응력확대계수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 응력장
3. 응력 확대 계수의 적용 조건
4. 파괴 역학에서의 응용
5. 여러 가지 경우의 응력 확대 계수
참조

1. 개요

응력 확대 계수는 균열 선단 근처의 특이 응력장을 나타내는 값으로, 균열의 파괴를 예측하는 데 사용되는 선형 파괴 역학의 핵심 개념이다. 1957년 G. 어윈은 균열 주변의 응력을 응력 확대 계수로 표현할 수 있음을 발견했다. 이 계수는 (응력) × (길이)^1/2의 차원을 가지며, 균열의 세 가지 변형 모드(I, II, III)에 따라 각각 K_I, K_II, K_III으로 구분된다. 응력 확대 계수는 재료의 임계 파괴 인성(K_Ic)과 연관되어 있으며, 파괴 역학에서 중요한 설계 매개변수로 활용된다. 응력 확대 계수는 균열의 형상, 하중 조건, 재료의 특성에 따라 달라지며, 소규모 항복 조건이 만족될 때 적용 가능하다.

더 읽어볼만한 페이지

파괴역학 - 피로 (재료)
피로(재료)는 반복적인 응력으로 인해 재료가 파괴되는 현상으로, 초기 균열 형성, 균열 성장, 최종 파괴 단계를 거치며 환경 요인의 영향을 받아 설계 단계 고려, 검사, 부재 교체, 재료 변경 등의 방법으로 대처할 수 있다.
파괴역학 - 손상 허용
손상 허용 설계는 구조물의 손상을 허용하고 일정 기간 동안 안전하게 작동하도록 설계하는 개념으로, 파괴 역학의 발전에 따라 발전하여 안전 수명 설계의 한계를 보완하고 파괴 현상의 적극적인 제어를 목표로 한다.
건설 - 철골 구조
철골 구조는 강철을 주요 구조재로 사용하는 건축 공법으로, 높은 강도와 경량성을 가지지만 화재에 취약하고 좌굴 위험, 단열성 저하 등의 단점을 보완하기 위한 기술 개발이 이루어지고 있다.
건설 - 빌딩 정보 모델링
빌딩 정보 모델링(BIM)은 건축물의 전 생애주기 동안 발생하는 정보를 디지털 모델로 통합 관리하는 프로세스이다.

응력확대계수
개요
명칭	응력 확대 계수
영어 명칭	Stress intensity factor
일본어 명칭	応力拡大係数 (Ōryoku kakudai keisū)
설명	파괴역학에서 균열 끝 부근의 응력 강도를 예측하는 데 사용되는 양
기호	K
차원	M¹L⁻¹/²T⁻²
SI 단위	Pa·m¹/²
정의
설명	응력 확대 계수는 균열 선단의 응력장을 특징짓는 데 사용되는 파괴역학적 파라미터임. 균열 선단 부근의 응력 강도를 정량화함.
중요성	균열의 존재 하에서 재료의 파괴 거동을 예측하는 데 중요함.
응력장	균열 선단에서의 응력장은 응력 확대 계수에 의해 결정됨.
하중, 재료, 균열 크기	응력 확대 계수는 하중, 재료 특성 및 균열 크기에 따라 달라짐.
계산
일반적인 공식	K = σ√(πa)
σ	가해지는 응력
a	균열 길이
W	폭
수정 계수	실제 응력 확대 계수는 형상, 하중 조건 및 균열 크기를 고려하여 수정될 수 있음.
형상 계수	Y
공식 (수정)	K = Yσ√(πa)
모드 (Mode)
모드 I (Mode I)	개구 모드 (인장 응력)
모드 II (Mode II)	전단 모드 (면내 전단)
모드 III (Mode III)	찢음 모드 (면외 전단)
임계 응력 확대 계수
명칭	파괴 인성
기호	K_Ic
설명	재료가 급격한 균열 성장을 견딜 수 있는 응력 확대 계수의 임계 값.
적용	K가 K_Ic에 도달하면 급격한 균열 성장이 발생함.
활용
파괴 분석	구조물의 파괴 원인을 조사하는 데 사용됨.
재료 선택	특정 응용 분야에 적합한 재료를 선택하는 데 사용됨.
구조 설계	균열이 있는 구조물의 안전성과 신뢰성을 보장하는 데 사용됨.
비파괴 검사	균열의 존재 및 크기를 평가하는 데 사용됨.

2. 응력장

균열이 존재하는 물체가 균열에 수직인 균일 인장 응력을 받는 경우, 재료 내부의 응력은 균일하지 않게 되어 균열 선단에서 응력 집중이 발생한다. 응력 집중은 균열뿐만 아니라 다른 형상의 결함에서도 발생하지만, 균열의 경우에는 응력이 무한대로 발산하는 특징이 있다. 균열이 존재하는 재료(균열재)도 유한한 하중에 견딜 수 있기 때문에, 응력만으로 재료의 강도를 정량적으로 평가할 수는 없다.

균열재의 가장 기본적인 응력 분포는 원방에서 균열에 수직인 균일 인장 응력을 받는 무한판에 존재하는 관통 직선 균열(2차원 균열)에서 찾을 수 있다. 재료를 탄성체로 가정하면, 원점을 균열 중심에 둔 균열 연장선상의 응력 분포는 다음과 같다.

:

\sigma_y = \frac{\sigma_0 x}{\sqrt{x^2-a^2}}

여기서 ''σ_y''는 균열 연장선(x축)상의 수직 응력, ''σ''₀는 원방 인장 응력, ''a''는 균열 반 길이, ''x''는 균열 연장선(x축)상의 균열 중심으로부터의 거리이다.

균열 선단의 응력을 살펴보면, ''x'' → ''a''에서 ''σ_y''는 무한대로 발산하고, ''x'' = ''a''인 점은 응력의 특이점이 된다. 이러한 탄성 응력이 무한대로 발산하는 응력장을 '''특이 응력장'''이라고 한다.

균열 선단을 원점으로 x좌표를 다시 설정하고, ''x''가 균열 길이에 비해 매우 작은 범위(''x''/''a'' ≪ 1)에서 응력 분포는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sigma_y = \frac{\sigma_0 \sqrt{a}}{\sqrt{2x}}

여기서 ''x''는 균열 연장선(x축)상의 균열 선단으로부터의 거리이다. 분모·분자에

\sqrt{\pi}

를 곱하면, 다음과 같은 파라미터 ''K''를 정의할 수 있다.

:

\sigma_y = \frac{\sigma_0 \sqrt{\pi a}}{\sqrt{2\pi x}}=\frac{K}{\sqrt{2\pi x}}

:

K=\sigma_0 \sqrt{\pi a}

위 식에서 균열 선단 부근의 응력은

\sqrt{x}

에 반비례하며, 균열 선단에서는 ''K'' 값에 관계없이 ''σ''_y = ∞ 이지만, 균열 선단 부근에서는 σ_y의 값은 ''K''에 의해 결정된다. 이 ''K''를 '''응력 확대 계수'''라고 하며, (응력)×(길이)^1/2의 차원을 갖는 물리량이다.

2. 1. 응력 확대 계수의 정의

균열이 있는 물체가 균열에 수직인 균일 인장 응력을 받는 경우, 재료 내부의 응력은 균일하지 않고 균열 선단에서 응력 집중이 발생한다. 응력 집중은 균열 외의 형상 결함에서도 발생하지만, 균열의 경우 응력이 무한대로 발산하는 특징이 있다. 균열이 있는 재료(균열재)도 유한한 하중에 견딜 수 있으므로, 응력만으로 재료의 강도를 정량적으로 평가할 수 없다. 응력 확대 계수는 이러한 문제를 피하고 균열재의 강도를 평가하기 위해 균열 선단 부근의 역학적 상태를 나타내는 양이다.

원점에서 균열에 수직인 균일 인장 응력을 받는 무한판에 있는 관통 직선 균열(2차원 균열)을 탄성체로 가정하면, 원점을 균열 중심에 둔 균열 연장선상의 응력 분포는 다음과 같다.

:

\sigma_y = \frac{\sigma_0 x}{\sqrt{x^2-a^2}}

여기서 ''σ_y''는 균열 연장선(x축)상의 수직 응력, ''σ''₀는 원방 인장 응력, ''a''는 균열 반 길이, ''x''는 균열 연장선(x축)상의 균열 중심으로부터의 거리이다.

균열 선단의 응력에 주목하면, ''x'' → ''a''에서 ''σ_y''는 무한대로 발산하고, ''x'' = ''a''인 점은 응력의 특이점이 된다. 이렇게 탄성 응력이 무한대로 발산하는 응력장을 '''특이 응력장'''이라고 한다.

위 식의 좌표계를 균열 선단을 원점으로 x좌표를 다시 설정하고, ''x''가 균열 길이에 비해 충분히 작은 범위(''x''/''a'' ≪ 1)에서 응력 분포는 다음과 같다.

:

\sigma_y = \frac{\sigma_0 \sqrt{a}}{\sqrt{2x}}

여기서 ''x''는 균열 연장선(x축)상의 균열 선단으로부터의 거리이다. 분모·분자에

\sqrt{\pi}

를 곱하면, 다음 식의 파라미터 ''K''를 얻는다.

:

\sigma_y = \frac{\sigma_0 \sqrt{\pi a}}{\sqrt{2\pi x}}=\frac{K}{\sqrt{2\pi x}}

:

K=\sigma_0 \sqrt{\pi a}

위 식에서 균열 선단 부근의 응력은

\sqrt{x}

에 반비례하며, 균열 선단에서는 ''K''에 관계없이 ''σ''_y = ∞ 이지만, 균열 선단 부근에서 σ_y의 값은 ''K''에 의해 결정된다. 이 파라미터 ''K''가 '''응력 확대 계수'''이며, (응력)×(길이)^1/2의 차원을 갖는다.

1957년, G. 어윈은 균열 주변의 응력을 응력 확대 계수로 표현할 수 있음을 발견했다. 균열은 세 가지 유형의 선형 독립적인 균열 모드(모드 I, II, III)로 분해될 수 있다. 모드 I은 균열 표면이 직접 떨어져 나가는 열림 (인장) 모드, 모드 II는 균열 표면이 균열 선단에 수직으로 미끄러지는 슬라이딩 (평면 내 전단) 모드, 모드 III은 균열 표면이 서로 상대적으로 움직이고 균열 선단에 평행한 찢어짐 (반평면 전단) 모드이다. 모드 I은 엔지니어링 설계에서 가장 흔하다.

응력 확대 계수는 아래 첨자를 사용하여 세 가지 모드를 구분한다. 모드 I 응력 확대 계수

K_{\rm I}

은 균열 열림 모드, 모드 II 응력 확대 계수

K_{\rm II}

는 균열 슬라이딩 모드, 모드 III 응력 확대 계수

K_{\rm III}

는 찢어짐 모드에 적용되며, 다음과 같이 정의된다.^[8]

:

\begin{align}K_{\rm I} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yy}(r,0) \\K_{\rm II} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yx}(r,0) \\K_{\rm III} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yz}(r,0) \,.\end{align}

2. 2. 균열 변형 모드

1957년, G. 어윈은 균열 주변의 응력을 응력 확대 계수라는 스케일링 인자로 표현할 수 있음을 발견했다. 그는 임의의 하중을 받는 균열이 세 가지 유형의 선형 독립적인 균열 모드로 분해될 수 있음을 발견했다.^[6] 이 하중 유형은 모드 I, II, III로 분류된다.

면내 인장 모드 (모드 I): 균열 표면이 직접 떨어져 나가는 열림 (인장) 모드이다. 엔지니어링 설계에서 가장 흔하게 사용되는 하중 유형이다.
면내 전단 모드 (모드 II): 균열 표면이 균열의 선단에 수직인 방향으로 서로 미끄러지는 슬라이딩 (평면 내 전단) 모드이다.
면외 전단 모드 (모드 III): 균열 표면이 서로 상대적으로 움직이고 균열의 선단에 평행한 찢어짐 (반평면 전단) 모드이다.

여기서 면내, 혹은 면외는 균열 진행 방향을 x축으로, 균열면에 수직으로 y축을 설정했을 때, x-y 평면을 기준으로 하는 명칭이다. 균열의 변형은 이 세 가지 또는 각각의 중첩(혼합 모드)으로 나타낸다.

세 가지 모드에 대한 응력 확대 계수를 지정하기 위해 다른 아래 첨자가 사용된다. 모드 I에 대한 응력 확대 계수는

K_{\rm I}

으로 표시되며 균열 열림 모드에 적용된다. 모드 II 응력 확대 계수

K_{\rm II}

는 균열 슬라이딩 모드에 적용되고, 모드 III 응력 확대 계수

K_{\rm III}

는 찢어짐 모드에 적용된다. 이러한 인자는 공식적으로 다음과 같이 정의된다.^[8]

:

\begin{align}K_{\rm I} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yy}(r,0) \\K_{\rm II} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yx}(r,0) \\K_{\rm III} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yz}(r,0) \,.\end{align}

무한 판 내의 관통 균열에서, 각 모드의 응력 확대 계수는 다음과 같다.

:

K_{\rm I}=\sigma_{yy}^{\infty} \sqrt{\pi a}

:

K_{\rm II}=\tau_{xy}^{\infty} \sqrt{\pi a}

:

K_{\rm III}=\tau_{yz}^{\infty} \sqrt{\pi a}

2. 3. 각 모드의 응력장

G. 어윈은 균열 주변의 응력을 응력 확대 계수로 표현할 수 있음을 발견했다. 그는 임의의 하중을 받는 균열이 세 가지 유형의 선형 독립적인 균열 모드로 분해될 수 있음을 발견했다.^[6] 하중 유형은 모드 I, II, III로 분류된다.

모드 I은 균열 표면이 직접 떨어져 나가는 열림 (인장) 모드이다.
모드 II는 균열 표면이 균열의 선단에 수직인 방향으로 서로 미끄러지는 슬라이딩 (평면 내 전단) 모드이다.
모드 III은 균열 표면이 서로 상대적으로 움직이고 균열의 선단에 평행한 찢어짐 (반평면 전단) 모드이다.

각 모드에 대한 응력 확대 계수를 사용하여 균열 선단 근처의 응력 및 변위 분포를 계산할 수 있다.

세 가지 모드에 대한 응력 확대 계수는 다음과 같이 정의된다.^[8]

:

\begin{align}K_{\rm I} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yy}(r,0) \\K_{\rm II} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yx}(r,0) \\K_{\rm III} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yz}(r,0) \,.\end{align}

각 모드에 대한 응력장은 다음과 같다.

'''모드 I'''

:

\begin{Bmatrix}\sigma_x \\\sigma_y \\\tau_{xy} \\\end{Bmatrix}= \frac{K_{\rm I}}{\sqrt{\pi r}}\cos(\theta/2)\begin{Bmatrix}1-\sin(\theta/2) \sin(3\theta/2) \\1+\sin(\theta/2) \sin(3\theta/2) \\\sin(\theta/2) \cos(3\theta/2) \\\end{Bmatrix}

:

\begin{Bmatrix}u \\v \\\end{Bmatrix}= \frac{K_{\rm I}}{\sqrt{2 G}}\sqrt{\frac{r}{2 \pi}}\begin{Bmatrix}\cos (\theta/2) \left[ \kappa-1+2\sin^2 (\theta/2) \right] \\\sin (\theta/2) \left[ \kappa+1-2\cos^2 (\theta/2) \right] \\\end{Bmatrix}

'''모드 II'''

:

\begin{Bmatrix}\sigma_x \\\sigma_y \\\tau_{xy} \\\end{Bmatrix}= \frac{K_{\rm II}}{\sqrt{\pi r}}\begin{Bmatrix}

\sin(\theta/2) \left[2+\cos(\theta/2) \cos(3\theta/2) \right] \\

\sin(\theta/2) \cos(\theta/2) \cos(3\theta/2) \\\cos(\theta/2) \left[1-\sin(\theta/2) \sin(3\theta/2) \right] \\\end{Bmatrix}

:

\begin{Bmatrix}u \\v \\\end{Bmatrix}= \frac{K_{\rm II}}{\sqrt{2 G}}\sqrt{\frac{r}{2 \pi}}\begin{Bmatrix}\sin (\theta/2) \left[ \kappa+1+2\cos^2 (\theta/2) \right] \\

\cos(\theta/2) \left[ \kappa-1-2\sin^2 (\theta/2) \right] \\

\end{Bmatrix}

'''모드 III'''

:

\begin{Bmatrix}\tau_{zx} \\\tau_{yz} \\\end{Bmatrix}= \frac{K_{\rm III}}{\sqrt{\pi r}}\begin{Bmatrix}

\sin(\theta/2) \\

\cos(\theta/2) \\\end{Bmatrix}

:

w = \frac{2 K_{\rm III}}{\sqrt{G}}\sqrt{\frac{r}{2 \pi}} \sin (\theta/2)

여기서,

''u''：''x'' 방향 변위
''v''：''y'' 방향 변위
''w''：''z'' 방향 변위
''G''：전단 탄성 계수
''ν''：푸아송 비
$\kappa$ 는 평면 응력과 평면 변형률에 따라 다음과 같이 정의된다.

:

\kappa =\begin{cases}\frac{3-\nu}{1+\nu} \qquad \mbox{(plane stress)} \\3-4\nu \qquad \mbox{(plane strain)}\end{cases}

모드 I과 모드 II에 대해서는, 평면 응력 및 평면 변형률 조건에 따라 아래와 같이 정의 된다.

:

\sigma_z =\begin{cases}0 \qquad \mbox{(plane stress)} \\\nu(\sigma_x+\sigma_y) \qquad \mbox{(plane strain)}\end{cases}

:

\tau_{yz}=\tau_{zx}=0

모드 III에 대해서는

:

\sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=\tau_{xy}=0

3. 응력 확대 계수의 적용 조건

균열 선단 근방에 발생하는 소성역의 모습 (왼쪽: 평면 변형률 상태, 오른쪽: 평면 응력 상태)

응력 확대 계수는 다른 공학 파라미터와 마찬가지로 적용 범위에 제한이 있다. 응력 확대 계수 유도 과정에서 재료는 소성 변형을 고려하지 않는 탄성체로 간주했지만, 실제 재료는 탄소성체이며 균열 선단의 높은 응력으로 인해 균열 선단 근방에 소성 변형이 발생하여 소성역이 형성된다.^[1] 응력 확대 계수를 적용하려면 이 소성역의 크기가 응력 확대 계수의 유도에서 전제한 균열 선단 근방 응력 분포 ''r''^-1/2 의 특이성에 지배되는 범위 내에 있어야 한다.^[2] 이러한 조건을 '''소규모 항복'''이라고 부른다. 즉, 균열 선단의 파괴와 관련된 영역이 응력 확대 계수에 규정되는 영역보다 작으면, 실제 균열 선단에서의 파괴 현상 세부 사항에 관여하지 않아도 응력 확대 계수가 같을 때 재료, 환경 등이 동일하다면 동일한 현상이 발생한다고 해석할 수 있다.^[3]

응력 확대 계수와 같이 선형 탄성체로 근사하여 얻어지는 역학량으로 균열의 거동을 평가하는 체계를 파괴 역학 중에서도 '''선형 파괴 역학'''이라고 부른다.^[3]

4. 파괴 역학에서의 응용

응력 확대 계수는 다양한 파괴 역학 문제 해결에 활용된다.

임계 응력 확대 계수 (파괴 인성): 재료에 매우 날카로운 균열이나 V-노치가 있을 때, 균열을 전파하는 데 필요한 응력 강도의 임계값을 임계 파괴 인성( $K_\mathrm{Ic}$ )이라고 한다. 이는 평면 변형률에서 모드 I 하중에 대해 결정되며, 단위는 응력에 거리의 제곱근을 곱한 값(예: MN/m^3/2)이다. $K_\mathrm{Ic}$ 는 파괴 역학에서 가장 자주 사용되는 공학적 설계 매개변수 중 하나이며, 교량, 건물, 항공기 등 구조물의 파괴 허용 재료 설계에 필수적이다. 1943년 미국에서는 유조선 스케넥터디 호가 항구 내에서 갑자기 두 동강 나는 사고가 발생했는데, 이는 취성 파괴로 인한 중대 사고의 대표적인 사례이다.

피로 균열 성장: 반복 하중을 받는 재료에서 균열 성장 속도는 응력 확대 계수 범위(ΔK)에 의해 결정된다.

응력 부식 균열: 하한계 응력 확대 계수에는 피로에 대한 하한계 응력 확대 계수 Δ''K'' _th 와 응력 부식 균열의 하한계 응력 확대 계수 ''K'' _Iscc 의 2종류가 존재한다. 이러한 한계값은 재료 정수이며 실험적으로 구해진다.

다른 파괴 역학 변수와의 관계: 평면 응력 조건에서 순수 모드 I 또는 순수 모드 II 하중을 받는 균열에 대한 변형률 에너지 방출률 ( $G$ )은 응력 강도 계수와 관련된다. J 적분 또한 응력 강도 계수와 연결될 수 있다.

다음은 소규모 항복 상태를 전제로 한 응력 확대 계수와 다른 파괴 역학량의 관계이다.

파괴 역학 변수	식	조건	비고
에너지 해방률 G	$G = \frac{1}{E}\left[K_{\rm I}^2+K_{\rm II}^2+(1+\nu)K_{\rm III}^2 \right]$	평면 응력	E: 영률
에너지 해방률 G	$G = \frac{1}{E}\left[(1-\nu^2)(K_{\rm I}^2+K_{\rm II}^2)+(1+\nu)K_{\rm III}^2 \right]$	평면 변형률
소성역 치수 ω	$\omega = \frac{1}{\pi}\frac{K_{\rm I}^2}{\sigma_Y^2}$	평면 응력	σ_Y: 항복 응력, λ: 소성 구속 계수 (1 < λ < 3), 어윈의 소성 구속 계수: $\lambda=\sqrt{2\sqrt{2}}=1.68$
소성역 치수 ω	$\omega = \frac{1}{\pi}\frac{K_{\rm I}^2}{\lambda\sigma_Y^2}$	평면 변형률
균열 선단 개구 변위 δ	$\delta = \frac{4}{\pi}\frac{K_{\rm I}^2}{E\sigma_Y}$	평면 응력
균열 선단 개구 변위 δ	$\delta = \frac{4(1-\nu^2)}{\pi}\frac{K_{\rm I}^2}{\lambda E\sigma_Y}$	평면 변형률
J 적분 J	$J = G$	평면 응력, 평면 변형률

4. 1. 임계 응력 확대 계수 (파괴 인성)

응력 확대 계수

K

는 가해진 응력의 크기를 증폭시키는 매개변수로, 기하학적 매개변수

Y

(하중 유형)를 포함한다. 모든 모드 상황에서 응력 강도는 재료에 가해지는 하중에 정비례한다. 재료에 매우 날카로운 균열이나 V-노치를 만들 수 있다면,

K_\mathrm{I}

의 최솟값을 경험적으로 결정할 수 있다. 이는 균열을 전파하는 데 필요한 응력 강도의 임계값이다. 평면 변형률에서 모드 I 하중에 대해 결정된 이 임계값을 재료의 임계 파괴 인성(

K_\mathrm{Ic}

)이라고 한다.

K_\mathrm{Ic}

의 단위는 응력에 거리의 제곱근을 곱한 값이다(예: MN/m^3/2).

K_\mathrm{Ic}

의 단위는

K_\mathrm{Ic}

에 도달하고 균열이 발생하려면 재료의 파괴 응력이 어떤 임계 거리에 걸쳐 도달해야 함을 의미한다. 모드 I 임계 응력 강도 계수

K_\mathrm{Ic}

는 파괴 역학에서 가장 자주 사용되는 공학적 설계 매개변수이므로 교량, 건물, 항공기 또는 종에 사용되는 파괴 허용 재료를 설계하려면 이를 이해해야 한다.

응력 확대 계수는 취성 파괴가 시작되는 파괴 인성 ''K'' _c 와 그 이하에서는 균열의 성장이 멈춘다고 생각되는 하한계 응력 확대 계수를 가진다. 하한계 응력 확대 계수는 피로에 대한 하한계 응력 확대 계수 Δ''K'' _th 와 응력 부식 균열의 하한계 응력 확대 계수 ''K'' _Iscc 의 2종류가 존재한다. 이러한 한계값은 재료 정수이며 실험적으로 구해진다.

만약 응력 확대 계수가 ''K'' _c 이상이 되어 취성 파괴에 의한 균열의 진행이 시작되면 균열은 매우 빠른 속도로 전파되어 순간적으로 파단에 이른다. 취성 파괴에 의한 중대 사고로 알려진 것 중에는 1943년 미국에서 일어난 유조선 스케넥터디 호의 사고가 있는데, 이는 조용한 항구 내에서 갑자기 두 동강으로 갈라지는 극적인 것이었다. 이러한 경험을 통해, 한계 응력 확대 계수는 파괴 역학에서 중요시되며 가장 많이 사용되는 산업 설계 매개 변수 중 하나이다.

4. 2. 피로 균열 성장

반복 하중을 받는 재료에서 균열이 성장하는 현상은 응력 확대 계수 범위(ΔK)에 의해 그 속도가 결정된다. 하한계 응력 확대 계수에는 피로에 대한 하한계 응력 확대 계수 Δ''K'' _th 와 응력 부식 균열의 하한계 응력 확대 계수 ''K'' _Iscc 의 2종류가 존재한다. 이러한 한계값은 재료 정수이며 실험적으로 구해진다.

4. 3. 응력 부식 균열

응력 확대 계수는 취성 파괴가 시작되는 파괴 인성 ''K''_c 와 그 이하에서는 균열의 성장이 멈춘다고 생각되는 하한계 응력 확대 계수를 가진다. 하한계 응력 확대 계수는 피로에 대한 하한계 응력 확대 계수 Δ''K''_th 와 응력 부식 균열의 하한계 응력 확대 계수 ''K''_ISCC 의 2종류가 존재한다. 이러한 한계값은 재료 정수이며 실험적으로 구해진다.

4. 4. 다른 파괴 역학 변수와의 관계

평면 응력 조건에서 순수 모드 I 또는 순수 모드 II 하중을 받는 균열에 대한 변형률 에너지 방출률(

G

)은 응력 강도 계수와 다음과 같이 관련된다.

:

G_{\rm I} = K_{\rm I}^2\left(\frac{1}{E}\right)

:

G_{\rm II} = K_{\rm II}^2\left(\frac{1}{E}\right)

여기서

E

는 재료의 탄성 계수이고

\nu

는 푸아송 비이다. 재료는 등방성, 균질 및 선형 탄성이라고 가정한다. 균열은 초기 균열 방향을 따라 연장된다고 가정한다.

평면 변형률 조건의 경우, 해당 관계는 약간 더 복잡하다.

:

G_{\rm I} = K_{\rm I}^2\left(\frac{1-\nu^2}{E}\right)\,

:

G_{\rm II} = K_{\rm II}^2\left(\frac{1-\nu^2}{E}\right)\,.

순수 모드 III 하중의 경우,

:

G_{\rm III} = K_{\rm III}^2\left(\frac{1}{2\mu}\right) = K_{\rm III}^2\left(\frac{1+\nu}{E}\right)

여기서

\mu

는 전단 탄성 계수이다. 평면 변형률의 일반적인 하중의 경우, 선형 조합이 성립한다.

:

G = G_{\rm I} + G_{\rm II} +  G_{\rm III}\,.

세 가지 모드에 대한 기여도를 추가하여 평면 응력에 대한 유사한 관계를 얻는다.

위의 관계는 J 적분을 응력 강도 계수와 연결하는 데에도 사용할 수 있다.

:

G = J = \int_\Gamma \left(W~dx_2 - \mathbf{t}\cdot\cfrac{\partial\mathbf{u}}{\partial x_1}~ds\right) \,.

다음은 응력 확대 계수와 다른 파괴 역학량의 관계를 나타낸다. 모두 소규모 항복 상태를 전제로 한다.

파괴 역학 변수	식	조건	비고
에너지 해방률 G	$G = \frac{1}{E}\left[K_{\rm I}^2+K_{\rm II}^2+(1+\nu)K_{\rm III}^2 \right]$	평면 응력	E: 영률
에너지 해방률 G	$G = \frac{1}{E}\left[(1-\nu^2)(K_{\rm I}^2+K_{\rm II}^2)+(1+\nu)K_{\rm III}^2 \right]$	평면 변형률
소성역 치수 ω	$\omega = \frac{1}{\pi}\frac{K_{\rm I}^2}{\sigma_Y^2}$	평면 응력	σ_Y: 항복 응력, λ: 소성 구속 계수 (1 < λ < 3), 어윈의 소성 구속 계수: $\lambda=\sqrt{2\sqrt{2}}=1.68$
소성역 치수 ω	$\omega = \frac{1}{\pi}\frac{K_{\rm I}^2}{\lambda\sigma_Y^2}$	평면 변형률
균열 선단 개구 변위 δ	$\delta = \frac{4}{\pi}\frac{K_{\rm I}^2}{E\sigma_Y}$	평면 응력
균열 선단 개구 변위 δ	$\delta = \frac{4(1-\nu^2)}{\pi}\frac{K_{\rm I}^2}{\lambda E\sigma_Y}$	평면 변형률
J 적분 J	$J = G$	평면 응력, 평면 변형률

5. 여러 가지 경우의 응력 확대 계수

다양한 기하학적 형상 및 하중 조건에 대한 응력 확대 계수 해는 다음과 같다.

균일 응력장 ( $\sigma$ )을 받는 무한 평판에서, 하중 방향에 수직인 길이 $2a$ 의 직선 균열

:

K_\mathrm{I}=\sigma \sqrt{\pi a}

^[5]^[8]

:

무한 영역에서 반경 $a$ 인 페니 모양 균열의 선단에서 일축 인장 $\sigma$ 하의 응력 확대 계수^[1]

:

K_{\rm I} = \frac{2}{\pi}\sigma\sqrt{\pi a} \,.

:

유한 판 (폭 $2b$ , 높이 $2h$ ) 중앙에 위치한 길이 $2a$ 인 균열^[8]

:

K_{\rm I} = \sigma \sqrt{\pi a}\left[\cfrac{1 - \frac{a}{2b} + 0.326\left(\frac{a}{b}\right)^2}{\sqrt{1 - \frac{a}{b}}}\right] \,.

:균열이 폭을 따라 중앙에 위치하지 않은 경우 (즉,

d \ne b

), 위치 '''A'''에서의 응력 확대 계수^[8]^[9]

:

K_{\rm IA} =  \sigma \sqrt{\pi a}\left[1 + \sum_{n=2}^{M} C_n\left(\frac{a}{b}\right)^n\right]

::(계수

C_n

은 다양한

d

값에 대한 응력 확대 곡선에 맞춰 결정^[8])

::균열 팁 '''B'''에 대해서도 유사하지만 동일하지 않은 표현식을 찾을 수 있다. '''A'''와 '''B'''에서의 응력 확대 계수에 대한 다른 표현식^[10]

:

K_{\rm IA} = \sigma\sqrt{\pi a}\,\Phi_A \,\, , K_{\rm IB} = \sigma\sqrt{\pi a}\,\Phi_B

::여기서

::

\begin{align}::\Phi_A &:= \left[\beta + \left(\frac{1-\beta}{4}\right)\left(1 + \frac{1}{4\sqrt{\sec\alpha_A}}\right)^2\right]\sqrt{\sec\alpha_A} \\::\Phi_B &:= 1 + \left[\frac{\sqrt{\sec\alpha_{AB}} - 1}{1 + 0.21\sin\left\{8\,\tan^{-1}\left[\left(\frac{\alpha_A - \alpha_B}{\alpha_A + \alpha_B}\right)^{0.9}\right]\right\}}\right]::\end{align}

::

\beta := \sin\left(\frac{\pi\alpha_B}{\alpha_A+\alpha_B}\right) ~,~~ \alpha_A := \frac{\pi a}{2 d} ~,~~ \alpha_B := \frac{\pi a}{4b - 2d} ~;~~ \alpha_{AB} := \frac{4}{7}\,\alpha_A + \frac{3}{7}\,\alpha_B \,.

::(

d

는 균열 중심에서 '''A''' 지점과 가장 가까운 경계까지의 거리.

d=b

일 때 위의 식은 중심 균열에 대한 근사식으로 단순화되지 ''않음''에 유의)

:

가장자리 균열 (길이 $a$ )을 포함하는 판 (크기 $2h \times b$ )

:판의 치수가

h/b \ge 0.5

및

a/b \le 0.6

을 만족하면, 단축 응력

\sigma

하에서 균열 선단의 응력 강도 계수^[5]

:

K_{\rm I} = \sigma\sqrt{\pi a}\left[1.122 - 0.231\left(\frac{a}{b}\right) + 10.55\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 21.71\left(\frac{a}{b}\right)^3 + 30.382\left(\frac{a}{b}\right)^4\right] \,.

:

h/b \ge 1

및

a/b \ge 0.3

인 경우, 응력 강도 계수

:

K_{\rm I} = \sigma\sqrt{\pi a}\left[\frac{1 + 3\frac{a}{b}}{2\sqrt{\pi\frac{a}{b}}\left(1-\frac{a}{b}\right)^{3/2}}\right] \,.

:

경사진 균열 (길이 $2a$ )이 있는 이축 응력장 ( $y$ 방향 응력 $\sigma$ , $x$ 방향 응력 $\alpha\sigma$ )^[8]^[11]

:

\begin{align}::K_{\rm I} & = \sigma\sqrt{\pi a}\left(\cos^2\beta + \alpha \sin^2\beta\right) \\::K_{\rm II} & = \sigma\sqrt{\pi a}\left(1- \alpha\right)\sin\beta\cos\beta::\end{align}

:(

\beta

는 균열이

x

축과 이루는 각도)

:

점 하중 ( $F_x$ , $F_y$ )을 받는 판 (크기 $2h \times 2b$ )의 균열 (길이 $2a$ )

:판의 크기가 균열의 크기에 비해 크고, 하중의 위치가 균열에 비교적 가까운 경우 (즉,

h \gg a

,

b \gg a

,

x \ll b

,

y \ll h

), 판을 무한대로 간주.

:균열 선단 '''B''' (

x = a

)에서의

F_x

에 대한 응력 확대 계수^[11]^[12]

:

\begin{align}::K_{\rm I} & = \frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right)::\left[G_1 + \frac{1}{\kappa-1} H_1\right] \\::K_{\rm II} & = \frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}}::\left[G_2 + \frac{1}{\kappa+1} H_2\right]::\end{align}

::여기서

::

\begin{align}::G_1 & = 1 - \text{Re}\left[\frac{a+z}{\sqrt{z^2-a^2}}\right] \,,\,\,::G_2 = - \text{Im}\left[\frac{a+z}{\sqrt{z^2-a^2}}\right] \\::H_1 & = \text{Re}\left[\frac{a(\bar{z}-z)}{(\bar{z}-a)\sqrt^2-a^2}}\right] \,,\,\,::H_2 = -\text{Im}\left[\frac{a(\bar{z}-z)}{(\bar{z}-a)\sqrt^2-a^2}}\right]::\end{align}

::(

z = x + iy

,

\bar{z} = x - iy

, 평면 변형률에 대해

\kappa = 3-4\nu

, 평면 응력에 대해

\kappa= (3-\nu)/(1+\nu)

,

\nu

는 푸아송 비)

:선단 '''B'''에서의

F_y

에 대한 응력 확대 계수

:

\begin{align}::K_{\rm I} & = \frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}}::\left[G_2 - \frac{1}{\kappa+1} H_2\right] \\::K_{\rm II} & = -\frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right)::\left[G_1 - \frac{1}{\kappa-1} H_1\right] \,.::\end{align}

:선단 '''A''' (

x = -a

)에서의 응력 확대 계수

:

K_{\rm I}(-a; x,y) = -K_{\rm I}(a; -x,y) \,,\,\, K_{\rm II}(-a; x,y) = K_{\rm II}(a; -x,y) \,.

(하중

F_x

)

:

K_{\rm I}(-a; x,y) = K_{\rm I}(a; -x,y) \,,\,\, K_{\rm II}(-a; x,y) = -K_{\rm II}(a; -x,y) \,.

(하중

F_y

)

:

'''점 하중''' $F_y$ 에 의해 하중을 받는 균열 ( $y=0$ 이고 $-a < x < a$ )^[8]

:점 '''B'''에서의 응력 확대 계수

:

K_{\rm I} = \frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}}\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\,,\,\, K_{\rm II} = -\frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right) \,.

:하중이

-a < x < a

사이에서 균일하게 분포된 경우, 끝점 '''B'''에서의 응력 확대 계수

:

K_{\rm I} = \frac{1}{2\sqrt{\pi a}}\int_{-a}^a F_y(x)\,\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\,{\rm d}x\,,\,\, K_{\rm II} = -\frac{1}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right)\int_{-a}^a F_y(x)\,{\rm d}x, \,.

:

'''컴팩트 텐션 시편'''의 균열 선단^[14]

:

\begin{align}::K_{\rm I} & = \frac{P}{B}\sqrt{\frac{\pi}{W}}\left[16.7\left(\frac{a}{W}\right)^{1/2} - 104.7\left(\frac{a}{W}\right)^{3/2} + 369.9\left(\frac{a}{W}\right)^{5/2} \right.\\::& \qquad \left.- 573.8\left(\frac{a}{W}\right)^{7/2} + 360.5\left(\frac{a}{W}\right)^{9/2} \right]::\end{align}

:(

P

는 가해진 하중,

B

는 시편 두께,

a

는 균열 길이,

W

는 시편 폭)

:

'''단일 모서리 노치 굽힘 시험편'''의 균열 선단^[14]

:

\begin{align}::K_{\rm I} & = \frac{4P}{B}\sqrt{\frac{\pi}{W}}\left[1.6\left(\frac{a}{W}\right)^{1/2} - 2.6\left(\frac{a}{W}\right)^{3/2} + 12.3\left(\frac{a}{W}\right)^{5/2} \right.\\::& \qquad \left.- 21.2\left(\frac{a}{W}\right)^{7/2} + 21.8\left(\frac{a}{W}\right)^{9/2} \right]::\end{align}

:(

P

는 가해지는 하중,

B

는 시험편 두께,

a

는 균열 길이,

W

는 시험편 폭)

:

파괴 인성 시험을 위한 단일 모서리 노치 굽힘 시험편 (3점 굽힘 시험편이라고도 함)

]* '''일반적인 형식'''

:각 모드의 응력 확대 계수를 일반적인 형식으로 나타낸다.

:

K_{\rm I}=F_{\rm I} \sigma_{y_0} \sqrt{\pi a}

:

K_{\rm II}=F_{\rm II} \tau_{xy_0} \sqrt{\pi a}

:

K_{\rm III}=F_{\rm III} \tau_{yz_0} \sqrt{\pi a}

:여기서,

::''F'': 각 모드에서의 균열 재료의 형상이나 경계 조건에 따른 응력 확대 계수의 보정 계수

::''σ''_y0、''τ''_xy0、''τ''_yz0：각 공칭 응력

'''중첩의 원리'''

:선형 탄성론에 기초하여, 모드가 같은 경우 중첩의 원리가 성립

:

K = K_a + K_b + K_c+ \cdots

:(서로 다른 하중 계 ''a'', ''b'', ''c''… 가 동시에 가해질 때, 각각이 단독으로 가해질 때의 응력 확대 계수 ''K''_''a'',''K''_b,''K''_''c''…를 더하여 계산)

엄밀해, 근사해 목록
설명	식	그림
원거리에서 균일한 인장 응력을 받는 무한 판 내부의 균열 (엄밀해)	$K_{\rm I} = \sigma \sqrt{\pi a}$
원거리에서 균일한 인장 응력을 받는 반무한 판 편측 균열	$K_{\rm I} = 1.1215\sigma \sqrt{\pi a}$
원거리에서 균일한 인장 응력을 받는 유한 폭 판의 중앙 균열 (0 < ξ < 1 범위에서 오차 0.1% 이내)
원거리에서 균일한 인장 응력을 받는 유한 폭 판의 편측 균열 (0 < ξ < 1 범위에서 오차 0.5% 이내)
굽힘을 받는 유한 폭 판의 편측 균열 (0 < ξ < 1 범위에서 오차 0.5% 이내)
원거리에서 균일한 인장 응력을 받는 유한 폭 판의 양측 균열 (0 < ξ < 1 범위에서 오차 0.5% 이내)
균열면에 대향 집중 하중을 받는 무한 판 내 균열 (엄밀해)
ASTM E399-90에 규정된 금속 재료 파괴 인성 시험용 표준 시험편 (컴팩트 시험편) (0.2 < ξ < 1 범위에서 오차 0.5% 이내)
ASTM E1290-08에 규정된 균열 개구 변위 시험용 표준 시험편 (3점 굽힘 시험편)

참조

_[1] 서적 Fracture mechanics: fundamentals and applications CRC Press
_[2] 서적 Mechanical properties of engineered materials http://worldcat.org/[...] Marcel Dekker 2003
_[3] 서적 Fracture mechanics https://www.worldcat[...] Spon Press 2004
_[4] 서적 The Stress Analysis of Cracks Handbook American Society of Mechanical Engineers 2000-02
_[5] 간행물 An improved semi-analytical solution for stress at round-tip notches http://drgan.org/wp-[...]
_[6] 서적 Fatigue of Materials Cambridge University Press
_[7] 간행물 Fracture mechanics applied to engineering problems-strain energy density fracture criterion
_[8] 서적 Compendium of stress intensity factors HMSO Ministry of Defence. Procurement Executive
_[9] 문서 Stress intensity factors for the tension of an eccentrically cracked strip
_[10] 서적 Advanced life analysis methods. Crack Growth Analysis Methods for Attachment Lugs Flight Dynamics Laboratory, Air Force Wright Aeronautical Laboratories, AFSC W-P Air Force Base, Ohio
_[11] 간행물 Crack-tip stress intensity factors for the plane extension and plate bending problem
_[12] 간행물 On the stress distribution in plates with collinear cuts under arbitrary loads
_[13] 서적 Fundamentals of Fracture Mechanics http://dx.doi.org/10[...] 2008-01-30
_[14] 서적 Applied mechanics of solids CRC Press

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com