alpha \;\cos \beta + \sin \beta \; \cos \alpha)

5. 코사인법칙

이것을 코사인(\cos)에 대해 나타내보면 다음과 같다.

:\overline{BC} = \overline{BH}+\overline{HC}

:\cos B = \frac{\overline{BH}}{c}

:c\cos B = \overline{BH}

:\cos C = \frac{\overline{HC}}{b}

:b\cos C = \overline{HC}

따라서,

:\overline{BC}= \overline{BH}+\overline{HC}

:a= c\cos B + b\cos C

이것은 코사인법칙의 제1코사인법칙이다.

:a=b\cos C+c\cos B, b=c\cos A+a\cos C, c=a\cos B+b\cos A


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