삼각형
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1. 개요
삼각형은 세 개의 점(꼭짓점)과 세 개의 선분(변)으로 이루어진 다각형이다. 변의 길이나 각의 크기에 따라 정삼각형, 이등변삼각형, 직각삼각형 등으로 분류되며, 세 내각의 합은 유클리드 공간에서 180도이다. 삼각형은 세 변의 길이, 두 변과 그 사이의 각, 한 변과 양 끝각의 크기에 따라 합동 조건이 결정되며, 세 변의 길이의 비, 두 변의 길이의 비와 끼인각, 두 각의 크기에 따라 닮음 조건이 성립한다. 삼각형의 넓이는 밑변과 높이, 삼각함수, 내접원, 외접원, 방접원, 좌표 등을 이용하여 계산할 수 있다. 비유클리드 기하학에서는 내각의 합이 180도가 아닐 수 있으며, 다양한 실생활 및 3차원 물체에서 활용된다.
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| 삼각형 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 변의 수 | 3 |
| 슐레플리 기호 | {3} (정삼각형의 경우) |
| 각도 | 60° (정삼각형의 경우) |
| 면적 | 다양한 방법이 존재; 아래 참조 |
2. 정의 및 표기법
삼각형은 세 점(꼭짓점)과 세 선분(변)으로 이루어진 다각형이다. 세 꼭짓점을 A, B, C로 표시할 때, 기호 △를 사용하여 △ABC로 나타낸다. 이 기호는 피에르 에리곤 등이 16세기에 사용하기 시작했다.[25]
삼각형은 변의 길이와 각의 크기에 따라 여러 종류로 분류된다.
삼각형의 두 변이 이루는 각을 '''내각'''이라고 한다. 삼각형은 3개의 내각을 가지며, 그 합은 평면상에서는 2직각(180도)이 된다.
한 변과 다른 변의 연장선이 만드는 각을 삼각형의 '''외각'''이라고 한다. (그림 1의 ∠ACD). 삼각형의 한 꼭짓점에서 내각을 사이에 둔 두 변 이외의 변을 그 꼭짓점(내각)의 '''대변'''이라고 한다. 또한, 삼각형의 한 변에 대해, 변의 양 끝 이외의 꼭짓점(내각)을 그 변의 '''대각'''이라고 한다.
일반적으로, 삼각형의 꼭짓점이나 그 꼭짓점의 내각을 나타낼 때는 대문자 알파벳을 사용한다. 특히, 내각(내각의 크기)을 나타낼 때는, 꼭짓점 앞에 기호 ∠를 붙이거나(∠ABC), 꼭짓점의 문자를 이탤릭체(''B'')로 나타내는 것이 관례이다.
변(변의 길이)을 나타낼 때는, 대각(마주보는 꼭짓점)의 문자에 대응하는 소문자 알파벳으로 나타내는 것이 일반적이다. 예를 들어, 각 B의 대변 CA는 ''b''로 나타낸다. 이 기법은 18세기의 레온하르트 오일러 때부터 사용되었다.[26]
3. 종류
변의 길이에 따른 분류
각의 크기에 따른 분류
thumb
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이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변을 '''등변'''이라고 하고, 나머지 한 변을 '''밑변'''이라고 한다. 두 등변이 이루는 각을 '''꼭지각'''이라고 하고, 나머지 두 내각을 '''밑각'''이라고 한다. 가 인 이등변삼각형이라면, 밑각 이다(이등변삼각형의 밑각의 성질).[5] 반대로, 의 두 각이 이면, 인 이등변삼각형이 된다(이등변삼각형의 성립 조건). 이등변삼각형은 선대칭 도형이며, 꼭지각의 이등분선, 밑변의 수직이등분선, 꼭짓점에서 밑변에 그은 중선은 모두 대칭축 위에 놓인다.
정삼각형의 내각은 모두 60°로 같다. 반대로, 어떤 내각이 60°인 이등변삼각형은 정삼각형이다. 정삼각형은 정다각형의 일종이다. 정삼각형에는 대칭축이 3개 있다. 정삼각형의 무게중심, 외심, 내심, 수심, 페르마 점은 모두 일치한다.
4. 성질
유클리드 기하학에서 삼각형의 성질은 다음과 같다.
- 세 내각의 합은 180도이다. 그러나 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다. (비유클리드 기하학 참고)
- 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
- 삼각형의 어떤 변의 길이도 다른 두 변의 길이의 합보다 작다. 이 관계는 삼각 부등식으로 일반화된다.
- 중점연결정리: 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 절반이다.
- 피타고라스의 정리
- 사인 법칙
- 코사인 법칙
- 체바 정리/메넬라오스 정리
삼각형의 세 변 중 하나를 밑변으로 했을 때, 그 대각점에서 밑변 또는 그 연장선에 내린 수선이 삼각형에 의해 잘린 선분(선분의 길이)을 '''삼각형의 높이'''라고 한다. 밑변을 어떤 변으로 보느냐에 따라 삼각형에는 3개의 높이가 있다. 삼각형의 높이는 밑변과 대각점 사이의 거리에 해당한다.
밑변의 중점과 대각점을 잇는 선분을 삼각형의 '''중선'''이라고 한다. 삼각형에는 3개의 중선이 있으며, 삼각형의 면적을 이등분한다.
4. 1. 직각삼각형의 성질
내각 중 하나가 직각인 삼각형을 '''직각삼각형'''이라고 부른다. 직각삼각형의 꼭짓점 중, 내각이 직각인 꼭짓점을 직각 꼭짓점이라고 부른다(그림 4).[10]직각삼각형에서 직각이 아닌 나머지 두 내각은 90도 미만이며, 이들을 직각삼각형의 예각이라고 부른다. 두 예각의 합은 직각과 같다.[10]
직각삼각형에서 직각의 대변을 '''빗변'''이라고 한다. 빗변은 직각삼각형의 세 변 중에서 가장 긴 변이다. 빗변이 아닌 나머지 두 변은 '''직각을 끼는 두 변'''이라고 부른다.[10]
직각을 끼는 두 변 , 와 빗변 사이에는 다음 관계가 성립한다(피타고라스 정리).[10]
:
반대로, 의 세 변 , , 가 위 등식을 만족하면, 는 빗변이 인 직각삼각형이다(피타고라스 정리의 역).[10]
4. 2. 이등변삼각형의 성질
이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변을 '''등변'''이라고 하고, 나머지 한 변을 이등변삼각형의 '''밑변'''이라고 부른다. 두 등변이 이루는 각을 '''꼭지각'''이라고 하고, 나머지 두 내각을 '''밑각'''이라고 한다. 꼭지각의 대변이 밑변이며, 밑변의 양 끝의 각이 밑각이다. 또한, 이등변삼각형에서 '''꼭짓점'''이라고 말하는 경우, 특히 밑변의 대각점을 가리킨다.가 인 이등변삼각형이라면, 밑각 이고(이등변삼각형의 밑각의 성질), 반대로, 의 두 각이 이면, 인 이등변삼각형이 된다(이등변삼각형의 성립 조건).
이등변삼각형은 선대칭 도형이며, 꼭지각의 이등분선, 밑변의 수직이등분선, 꼭짓점에서 밑변에 그은 중선은 모두 대칭축 위에 놓인다.
이등변삼각형 중, 꼭지각이 직각인 것을 '''직각이등변삼각형'''이라고 한다. 직각이등변삼각형에서는 직각을 끼고 있는 두 변을 등변, 밑변을 빗변이라고 부를 수도 있다. 두 예각, 즉 밑각의 크기는 각각 45도가 된다.
4. 3. 정삼각형의 성질
이등변삼각형 중, 등변과 밑변의 길이가 같은 것을 '''정삼각형'''이라고 한다.정삼각형의 내각은 모두 같아 60도가 된다. 반대로, 어떤 내각이 60도인 이등변삼각형은 정삼각형이다.
정삼각형은 정다각형의 일종이다. 모든 변이 같고, 모든 내각이 같은 다각형을 정다각형이라고 정의하지만, 정삼각형은 세 변이 같음으로써 정의된다.
정삼각형에는 대칭축이 3개 있다. 정삼각형의 무게중심, 외심, 내심, 수심, 페르마 점은 모두 일치한다.[12]
5. 오심(五心)
삼각형에는 내심, 외심, 수심, 무게중심, 방심의 다섯 가지 중요한 점이 있으며, 이를 통틀어 오심(五心)이라고 한다.
- 내심: 삼각형의 세 내각의 이등분선이 만나는 점으로, 내접원의 중심이다.
- 외심: 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점으로, 외접원의 중심이다.
- 수심: 삼각형의 각 꼭짓점에서 마주보는 변(또는 그 연장선)에 내린 수선의 교점이다.
- 무게중심: 삼각형의 세 중선(꼭짓점과 마주보는 변의 중점을 이은 선분)이 만나는 점이다.
- 방심: 삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선이 만나는 점으로, 방접원의 중심이며 삼각형마다 3개가 존재한다.
외심(O), 무게 중심(G), 수심(H)은 한 직선 위에 있으며, 이 직선을 오일러선이라고 부른다. 또한, OG : GH = 1 : 2이다.
5. 1. 내심 (内心)
삼각형의 각 이등분선은 꼭짓점을 지나 해당 각을 이등분하는 직선이다. 세 각 이등분선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 삼각형의 내심이라고 한다. 내심은 삼각형의 내접원의 중심이 된다. 내접원은 삼각형 내부에 있으면서 세 변 모두에 접하는 원이다.[8][9] 내접원의 반지름을 내반지름이라고 한다.5. 2. 외심 (外心)
삼각형의 변의 수직이등분선은 변의 중점을 지나 변에 수직인 직선으로, 변과 직각을 이룬다.[7] 세 수직이등분선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 삼각형의 '''외심'''이라고 한다. 외심은 외접원의 중심이며, 외접원은 세 꼭짓점을 모두 지나는 원이다.[7] 탈레스 정리에 따르면, 외심이 삼각형의 변 위에 있으면 그 변의 반대쪽 각은 직각이다.[7] 외심이 삼각형 내부에 있으면 예각삼각형이고, 외부에 있으면 둔각삼각형이다.[7]
외심은 항상 삼각형 내부에 있는 것은 아니다. 둔각삼각형의 외심은 삼각형 외부에 있으며, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치한다.
5. 3. 수심 (垂心)
삼각형의 각 꼭짓점에서 마주보는 변에 수직으로 내린 선분을 '''높이'''라고 한다. 삼각형은 어떤 변을 밑변으로 하는지에 따라 3개의 높이를 가진다. 이 3개의 높이는 한 점에서 만나는데, 이 교점을 수심이라고 한다.[7] 수심은 삼각형에 하나만 존재하지만, 반드시 삼각형 내부에 있는 것은 아니다. 둔각삼각형의 경우 수심은 삼각형 외부에 있으며, 직각삼각형의 경우에는 직각을 이루는 꼭짓점이 수심이 된다.5. 4. 무게중심 (重心)
삼각형의 중선은 꼭짓점과 마주보는 변의 중점을 연결한 선분으로, 삼각형을 두 개의 동일한 영역으로 나눕니다. 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 삼각형의 무게 중심이라고 합니다.
무게 중심은 균일한 밀도를 가진 얇은 판으로 만든 삼각형 물체의 질량 중심과 같습니다. 즉, 균일한 중력장 내에서 이 무게 중심을 기준으로 물체의 균형을 맞출 수 있습니다. 무게 중심은 각 중선을 2:1 비율로 나눕니다. 다시 말해, 꼭짓점에서 무게 중심까지의 거리는 무게 중심에서 마주보는 변의 중점까지 거리의 두 배입니다.
5. 5. 방심 (傍心)
삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선이 만나는 점을 '''방심'''이라고 한다. 모든 삼각형에는 내심과 달리 방심이 3개 존재한다. 방심은 한 변과 다른 두 변의 연장선과의 거리가 같으며, 이 점을 중심으로 하고 반지름이 그 거리인 원을 '''방접원'''이라고 한다.
삼각형의 세 변 또는 그 연장선과 거리가 같은 점은 내심과 방심을 합쳐 4개가 존재한다.[7] 내접원과 방접원의 중심은 수심계를 형성한다.[7]
6. 합동 조건
두 삼각형을 이동하여 겹쳐 놓을 수 있을 때, 이 두 삼각형은 합동이다. 여기서 이동이란, 평행이동, 회전이동, 대칭이동을 몇 가지 합성한 것이다.[1]
어떤 두 삼각형에 대해, 다음 조건 중 하나라도 만족하면, 그 두 삼각형은 합동이 된다. 이를 삼각형의 합동 조건이라고 한다. 이 조건은 "세 가지 조건 중 어느 하나가 주어지면 삼각형은 결정된다", "닮음"의 특별한 경우이다(이는 일반적인 다각형에 대해서도 성립한다)라고 해석할 수도 있다.[1]
- 세 변의 길이 같음 (SSS): 세 쌍의 변의 길이가 각각 같다.[1]
- 두 변과 그 사이의 각 같음 (SAS): 두 쌍의 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같다.[1]
- 한 변과 양 끝각 같음 (ASA): 두 쌍의 각의 크기와 그 사이에 끼인 변의 길이가 각각 같다. (한 쌍의 변의 길이와 양 끝 각의 크기가 각각 같다)[1]
삼각형의 내각의 합이 일정(180도)함을 고려하면, "ASA"에서 주어지는 두 각은, 변을 끼는 두 각이 아니어도 된다는 것을 알 수 있다.[1]
한편, "SAS"에서는 단순히 두 변과 한 각이 같다고 해서 합동이 되는 것은 아니다. 그림에서 보듯이, 와 에 대해, 이지만, 합동이 아니다.[1]
특히, 한 각이 직각인 경우에는, 추가로 다음 합동 조건도 성립한다.[1]
7. 닮음 조건
두 삼각형이 닮음이 되기 위한 조건은 다음과 같다.
- 세 변의 길이의 비가 각각 같다.
- 두 변의 길이의 비와 그 끼인각의 크기가 각각 같다.
- 두 각의 크기가 각각 같다.
"세 변의 길이의 비가 같음"은 삼각형의 세 변의 연비가 같은 것을 의미하기도 한다.
:
이는 서로 동치이다. 단, 일본의 초등 중등 교육에서는 3연비를 도입하지 않은 단계에서는 이 표현을 피하는 경우가 있다.
특히 정삼각형, 직각 이등변 삼각형은 세 내각의 조합이 일정하므로 각각 서로 닮음이다.
8. 넓이
평면 도형인 다각형에는 내부와 외부가 있으며, 면적을 생각할 수 있다. 그중에서도 기본적인 삼각형의 넓이를 구하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 어떤 공식을 사용할지는 알고 있는 양(변의 길이, 내각 등)에 따라 적절히 사용하면 된다.
8. 1. 밑변과 높이를 이용한 공식
밑변의 길이가 이고, 높이가 인 삼각형의 넓이 는 다음과 같이 구할 수 있다.[24]:
8. 2. 삼각함수를 이용한 공식
비평면 삼각형은 평평한 공간인 유클리드 공간에 포함되지 않은 삼각형이다. 쌍곡 공간 및 구면 기하학과 같이 여러 공간에서도 삼각형을 발견할 수 있다. 쌍곡 공간의 삼각형을 쌍곡선 삼각형이라고 하며, 이는 안장면과 같이 음의 곡률을 가진 표면에 그려서 얻을 수 있다. 구면 기하학의 삼각형을 구면 삼각형이라고 하며, 이는 구와 같이 양의 곡률을 가진 표면에 그려서 얻을 수 있다.[22]유클리드 공간에서 삼각형의 내각의 합은 항상 180°이다. 그러나 쌍곡선 삼각형의 내각의 합은 180°보다 작고, 구면 삼각형의 경우 합은 180°보다 크다.[22] 지라르의 정리에 따르면, 구면에서 삼각형의 각의 합은 이며, 여기서 는 삼각형이 둘러싼 구의 면적의 비율이다.
더 일반적인 공간에서는 공간의 삼각형 속성을 쌍곡선 또는 타원 공간과 같은 모델 공간의 해당 삼각형의 속성과 관련된 비교 정리가 있다. 예를 들어, CAT(k) 공간은 이러한 비교로 특징지어진다.
8. 2. 1. 세 변의 길이를 알 때
세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 일 때 삼각형의 넓이 S는 헤론의 공식에 의해 다음과 같이 주어진다.:
8. 2. 2. 두 변과 끼인각의 크기를 알 때
두 변의 길이를 , 끼인각의 크기를 라고 할 때, 넓이 는 다음과 같다.:
이 공식은 높이 및 사인의 정의를 통해 유도할 수 있다.
8. 2. 3. 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
한 변의 길이를 , 그 양 끝각의 크기를 , 라고 할 때, 삼각형의 넓이 는 다음과 같이 구할 수 있다.[22][23]:
또는
:
8. 3. 내접원, 외접원, 방접원을 이용한 공식
삼각형의 세 변의 길이를 각각 , , 라 하고, 내접원의 반지름을 , 외접원의 반지름을 , A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름을 각각 , , 라 하자. 그리고 라 할 때, 삼각형의 넓이 는 다음과 같이 표현할 수 있다.8. 4. 좌표를 이용한 공식
2차원 직교좌표와 극좌표, 그리고 n차원 좌표 공간에서 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 다음과 같다.- 밑변의 길이가 이고, 높이가 인 삼각형의 넓이
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- 2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(''x''1,''y''1),(''x''2,''y''2)인 삼각형의 넓이 (자세한 내용은 #2차원 직교좌표 참고)
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