원환체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 원환체의 정의 및 기본 성질
3. 원환체의 부피와 표면적
- 3.1. 원형 단면 원환체
  - 3.1.1. 부피 유도 (적분)
- 3.2. 사각형 단면 원환체
4. 원환체의 변형 및 응용
참조

1. 개요

원환체는 3차원 공간에서 원을 원의 중심을 지나지 않는 축을 중심으로 회전시켜 얻는 회전체이다. 회전축까지의 거리에 따라 링 원환체, 뿔 원환체, 스핀들 원환체로 분류되며, 회전축까지의 거리가 짧아지면 링 원환체에서 뿔 원환체, 스핀들 원환체를 거쳐 구로 변형된다. 원환체의 부피와 표면적은 회전 반지름과 회전하는 단면의 모양에 따라 결정되며, 원형 단면의 경우 부피는 $V = 2\pi^2r^2R$ , 표면적은 $S = 4 \pi^2 r R$ 로 계산된다.

더 읽어볼만한 페이지

다양체 - 짜임새 공간
짜임새 공간은 위상 공간 위의 점들의 위치 관계를 연구하는 공간으로, 위상 공간 $X$ 위의 $n$ 개의 점들의 짜임새 공간 $\operatorname{Conf}^nX$ 은 $X$ 속의, $n$ 개 이하의 원소들을 갖는 부분 집합들의 집합으로 정의되며, 위상수학, 응용수학, 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
다양체 - 원환면
원환면은 3차원 공간에서 도넛 모양을 가지며 주요 반지름과 부반지름으로 정의되고 종횡비에 따라 링, 호른, 스핀들 토러스 등으로 분류되며 수학의 여러 분야에서 연구되는 곡면이다.
적분학 - 미적분학
미적분학은 미분과 적분이라는 두 연산을 중심으로 하는 수학 분야로, 여러 고대 문명에서 기원하여 뉴턴과 라이프니츠에 의해 체계화되었고, 함수의 변화율과 면적을 계산하며, 다양한 분야에 응용된다.
적분학 - 절대 수렴
절대 수렴은 급수의 각 항에 절댓값을 취한 급수가 수렴하는 경우를 의미하며, 실수 또는 복소수 급수에서 절대 수렴하면 원래 급수도 수렴하고, 바나흐 공간에서는 절대 수렴하는 급수가 수렴한다.
기하학 - 밀러 지수
밀러 지수는 결정학에서 결정 면과 방향을 나타내기 위해 사용되는 지수이며, 역격자 벡터 또는 격자 벡터 절편의 역수를 통해 정의되며, 물질의 물리적, 화학적 성질 및 기술적 응용에 중요한 역할을 한다.
기하학 - 반지름
반지름은 원의 중심에서 원 위의 점까지의 거리로, 원의 지름과 둘레, 넓이 계산에 사용될 뿐 아니라 정다각형 외접원, 그래프 이론, 극좌표계 등 다양한 분야에서 활용되며, 여러 도형의 반지름을 구하는 공식이 존재하고 한국의 교육, 건축, 디자인 분야에서도 널리 쓰인다.

원환체

2. 원환체의 정의 및 기본 성질

'''원환체'''(Torus)는 원을 3차원 공간에서 원과 같은 평면에 놓여 있으면서 원의 중심을 지나지 않는 축을 중심으로 회전시켜 얻을 수 있는 회전체이다. 회전축까지의 거리에 따라 링 원환체, 뿔 원환체, 스핀들 원환체 세 가지로 나뉜다. 원환체는 회전하는 단면의 중심에서 측정한 회전 반지름 ''R''로 지정된다.

원환체의 부피 공식은 다음과 같다.

:

V = 2\pi^2r^2 R

:

V = (\pi r^2)(2 \pi R)

여기서,

$(2 \pi R) = L$ (원환체 내부 원 둘레)
$L$ 은 원기둥의 높이

따라서 원환체의 부피는 원기둥의 부피와 같다. (

V = (\pi r^2)L

)

회전축까지의 거리가 짧아지면 링 원환체가 뿔 원환체가 되고 이어서 스핀들 원환체가 되며 마지막으로 구로 변한다.

2. 1. 링 원환체 (Ring Torus)

회전축이 원과 만나지 않는 경우 생성된다. (R > r) 일반적인 도넛 모양을 갖는다.

2. 2. 뿔 원환체 (Horn Torus)

뿔 원환체는 회전축이 원에 접하는 경우 생성된다. 이때, R = r이다.^[1]

2. 3. 스핀들 원환체 (Spindle Torus)

회전축이 원과 두 점에서 만나는 경우 생성된다. (R < r) 레몬과 비슷한 모양을 갖는다.^[1]

3. 원환체의 부피와 표면적

원환체의 부피와 표면적은 회전 반지름 R과 단면의 모양에 따라 결정된다. 원환체는 회전하는 단면의 중심에서 측정한 회전 반지름 ''R''로 지정된다. 대칭 단면의 경우, 물체의 부피와 표면적은 단면의 둘레 ''C''와 면적 ''A''를 사용하여 계산할 수 있다.

3. 1. 원형 단면 원환체

단면이 원인 원환체의 부피(V)와 표면적(S)은 다음과 같이 주어진다. 여기서 r은 원형 단면의 반지름이고, R은 회전 반지름이다.

부피: $V = 2\pi^2r^2R$
표면적: $S = 4 \pi^2 r R$

R - r = a

,

R + r = b

에서

r = \frac{1}{2}(b-a)

,

R = \frac{1}{2}(b+a)

이므로

V =  \pi^2 \left(b-a \right)^2 \left( b+a \right)

3. 1. 1. 부피 유도 (적분)

도넛 모양의 원환체 부피는 야코비 행렬식

J

와 함께 삼중적분으로 표현될 수 있다.^[1]

:

J= a^{'}(R+a^{'} cos \; n)

:

x = (R+a^{'} \; cos \; n) cos \; m

:

y = (R+a^{'}\;  cos \; n) sin \;  m

:

z = a^{'}\; sin \; n

:

V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} a^{'} (R+a^{'} cos \; n) d a^{'} d n \; d m

:

\;\;\; = 2 \pi^{2} r^2 R

3. 2. 사각형 단면 원환체

임의의 x, y, z 입체 좌표상의 사각형을 z축으로 회전시킨 원환체의 부피(V)와 표면적(S)은 다음과 같은 방정식으로 주어지며, 여기서 A는 정사각형 단면의 면적이고, R은 회전 반지름, C는 정사각형 단면의 둘레이다.

:

V = 2 \pi R A

:

S = 2 \pi R C

4. 원환체의 변형 및 응용

회전축까지의 거리를 변화시킴으로써 링 원환체는 뿔 원환체가 되고, 이어서 스핀들 원환체가 되며, 마지막으로 구와 같은 다른 형태로 변형될 수 있다.^[1]

종류	이미지	수식
뿔 원환체		$1=R = r$
링 원환체		$R > r$
스핀들 원환체		$R < r$

참조

_[1] MathWorld Toroid http://mathworld.wol[...]
_[2] 서적 Adventures Among the Toroids:A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces Stewart 1980
_[3] 논문 Spontaneous generation and patterning of chiral polymeric surface toroids http://xlink.rsc.org[...] 2010
_[4] 서적 toroid https://kotobank.jp/[...] コトバンク
_[5] MathWorld Toroid http://mathworld.wol[...]
_[6] 서적 Adventures Among the Toroids:A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces Stewart 1980

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com