밀러 지수

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1. 개요
2. 밀러 지수의 정의
- 2.1. 방향 지수
- 2.2. 면 지수
3. 밀러 지수 표기법
4. 다양한 결정 구조에서의 밀러 지수
- 4.1. 입방 구조
- 4.2. 육방 및 마름모 구조
5. 결정면과 방향의 중요성
6. 밀러 지수의 한계 (밀러 지수의 문제점)
참조

1. 개요

밀러 지수는 결정학에서 결정 면과 방향을 나타내는 데 사용되는 지수이다. 이는 역격자 벡터를 사용하여 면을 정의하거나, 격자 벡터의 절편의 역수를 통해 정의할 수 있다. 밀러 지수는 (hkl)로 표기하여 면을, [hkl]로 표기하여 방향을 나타낸다. 입방 구조에서는 밀러 지수가 직교 좌표계의 법선/방향을 나타내며, 육방 및 마름모 구조에서는 브라베-밀러 지수를 사용하여 네 개의 지수로 표현하기도 한다. 결정 면과 방향은 물질의 물리적, 화학적 성질에 큰 영향을 미치며, 광학적 성질, 쪼개짐, 전위 등 다양한 현상과 관련이 있다. 반도체 웨이퍼 제작과 같은 기술적 응용에도 중요하다.

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밀러 지수
밀러 지수
기본 정보
정의	결정학에서 결정 격자면의 방향을 나타내는 정수 지표 체계
사용 분야	결정학 재료 과학
개발자	윌리엄 헐즈 밀러
표기법	(hkl)
표기법 세부 사항
지수 h	x축(a축)을 따라 결정면이 자르는 단위 격자 벡터 수의 역수
지수 k	y축(b축)을 따라 결정면이 자르는 단위 격자 벡터 수의 역수
지수 l	z축(c축)을 따라 결정면이 자르는 단위 격자 벡터 수의 역수
지수 표기	괄호 (hkl) 중괄호 {hkl} (동등한 면들) 대괄호 [hkl] (방향) 꺾쇠 ⟨hkl⟩ (동등한 방향들)
결정면
(100) 면	결정학적 a축에 수직인 면
(010) 면	결정학적 b축에 수직인 면
(001) 면	결정학적 c축에 수직인 면
(110) 면	a축과 b축을 자르는 면
(111) 면	a축, b축, c축을 자르는 면
(200) 면	a축을 (100) 면의 절반 거리에서 자르는 면
음수 지수	위에 바를 표시하여 표기 (예: (100)는 (100))
역사
최초 고안	1839년 윌리엄 헐즈 밀러
활용
X선 회절	결정 구조 분석
투과 전자 현미경	결정 결함 분석
재료 과학	결정 성장 및 박막 공정
관련 개념
브래그 법칙	결정 격자면에서 X선 회절 현상 설명
라우에 지수	브래그 법칙을 이용한 결정 구조 분석

2. 밀러 지수의 정의

밀러 지수는 역격자의 한 점을 통해서 또는 격자 벡터를 따라 역절편으로서 정의할 수 있다.^[1] 두 정의 모두 아래에 제시되어 있다. 어느 경우든 단위 세포를 정의하는 세 개의 격자 벡터 '''a'''₁, '''a'''₂, 그리고 '''a'''₃를 선택해야 한다(기존의 단위 세포는 브라베 격자의 원시 세포보다 클 수 있으며, 아래 예에서 설명하는 바와 같다). 이것들이 주어지면, 세 개의 원시 역격자 벡터( '''b'''₁, '''b'''₂, 그리고 '''b'''₃로 표시)도 결정된다.

그러면, 세 개의 밀러 지수 $h, k, \ell, (hk\ell)$ 가 주어지면, 역격자 벡터에 직교하는 면을 나타낸다.

: $\mathbf{g}_{hk\ell} = h \mathbf{b}_1 + k \mathbf{b}_2 + \ell \mathbf{b}_3 .$

즉, (''hkℓ'')는 단순히 원시 역격자 벡터의 기저에서 면에 대한 법선을 나타낸다. 좌표가 정수이기 때문에 이 법선 자체는 항상 역격자 벡터이다. 최저항의 요구사항은 주어진 방향에서 가장 ''짧은'' 역격자 벡터임을 의미한다.

동등하게, (''hkℓ'')는 세 점 '''a'''₁/''h'', '''a'''₂/''k'', 그리고 '''a'''₃/''ℓ'' 또는 그 배수를 교차하는 면을 나타낸다. 즉, 밀러 지수는 격자 벡터의 기저에서 면의 절편의 ''역수''에 비례한다. 지수 중 하나가 0이면, 면이 해당 축과 교차하지 않음을 의미한다(절편은 "무한대에 있다").

하나 이상의 격자점( ''격자면'')을 교차하는 (''hkℓ'') 면만 고려하면, 인접한 격자면 사이의 수직 거리 ''d''는 면에 직교하는 (가장 짧은) 역격자 벡터와 다음 공식으로 관련되어 있다. $d = 2\pi / |\mathbf{g}_{h k \ell}|$ .^[1]

관련 표기 [hkℓ]는 ''방향''을 나타낸다.

: $h \mathbf{a}_1 + k \mathbf{a}_2 + \ell \mathbf{a}_3 .$

즉, 역격자 대신 직접 격자 기저를 사용한다. 아래에 설명된 바와 같이 입방 격자를 제외하고는 [hkℓ]이 (''hkℓ'') 면에 일반적으로 수직이 아니라는 점에 유의한다.

2. 1. 방향 지수

결정 방향을 나타내는 지수로, 결정 격자 벡터의 선형 결합으로 표현된다. 방향 지수는 [hkl]과 같이 대괄호를 사용하여 표기하며, h, k, l은 정수이다.^[6]^[7]

어떤 결정의 결정축으로

\vec{a}_{1}

,

\vec{a}_{2}

,

\vec{a}_{3}

를 선택했을 때, 격자점끼리 잇는 임의의 벡터

\vec{A}

는 정수의 쌍 K, L, M을 사용하여

:

\vec{A}= K \vec{a}_{1} +L \vec{a}_{2} + M \vec{a}_{3}

의 형태로 표현된다. [100]과 같이 성분 사이에 콤마를 넣는 표기는 하지 않는다. 표기상의 문제로 성분의 구분이 어려운 경우 [1012]와 같이 성분에 밑줄을 그어 구분한다. 음의 성분을 갖는 방향은 숫자 위에 바를 붙여

[ \bar{1}00 ]

과 같이 쓴다.^[6]^[7]

공간군대칭성의 관점에서 등가인 방향 지수는 그 중 가장 단순한 것으로 대표시킨다. 예를 들어, 단순입방결정계에서는

[100] , [010] , [001] , [\bar{1}00] , [0\bar{1}0] , [00\bar{1}]

는 점군 대칭성의 관점에서 모두 등가이므로, 이들은

\langle 100 \rangle

으로 대표시킨다.^[6]^[7]

2. 2. 면 지수

밀러 지수는 역격자의 한 점을 통해서 또는 격자 벡터를 따라 역절편으로서 정의할 수 있다.^[1] 단위 세포를 정의하는 세 개의 격자 벡터 '''a'''₁, '''a'''₂, '''a'''₃를 선택하고(기존의 단위 세포는 브라베 격자의 원시 세포보다 클 수 있다) 세 개의 원시 역격자 벡터( '''b'''₁, '''b'''₂, '''b'''₃)를 결정한다.

밀러 지수

h, k, \ell

가 주어지면, (''hkℓ'')는 역격자 벡터에 직교하는 면을 나타낸다.

:

\mathbf{g}_{hk\ell} = h \mathbf{b}_1 + k \mathbf{b}_2 + \ell \mathbf{b}_3 .

즉, (''hkℓ'')는 단순히 원시 역격자 벡터의 기저에서 면에 대한 법선을 나타낸다. 좌표가 정수이기 때문에 이 법선 자체는 항상 역격자 벡터이다.

(hkℓ)는 세 점 '''a'''₁/''h'', '''a'''₂/''k'', '''a'''₃/''ℓ'' 또는 그 배수를 교차하는 면을 나타낸다. 밀러 지수는 격자 벡터의 기저에서 면의 절편의 ''역수''에 비례한다. 지수 중 하나가 0이면, 면이 해당 축과 교차하지 않음을 의미한다(절편은 "무한대에 있다").^[1]

하나 이상의 격자점(''격자면'')을 교차하는 (''hkℓ'') 면만 고려하면, 인접한 격자면 사이의 수직 거리 ''d''는 면에 직교하는 (가장 짧은) 역격자 벡터와 다음 공식으로 관련되어 있다.

d = 2\pi / |\mathbf{g}_{h k \ell}|

.

어떤 결정의 결정축으로

\vec{a}_{1}

,

\vec{a}_{2}

,

\vec{a}_{3}

를 취했을 때, 각 축의 각각 1/k, 1/l, 1/m에서 만나는 평면은 본질적으로 하나만 존재한다. 이것을 이용하여 이 평면을 (klm)면이라고 쓴다.^[6]^[7]

등가인 면은 {klm}으로 나타낸다.

3. 밀러 지수 표기법

4. 다양한 결정 구조에서의 밀러 지수

4. 1. 입방 구조

단순 입방 결정 구조의 특수한 경우, 격자 벡터는 직교하며 길이가 같고(일반적으로 'a'로 표기) 역격자도 마찬가지다. 따라서 이 일반적인 경우, 밀러 지수 (''hkℓ'')와 [''hkℓ'']는 모두 단순히 직교 좌표계의 법선/방향을 나타낸다.

격자 상수가 'a'인 입방 결정의 경우, 인접한 (''hkℓ'') 격자면 사이의 간격 'd'는 다음과 같다.

:

d_{hk \ell}= \frac {a} { \sqrt{h^2 + k^2 + \ell ^2} }

입방 결정의 대칭성으로 인해 정수의 위치와 부호를 변경해도 동등한 방향과 면을 얻을 수 있다.

⟨100⟩과 같이 ''꺾쇠괄호''로 표시된 지수는 [100], [010], [001] 또는 이러한 방향의 음수와 같이 대칭 연산으로 인해 동등한 방향의 ''족''을 나타낸다.
{100}과 같이 ''중괄호''로 표시된 지수는 꺾쇠괄호가 방향의 족을 나타내는 것과 같은 방식으로 대칭 연산으로 인해 동등한 면 법선의 족을 나타낸다.

면심 입방(FCC) 및 체심 입방(BCC) 격자의 경우, 원시 격자 벡터는 직교하지 않는다. 그러나 이러한 경우, 밀러 지수는 관례적으로 입방 초격자의 격자 벡터를 기준으로 정의되므로 다시 직교 좌표 방향이 된다.

4. 2. 육방 및 마름모 구조

육방격자계와 마름모격자계에서는 브라베-밀러(Bravais–Miller) 계를 사용할 수 있는데, 이 계는 다음 제약 조건을 만족하는 네 개의 지수 (''h'' ''k'' ''i'' ''ℓ'')를 사용한다.^[4]

: ''h'' + ''k'' + ''i'' = 0.

여기서 ''h'', ''k'', ''ℓ''은 해당 밀러 지수와 동일하며, ''i''는 중복된 지수이다.

육방격자에서 평면을 표시하는 이 네 지수 체계는 치환 대칭을 명확하게 보여준다. 예를 들어, (110) ≡ (110)과 (10) ≡ (110) 사이의 유사성은 중복 지수를 표시할 때 더 명확해진다.

오른쪽 그림에서 (001) 평면은 3회 대칭을 갖는다. 즉, 1/3(2/3 rad, 120°) 회전에 의해 변하지 않는다. [100], [010] 및 [0] 방향은 실제로 매우 유사하다. 만약 ''S''가 [0] 축과 평면의 교점이라면,

: ''i'' = 1/''S''.

육방 격자 벡터(상호 격자 벡터 또는 평면이 아님)를 네 개의 지수로 색인하기 위한 임시변통 방식도 있다. 그러나 이들은 일반적인 세 지수 집합에 중복 지수를 추가하는 것과 같은 방식으로 작동하지 않는다.

예를 들어, 상호 격자 벡터 (''hkℓ'')는 상호 격자 벡터로

h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + \ell\mathbf{b}_3

로 쓸수 있다. 육방정계 결정의 경우, 이는 직접 격자 기저 벡터 '''a'''₁, '''a'''₂ 및 '''a'''₃로 나타낼 수 있다.

:

h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + \ell\mathbf{b}_3 = \frac{2}{3 a^2}(2 h + k)\mathbf{a}_1 + \frac{2}{3 a^2}(h+2k)\mathbf{a}_2 + \frac{1}{c^2} (\ell) \mathbf{a}_3.

따라서 (''hkℓ'') 평면에 수직인 방향의 구역 지수는 정규화된 삼중항 형태로

[2h+k,h+2k,\ell(3/2)(a/c)^2]

이다. 그러나 (''hkℓ'') 평면에 수직인 구역 법선에 대해 네 개의 지수를 사용하는 경우,

[h,k,-h-k,\ell(3/2)(a/c)^2]

를 사용한다.^[4]

육방 면간 거리는 다음과 같다.

:

d_{hk\ell} = \frac{a}{\sqrt{\tfrac{4}{3}\left(h^2+k^2+hk \right)+\tfrac{a^2}{c^2}\ell^2}}

5. 결정면과 방향의 중요성

결정면과 방향은 결정의 물리적, 화학적 성질에 큰 영향을 미친다. 광학적 성질, 흡착 및 반응성, 표면 장력, 쪼개짐, 전위 등의 현상은 결정면과 방향에 따라 달라진다.

응축 물질에서 빛은 레일리 산란에 의해 한 원자에서 다른 원자로 "뛰어넘는다". 빛의 속도는 원자 간 거리에 따라 달라지며, 이는 복굴절을 야기한다. 흡착과 화학 반응은 결정 표면의 원자 또는 분자에서 발생하므로 격자점 밀도에 민감하다. 물질의 응축은 원자, 이온 또는 분자가 다른 유사한 종으로 둘러싸여 있을 때 더 안정적이므로 계면의 표면 장력은 표면 밀도에 따라 달라진다.

기공과 결정립은 고밀도 면을 따라 직선적인 입계를 갖는 경향이 있으며, 쪼개짐 또한 결정면에 영향을 받는다. 전위 (소성 변형)의 경우, 전위 코어는 고밀도 면에 퍼져 탄성적 교란이 "희석"되므로, 마찰(파이얼스-나바로 힘)이 감소하고 고밀도 면에서 미끄러짐이 더 자주 발생한다. 전위에 의해 운반되는 교란(버거스 벡터)은 고밀도 방향을 따르며, 전위선 또한 고밀도 방향을 따르는 경향을 보인다.

예를 들어, 반도체 웨이퍼의 표면은 특정 결정 방향으로 절단되어 전자 소자의 성능을 향상시킨다. 이러한 이유로 결정면을 결정하고 표기하는 시스템을 갖는 것이 중요하다.

6. 밀러 지수의 한계 (밀러 지수의 문제점)

밀러 지수는 기업의 부채 비율을 평가하는 지표로 널리 사용되지만, 몇 가지 문제점을 가지고 있다. 단순한 비율 분석이기 때문에 기업의 재무 상태를 완벽하게 반영하지 못할 수 있다. 부채의 질, 기업의 수익성, 자산의 질 등 다양한 요소들이 고려되지 않기 때문이다. 산업 특성을 고려하지 않아 특정 산업의 기업들에게는 부적절할 수 있다. 자본집약적인 산업의 기업들은 일반적으로 부채 비율이 높을 수 있지만, 이것이 반드시 재무적으로 위험하다는 것을 의미하지는 않는다. 시계열 분석에 적합하지 않을 수 있다. 기업의 재무 상태는 시간에 따라 변화하기 때문에, 특정 시점의 밀러 지수만으로는 미래의 재무 위험을 예측하기 어렵다. 기업의 규모나 성장 단계에 따라 적절한 밀러 지수의 수준이 다르다. 따라서, 밀러 지수만을 가지고 기업의 재무 건전성을 평가하는 것은 위험할 수 있다. 결론적으로, 밀러 지수는 기업의 부채 비율을 평가하는 데 유용한 지표이지만, 다른 재무 지표와 함께 종합적으로 분석해야 한다. 단독으로 사용하는 것은 위험할 수 있으며, 기업의 특성, 산업의 특성, 시계열 변화 등을 고려하여 해석해야 한다.

참조

_[1] 서적 Solid state physics https://archive.org/[...] Holt, Rinehart and Winston 1976
_[2] 논문 Ueber eine verbesserte Methode für die Bezeichnung der verschiedenen Flächen eines Krystallisationssystems, nebst Bemerkungen über den Zustand der Polarisierung der Seiten in den Linien der krystallinischen Structur https://archive.org/[...] 1817
_[3] 웹사이트 Oxford English Dictionary Online http://dictionary.oe[...] 2007-05-00 # 정확한 일자가 없어서 00으로 표시
_[4] 서적 Practical electron microscopy in materials science N. V. Philips' Gloeilampenfabrieken 1976
_[5] 서적 キッテル固体物理学入門上・下
_[6] 서적 表面科学・触媒科学への展開岩波書店 2003-06
_[7] 서적 物質の対称性と群論共立出版 2001-10

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