정삼각형

2. 성질

정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같고, 세 내각의 크기가 모두 60°인 정다각형이다. 이등변삼각형의 특수한 경우로, 현대적 정의에서는 정삼각형의 세 변 중 하나를 밑변으로 간주할 수 있다.

어떤 정삼각형의 한 변의 길이를 $a$라고 하면 다음과 같은 성질을 갖는다. 이 값들은 모두 피타고라스 정리를 이용하여 얻어낼 수 있다.

정삼각형의 한 꼭짓점에서 반대편 변에 수선을 내리면 수선의 발은 그 변의 중점이 된다. 이는 이등변삼각형의 성질을 이용하여 얻을 수 있다. 정삼각형의 체바선은 모두 길이가 같으며, 중선과 각의 이등분선의 길이가 같다.

삼각형에 대한 등주 부등식에 따르면, 주어진 둘레를 가진 모든 삼각형 중에서 가장 큰 넓이를 갖는 삼각형은 정삼각형이다. 오일러 정리에 따르면, 정삼각형은 어떤 삼각형보다 외접원 반지름 $R$과 내접원 반지름 $r$의 비율이 가장 작다 ($R\; \backslash ge\; 2r$).

폼페이우의 정리에 따르면, 정삼각형의 외접원 위에 있지 않은 임의의 점에 대해, 그 점에서 각 꼭짓점까지의 거리를 변의 길이로 하는 삼각형이 존재한다. 모리 각의 삼등분선 정리에 따르면, 모든 삼각형에서 인접한 각의 삼등분선의 세 교점은 정삼각형을 이룬다. 비비아니 정리에 따르면, 정삼각형 내부의 임의의 점에서 각 변까지의 거리의 합은 정삼각형의 높이와 같다.

정삼각형은 각도가 도 단위로 측정될 때 세 개의 유리수 각도를 가진 정수 삼각형을 가질 수 있다.

2. 1. 좌표

2. 2. 대칭성

내심, 삼각형#외심, 삼각형#수심, 무게중심이 모두 일치하는 유일한 삼각형이다. 내심과 외심이 일치하므로 각의 이등분선과 대변의 수직이등분선이 일치하며, 이 선으로 정삼각형을 나누면 직각삼각형이 된다. 이 직각삼각형은 삼각자의 하나로 사용된다.

3. 작도

정삼각형은 컴퍼스와 자를 이용하여 작도할 수 있다. 일반적인 방법은 다음과 같다.

# 한 직선 위 어떤 점을 중심으로 하는 일정 반지름의 원을 그린다.

# 원과 직선의 두 교점을 A, B라 할 때, 점 A를 중심으로 하는 반지름이 같은 원을 하나 더 그린다.

# 두 원의 교점과 점 B를 잇는다.

위 작도법은 다른 방법으로, 이등변삼각형의 성질을 이용하여 원에 내접하는 정삼각형을 작도할 수도 있다.

유클리드의 ''원론'' 제1권의 첫 번째 명제에서 정삼각형을 작도하는 방법을 제시하였다. 먼저 특정 반지름을 가진 원을 그리고, 컴퍼스의 점을 원 위에 놓고, 같은 반지름을 가진 다른 원을 그린다. 두 원은 두 점에서 교차하는데, 두 원의 중심과 교차점을 연결하여 정삼각형을 작도할 수 있다.

서로 합동인 직각 이등변삼각형을 여러 개 배치하여 정삼각형을 작도할 수도 있다.

4. 활용

정삼각형은 인공 구조물과 대중문화에 자주 등장한다. 예를 들어 게이트웨이 아치의 단면과 베그레빌 달걀의 표면에서 찾아볼 수 있다. 니카라과 국기와 필리핀 국기에도 정삼각형이 나타나며, 교통 표지판을 포함한 다양한 교통 표지에도 사용된다.

정삼각형은 입체화학 연구에서 중심 원자가 평면에서 다른 세 개의 원자를 연결하는 삼각 평면 분자 기하 구조를 설명하는 데 사용된다.

톰슨 문제는 구 위에 있는 $n$개의 전하 입자의 최소 에너지 구성을 찾는 문제이고, 탐메스 문제는 점들 사이의 가장 작은 거리를 최대화하는 구면 코드를 구성하는 문제이다. $n=3$일 때, 알려진 최상의 해는 점들을 정삼각형의 꼭짓점에 배치하는 것이며, 이는 외접 구에 내접한다. 이 구성은 탐메스 문제에 대해 최적임이 증명되었지만, 톰슨 문제의 이 경우에 대한 엄밀한 해는 알려져 있지 않다.

정다각형 중에서 평면을 틈 없이 채울 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형뿐이다. 또한 정다면체의 면이 될 수 있는 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐이며, 그중 면이 정삼각형인 것은 정사면체, 정팔면체, 정이십면체이다.

정삼각형 6개를 한 꼭짓점에 모으면 정육각형이 만들어진다. 이는 한 종류의 정다각형을 배치하여 다른 정다각형을 만드는 유일한 방법이다. 두 종류 이상의 정다각형을 사용할 경우, 정육각형을 6개의 정사각형과 정삼각형으로 번갈아 둘러싸 정십이각형을 만들 수 있다.

5. 기타

모리 각의 삼등분선 정리에 따르면, 모든 삼각형에서 인접한 각의 삼등분선의 세 교점은 정삼각형을 이룬다.

비비아니 정리는 정삼각형 내부의 임의의 점 $P$에서 변까지의 거리 $d$, $e$, $f$와 높이 $h$에 대해 다음이 성립한다고 말한다.

$$d+e+f\; =\; h,$$

이는 $P$의 위치와 무관하다.

정삼각형은 각도가 도 단위로 측정될 때 세 개의 유리수 각도를 가진 정수 삼각형이며, 방족 삼각형(꼭짓점이 높이의 발에 위치함)과 유사한 유일한 예각 삼각형으로 알려져 있다. 또한, 그 슈타이너 내접 타원이 원인 유일한 삼각형(특히 내접원)이다. 주어진 원에 내접하는 모든 삼각형 중에서 가장 넓은 면적을 가진 삼각형은 정삼각형이며, 주어진 원을 외접하는 모든 삼각형 중에서 가장 작은 면적을 가진 삼각형 또한 정삼각형이다. 이는 정사각형 외에 다른 정다각형 내부에 내접할 수 있는 유일한 정다각형이다.

정삼각형 내부에 점 $P$가 주어지면, 꼭짓점으로부터의 거리의 합과 변으로부터의 거리의 합의 비는 2보다 크거나 같으며, 등식은 $P$가 무게중심일 때 성립한다. 다른 어떤 삼각형에서도 이 비가 2만큼 작은 점은 없다. 이것은 에르되시-모델 부등식이며, 이보다 더 강력한 변형인 배로우 부등식은 변에 대한 수직 거리를 $\backslash angle\; APB$, $\backslash angle\; BPC$, $\backslash angle\; CPA$의 각의 이등분선이 변($A$, $B$, $C$는 꼭짓점)과 만나는 점까지의 $P$로부터의 거리로 대체한다. 정삼각형인 경우에만 등식이 성립하는 수많은 다른 삼각형 부등식 목록이 있다.

특히, 정삼각형은 한 꼭짓점에서 여섯 개의 삼각형이 만나는 방식으로 유클리드 평면을 테셀레이션한다. 이 테셀레이션의 쌍대는 육각형 테셀레이션이다. 잘린 육각형 테셀레이션, 마름모삼각 육각형 테셀레이션, 삼각 육각형 테셀레이션, 엇각 사각 테셀레이션, 엇각 육각형 테셀레이션은 모두 정삼각형으로 구성된 준정규 테셀레이션이다. 정삼각형으로 만들어진 다른 2차원 객체로는 셰르핀스키 삼각형(작은 정삼각형으로 재귀적으로 세분하여 구성된 프랙탈)과 뢰로 삼각형(각 변을 둥글게 하여 정삼각형으로 구성된 정폭의 곡선 삼각형) 등이 있다.

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