차원

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1. 개요
2. 수학에서의 차원
3. 물리학에서의 차원
4. 컴퓨터 그래픽 및 공간 데이터에서의 차원
5. 기타 분야에서의 차원 개념
6. 한국 사회에서의 '차원'
참조

1. 개요

차원은 수학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 사용되는 개념으로, 대상의 특성을 나타내는 데 사용된다. 수학에서는 객체 내에서 움직일 수 있는 독립적인 방향의 수를 의미하며, 벡터 공간, 다양체, 하우스도르프 차원 등 다양한 방식으로 정의된다. 물리학에서는 공간과 시간의 개념과 관련되어, 3차원 공간과 시간의 개념을 포함하며, 끈 이론과 같은 현대 이론에서는 추가적인 차원을 제안하기도 한다. 컴퓨터 그래픽스에서는 기하학적 형태를 표현하는 데 필요한 좌표의 수를 의미하며, 프로그래밍에서는 배열의 요소 수를 나타내는 데 사용된다. 또한, 문자 코드, 양의 차원, 한국 사회에서의 비유적 표현 등 다양한 맥락에서 사용된다.

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차원
개요
정의	수학, 물리학, 예술 등 다양한 분야에서 사용되는 추상적인 개념
수학적 의미	위상 공간의 기저를 형성하는 벡터의 최소 개수 또는 자유도의 수
차원의 종류
유클리드 공간	1차원 (선, 직선), 2차원 (평면), 3차원 (공간) 등으로 표현
프랙탈 차원	자기 유사성을 가지는 복잡한 형태의 차원
하우스도르프 차원	거리 공간의 부분 집합의 크기를 측정하는 방법
힐베르트 공간	무한 차원을 가질 수 있는 추상적인 벡터 공간
물리학에서의 차원
시공간	3차원 공간과 1차원 시간을 결합한 4차원 시공간
끈 이론	10차원 또는 11차원 시공간을 가정하는 이론
기타
차원 축소	고차원 데이터를 분석하기 위해 차원을 줄이는 기법
차원 확대	저차원 데이터를 고차원 공간으로 변환하여 분석하는 기법
차원 해소	칼루차-클라인 이론에서, 여분의 차원을 아주 작게 말아 넣어 보이지 않게 하는 방법

2. 수학에서의 차원

수학에서 차원은 다양한 방식으로 정의된다. 이는 객체 위를 움직이는 점의 자유도 수, 즉 점의 위치를 정의하는 데 필요한 독립적인 매개변수 또는 좌표의 수로 이해할 수 있다. 예를 들어 점은 0차원, 선은 1차원, 평면은 2차원이다. 원과 같은 곡선은 1차원인데, 곡선 위의 점의 위치는 곡선을 따라 이동한 거리로 결정되기 때문이다.

유클리드 n-공간의 차원은 n이다. 이를 일반화하면, 민코프스키 차원과 하우스도르프 차원 등이 있다. 예를 들어, 테서랙트는 4차원 객체이며, 수학자들은 "테서랙트의 차원은 4이다"라고 표현한다.

고차원 개념은 르네 데카르트 시대부터 있었지만, 19세기에 아서 케일리, 윌리엄 로언 해밀턴, 루드비히 슐래플리, 베른하르트 리만의 연구를 통해 본격적으로 발전했다. 리만의 1854년 논문, 슐래플리의 1852년 ''다중 연속성 이론'', 해밀턴의 사원수 발견, 존 T. 그레이브스의 팔원수 발견은 고차원 기하학의 시작을 알렸다.

차원의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의된다.

차원 종류	설명
벡터 공간의 차원	벡터 공간에서 일차 독립인 생성계의 농도
다양체/대수다양체의 차원
복합체의 호몰로지 차원
가환환의 크룰 차원	차원론 (대수학) 참조
환의 전역 차원
가군의 차원	사영 차원, 주입 차원 등
위상 차원	르베그 피복 차원, 귀납 차원(큰 귀납 차원, 작은 귀납 차원)
프랙탈 차원	프랙탈 기하학 참조. 0 이상의 실수이며, 정수일 필요는 없음 (하우스도르프 차원, 유사 차원, 용량 차원(박스 차원, 박스 카운팅 차원), 스펙트럼 차원, 랜덤워크 차원, 민코프스키 차원(Minkovski-Bouligand 차원), 패킹 차원 등)

이러한 다양한 차원 개념들은 기본적으로 유클리드 공간 '''R'''^''n'' 의 차원이 ''n'' 이라는 사실에 기반하며, 국소적으로 '''R'''^''n'' 인 공간의 차원이 ''n'' 에 일치한다.

현대적인 차원 개념은 19세기 말부터 20세기 초에 걸쳐 푸앵카레, 브라우어르, 멩거, 울리존 등에 의해 가분인 거리 공간에 대해 정식화되었다. 르베그에 의해 정의된 '''피복 차원'''은 "가분 거리 공간 ''X''의 임의의 유한 열린 피복에 대해 고작 차수 ''n'' + 1의 세분이 취해질 때, ''X''의 차원은 고작 ''n''이다"라고 언급되었다.^[4] 예를 들어, 피복 차원이 0이라는 것은 각 점이 열린 근방이자 닫힌 근방을 갖는다는 것을 의미한다.

2. 1. 벡터 공간의 차원

선형대수학에서 벡터 공간의 차원은 기저를 이루는 벡터의 개수를 의미하며, 이는 해당 벡터 공간 내의 임의의 점을 나타내는 데 필요한 좌표의 개수와 같다. 이 차원(기저의 기수)의 개념은 다른 차원 개념과 구별하기 위해 종종 *하멜 차원* 또는 *대수적 차원*이라고도 불린다.^[1]

예를 들어, 모든 2차원 실수 벡터들은 선형 결합을 통해

\{(a,b)|\,a,b\in\R\}

로 표현 가능하며,

(a,b)=a(1,0)+b(0,1)

이 성립하므로

\{(1,0), (0,1)\}

는 이 벡터 공간의 기저가 되고, 따라서 2차원이다. 모든 2차 실수 계수 다항식들은 선형 공간

\{ax^2+bx+c\,|\,a,b,c\in\R\}

이며

\{x^2, x, 1\}

는 이 공간의 기저가 되며 3차원이다.^[2]

힐베르트 공간은 모두 정규 직교 기저를 가지며, 특정 공간에 대한 두 개의 정규 직교 기저는 동일한 기수를 갖는다. 이 기수를 힐베르트 공간의 차원이라고 부른다. 이 차원은 공간의 하멜 차원이 유한한 경우에만 유한하며, 이 경우 두 차원은 일치한다.^[3]

2. 2. 다양체의 차원

연결 위상다양체는 국소적으로 n차원 유클리드 공간과 위상동형이며, 이때 이 다양체를 n차원이라고 한다. 이 방법으로, 모든 연결 위상다양체에 대해 차원이 유일하게 정의됨을 보일 수 있다.^[3]

기하학적 위상수학에서, 다양체 이론은 1차원과 2차원이 비교적 기본적인 방식으로 특징지어지며, 고차원(n > 4)의 경우 "작업"할 수 있는 여분의 공간이 있어 단순화되고, n = 3 및 n = 4인 경우는 어떤 의미에서 가장 어렵다. 이러한 상황은 서로 다른 경우의 푸앵카레 추측에서 매우 두드러졌으며, 여기서 네 가지 다른 증명 방법이 적용되었다.

다양체의 차원은 유클리드 공간이 정의되는 기본 필드에 따라 달라진다. 분석은 일반적으로 다양체가 실수를 기반으로 한다고 가정하지만, 때로는 복소 다양체와 대수적 다양체를 연구할 때 복소수를 대신 사용하는 것이 유용하다. 복소수 (x + iy)는 실수 부분 x와 허수 부분 y를 가지며, 여기서 x와 y는 모두 실수이다. 따라서 복소 차원은 실수 차원의 절반이다.

반대로, 대수적으로 제한되지 않은 맥락에서, 단일 복소 좌표계를 두 개의 실수 차원을 가진 객체에 적용할 수 있다. 예를 들어, 일반적인 2차원 구면은 복소 계량을 부여받으면 하나의 복소 차원을 가진 리만 구가 된다.^[3]

2. 3. 하우스도르프 차원

하우스도르프 차원은 구조적으로 복잡한 집합, 특히 프랙탈을 연구하는 데 유용하다. 하우스도르프 차원은 모든 거리 공간에 대해 정의되며, 정수가 아닌 실수 값을 가질 수도 있다.^[6]

위상 공간

S

와 반지름

r

이 주어졌을 때,

S

를

N(r)

개의 공으로 덮을 수 있다고 하자. 하우스도르프 차원

d

는

r

이

0

으로 갈 때

N(r)

가

r^{-d}

로 수렴하게 만드는 유일한 실수

d

이다.

박스 차원 또는 민코프스키 차원은 하우스도르프 차원과 동일한 아이디어의 변형이다. 일반적으로, 매우 불규칙한 집합에 대해 작동하고 정수가 아닌 양의 실수 값을 얻는 프랙탈 차원의 정의가 더 많이 존재한다.

2. 4. 르베그 덮개 차원

르베그 덮개 차원은 차원의 위상수학적 정의에 해당한다. 위상 공간

X

의 르베그 덮개 차원

\dim X

는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수

n\ge-1

이다.

임의의 열린 덮개 $\mathcal U$ 에 대하여, $\max_{x\in X}|\{C\in\mathcal C\colon x\in C\}|\le n+1$ 인 $\mathcal U$ 의 열린 세분 $\mathcal C$ 가 존재한다.

만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면,

\dim X=\infty

로 정의한다.

임의의 정규 위상 공간

X

에 대해,

X

의 르베그 덮개 차원은 다음을 만족하는 가장 작은 정수 ''n''으로 정의된다. 임의의 열린 덮개는 어떤 점도

n+1

개 이상의 원소에 포함되지 않도록 하는 열린 세분을 갖는다. 이 경우 dim

X=n

이다.

X

가 다양체인 경우, 이는 위에서 언급한 차원과 일치한다. 이러한 정수

n

이 존재하지 않으면,

X

의 차원은 무한대라고 하며, dim

X=\infty

로 표기한다. 또한,

X

가 비어 있을 경우에만

X

의 차원은 -1, 즉 dim

X=-1

이다. 이러한 덮개 차원의 정의는 정규 공간에서 모든 티호노프 공간으로 확장될 수 있으며, 정의에서 "열린"이라는 용어를 '''"함수적으로 열린"'''이라는 용어로 대체하기만 하면 된다.

르베그에 따르면 "가분 거리 공간 ''X''의 임의의 유한 열린 피복에 대해 고작 차수 ''n'' + 1의 세분이 취해질 때, ''X''의 차원은 고작 ''n''이다"라고 언급되었으며, ''X''가 고작 ''n'' 차원이고 고작 ''n'' - 1 차원이 아닐 때 ''X''는 ''n'' 차원이라고 정의된다. 예를 들어, 피복 차원이 0이라는 것은 각 점이 열린 근방이자 닫힌 근방을 갖는다고 말할 수 있다. 고전적인 의미에서 차원 ''n''인 유클리드 공간 '''R'''^''n''는 피복 차원의 의미에서도 ''n'' 차원이 된다.

2. 5. 크룰 차원

가환대수학에서 가환환의 크룰 차원은 가환환 내 소 아이디얼의 포함 관계 사슬의 최대 길이이다. 길이 *n*인 사슬은 포함 관계를 통해 연결된 소 아이디얼의 수열

\mathcal{P}_0\subsetneq \mathcal{P}_1\subsetneq \cdots \subsetneq\mathcal{P}_n

을 의미한다. 크룰 차원은 대수다양체의 차원과 밀접하게 관련되어 있는데, 이는 부분 다양체와 다양체 위의 다항식 환의 소 아이디얼 사이에 자연스러운 대응 관계가 있기 때문이다.^[4]

체 위의 대수의 경우, 벡터 공간으로서의 차원이 유한할 필요충분조건은 크룰 차원이 0인 것이다.

3. 물리학에서의 차원

고전 물리학은 물리적 공간을 3차원 유클리드 공간으로 묘사하며, 위-아래, 좌-우, 앞-뒤의 세 방향으로 움직일 수 있음을 의미한다. 공간의 각 점에서 다른 방향으로의 움직임은 이 세 가지 기본 방향의 조합으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 왼쪽을 양의 방향으로 할 때, 오른쪽 움직임은 왼쪽으로 음수만큼 움직이는 것과 같다.

고전 물리학은 세 가지 물리적 차원을 설명한다. 공간의 특정 지점에서 기본적인 이동 방향은 위/아래, 좌/우, 앞/뒤이다. 다른 모든 방향으로의 움직임은 이 세 가지로 표현 가능하다. 아래로 이동은 음의 거리만큼 위로 이동하는 것과 같고, 대각선으로 위쪽과 앞으로 이동하는 것은 위와 앞의 선형 결합으로 이동하는 것이다. 가장 단순한 형태로는 선은 1차원, 평면은 2차원, 입방체는 3차원을 설명한다. (공간 및 데카르트 좌표계 참조)

차원의 개수	좌표계 예시
1
2
3

우리가 사는 세계는 3개의 방향으로 펼쳐진 3차원 공간으로 여겨진다.

시간은 흔히 '네 번째 차원'으로 불리지만, 물리학적으로는 공간 차원과는 다른 성질을 갖는다. 모든 운동은 시간 축 상에서 한 방향으로만 일어나는 것으로 인식되기 때문이다. 아리스토텔레스와 이후의 고전 물리학에서는 시간을 네 번째 차원으로 생각하지 않았다.

물리학에서 처음으로 시간 차원을 제4차원으로 본 이론은 특수상대성이론이다. 특수상대성이론에서는 4차원 다양체인 민코프스키 공간을 우주의 수학적 구조로 본다. 민코프스키 공간은 기하학적으로 유클리드 공간과 다르며, 특수상대성이론의 물리 현상들을 설명하기에 적절하다.^[7]^[8]^[9]

고전역학의 방정식은 시간에 대해 대칭이며, 양자역학의 방정식은 시간과 다른 양(예: 전하 및 패리티)이 모두 반전되면 일반적으로 대칭이다. 이러한 모델에서 시간이 한 방향으로 흐르는 것처럼 보이는 것은 열역학 제2법칙의 산물이다(우리는 시간이 엔트로피가 증가하는 방향으로 흐르는 것으로 인식한다).

푸앵카레와 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서는 지각된 공간과 시간을 시공간으로 알려진 4차원 다양체의 구성 요소로 취급하며, 특수한 경우 평탄한 민코프스키 공간으로 취급한다.

뉴턴 역학에서는 공간과 시간은 서로 독립적인 물리 개념으로 취급되지만, 상대성 이론에서는 광속을 통해 시간의 척도와 공간의 척도가 연결되어, 부호 (3, 1)의 계량이 들어간 실제 4차원 공간 (민코프스키 공간)에서 현상이 기술된다. 단, 민코프스키 공간에서도 여전히 시간축은 다른 3개의 공간축과는 성질이 다른 것으로 여겨진다.

끈 이론이나 M-이론과 같은 현대 물리학 이론들은 우리 우주가 3차원 공간과 1차원 시간 외에 추가적인 차원을 가질 수 있다고 예측한다. 이러한 추가 차원은 아원자 규모로 매우 작게 "말려" 있을 수 있어 현재의 기술로는 관측이 어렵다. 칼루자-클라인 이론은 5차원 시공간을 도입하여 중력과 전자기력을 통합하려는 시도를 했다.^[10]^[11]

1921년 제시된 칼루자-클라인 이론은 양자장론 수준에서 중력과 게이지 이론 상호작용을 통합하며, 특히 여분 차원의 기하학이 단순할 때 전자기학을 재현한다. 그러나 이 이론은 양자 중력을 직접 설명하는 데는 한계가 있어, 끈 이론과 같은 추가적인 이론이 필요하다. 초끈 이론은 칼라비-야우 다양체를 형성하는 6개의 콤팩트 차원(6차원 초공간)을 필요로 한다.

D-브레인은 끈 이론에서 예측하는 다양한 차원의 동적 확장 객체로, 열린 끈의 끝점이 브레인에 갇혀 있고, 닫힌 끈은 전체 시공간("벌크")으로 자유롭게 전파될 수 있다. 이는 중력이 다른 힘보다 약한 이유를 설명하는 데 도움이 될 수 있다.

브레인 물리학의 일부 측면은 브레인 우주론에 적용되었는데, 예를 들어 브레인 가스 우주론은 끈이 일반적으로 교차할 수 있는 가장 큰 공간 차원이 세 개이기 때문에 공간의 세 차원이 존재하는 이유를 설명하려고 시도한다.

여분 차원은 모든 장이 여분 차원 내에서 동일하게 자유롭게 전파될 수 있는 경우 보편적 여분 차원이라고 한다.

3. 1. 공간 차원

고전 물리학은 물리적 공간을 3차원 유클리드 공간으로 묘사하며, 이는 위-아래, 좌-우, 앞-뒤의 세 방향으로 움직일 수 있음을 의미한다. 공간의 각 점에서 다른 방향으로의 움직임은 이 세 가지 기본 방향의 조합으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 왼쪽을 양의 방향으로 할 때, 오른쪽 움직임은 왼쪽으로 음수만큼 움직이는 것과 같다.

고전 물리학은 세 가지 물리적 차원을 설명한다. 공간의 특정 지점에서 기본적인 이동 방향은 위/아래, 좌/우, 앞/뒤이다. 다른 모든 방향으로의 움직임은 이 세 가지로 표현 가능하다. 아래로 이동은 음의 거리만큼 위로 이동하는 것과 같고, 대각선으로 위쪽과 앞으로 이동하는 것은 위와 앞의 선형 결합으로 이동하는 것이다. 가장 단순한 형태로는 선은 1차원, 평면은 2차원, 입방체는 3차원을 설명한다. (공간 및 데카르트 좌표계 참조)

차원의 개수	좌표계 예시
1
2
3

우리가 사는 세계는 3개의 방향으로 펼쳐진 3차원 공간으로 여겨진다.

3. 2. 시간 차원

시간은 흔히 '네 번째 차원'으로 불리지만, 물리학적으로는 공간 차원과는 다른 성질을 갖는다. 모든 운동은 시간 축 상에서 한 방향으로만 일어나는 것으로 인식되기 때문이다. 아리스토텔레스와 이후의 고전 물리학에서는 시간을 네 번째 차원으로 생각하지 않았다.

물리학에서 처음으로 시간 차원을 제4차원으로 본 이론은 특수상대성이론이다. 특수상대성이론에서는 4차원 다양체인 민코프스키 공간을 우주의 수학적 구조로 본다. 민코프스키 공간은 기하학적으로 유클리드 공간과 다르며, 특수상대성이론의 물리 현상들을 설명하기에 적절하다.^[7]^[8]^[9]

고전역학의 방정식은 시간에 대해 대칭이며, 양자역학의 방정식은 시간과 다른 양(예: 전하 및 패리티)이 모두 반전되면 일반적으로 대칭이다. 이러한 모델에서 시간이 한 방향으로 흐르는 것처럼 보이는 것은 열역학 제2법칙의 산물이다(우리는 시간이 엔트로피가 증가하는 방향으로 흐르는 것으로 인식한다).

푸앵카레와 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서는 지각된 공간과 시간을 시공간으로 알려진 4차원 다양체의 구성 요소로 취급하며, 특수한 경우 평탄한 민코프스키 공간으로 취급한다.

뉴턴 역학에서는 공간과 시간은 서로 독립적인 물리 개념으로 취급되지만, 상대성 이론에서는 광속을 통해 시간의 척도와 공간의 척도가 연결되어, 부호 (3, 1)의 계량이 들어간 실제 4차원 공간 (민코프스키 공간)에서 현상이 기술된다. 단, 민코프스키 공간에서도 여전히 시간축은 다른 3개의 공간축과는 성질이 다른 것으로 여겨진다.

3. 3. 추가 차원

끈 이론이나 M-이론과 같은 현대 물리학 이론들은 우리 우주가 3차원 공간과 1차원 시간 외에 추가적인 차원을 가질 수 있다고 예측한다. 이러한 추가 차원은 아원자 규모로 매우 작게 "말려" 있을 수 있어 현재의 기술로는 관측이 어렵다. 칼루자-클라인 이론은 5차원 시공간을 도입하여 중력과 전자기력을 통합하려는 시도를 했다.^[10]^[11]

1921년 제시된 칼루자-클라인 이론은 양자장론 수준에서 중력과 게이지 이론 상호작용을 통합하며, 특히 여분 차원의 기하학이 단순할 때 전자기학을 재현한다. 그러나 이 이론은 양자 중력을 직접 설명하는 데는 한계가 있어, 끈 이론과 같은 추가적인 이론이 필요하다. 초끈 이론은 칼라비-야우 다양체를 형성하는 6개의 콤팩트 차원(6차원 초공간)을 필요로 한다.

D-브레인은 끈 이론에서 예측하는 다양한 차원의 동적 확장 객체로, 열린 끈의 끝점이 브레인에 갇혀 있고, 닫힌 끈은 전체 시공간("벌크")으로 자유롭게 전파될 수 있다. 이는 중력이 다른 힘보다 약한 이유를 설명하는 데 도움이 될 수 있다.

브레인 물리학의 일부 측면은 브레인 우주론에 적용되었는데, 예를 들어 브레인 가스 우주론은 끈이 일반적으로 교차할 수 있는 가장 큰 공간 차원이 세 개이기 때문에 공간의 세 차원이 존재하는 이유를 설명하려고 시도한다.

여분 차원은 모든 장이 여분 차원 내에서 동일하게 자유롭게 전파될 수 있는 경우 보편적 여분 차원이라고 한다.

4. 컴퓨터 그래픽 및 공간 데이터에서의 차원

컴퓨터 그래픽 및 공간 데이터 분야에서 차원은 기하학적 형태를 표현하고 처리하는 데 필요한 좌표의 수를 의미한다. 여러 유형의 디지털 시스템은 일러스트레이션 소프트웨어, 컴퓨터 지원 설계, 지리 정보 시스템을 포함하여 기하학적 형태의 저장, 분석 및 시각화를 기반으로 한다.^[12] 이러한 시스템에서 사용되는 주요 기하 기본 요소는 다음과 같다.

'''점''' (0차원): 데카르트 좌표계의 단일 좌표.
'''선''' 또는 '''폴리선''' (1차원): 일반적으로 연속선에서 샘플링된 점의 순서 목록으로 표시되며, 소프트웨어는 직선 또는 곡선 세그먼트로 선의 중간 형태를 보간한다.
'''다각형''' (2차원): 일반적으로 두 끝점에서 닫히는 선으로 표시되며, 2차원 영역의 경계를 나타낸다. 소프트웨어는 이 경계를 사용하여 2차원 공간을 내부와 외부로 분할한다.
'''표면''' (3차원): 연결된 다각형 면으로 구성된 다면체와 같은 다양한 전략을 사용하여 표시된다. 소프트웨어는 이 표면을 사용하여 3차원 공간을 내부와 외부로 분할한다.

이러한 시스템, 특히 GIS 및 지도 제작에서 실제 현상의 표현은 표현되는 현상과 다른 (일반적으로 더 낮은) 차원을 가질 수 있다. 예를 들어, 도시(2차원 영역)는 점으로, 도로(3차원 재료의 부피)는 선으로 표현될 수 있다. 이러한 ''차원 일반화''는 공간적 인지 경향과 상관관계가 있다. 예를 들어, 두 도시 사이의 거리를 묻는 것은 도시를 점으로 개념적 모델로 가정하는 반면, 도로를 따라 "위", "아래" 또는 "따라" 이동하는 방향을 제시하는 것은 1차원 개념 모델을 암시한다. 이는 데이터 효율성, 시각적 단순성 또는 인지 효율성을 위해 자주 수행되며, 표현과 표현 대상 간의 구분이 이해된다면 허용되지만, 정보 사용자가 디지털 형태가 현실의 완벽한 표현이라고 가정하면 혼란을 야기할 수 있다(즉, 도로가 실제로 선이라고 믿는 것).

5. 기타 분야에서의 차원 개념

수학에서 차원 개념은 여러 분야에서 다양하게 정의되며, 하나의 정의로 모든 것을 설명하기는 어렵다. 다음은 수학의 여러 분야에서 사용되는 차원 개념들의 예시이다.

분야	설명
컴퓨터 프로그래밍에서의 배열 차원	배열 내의 각 요소를 식별하는 데 필요한 첨자의 개수^[1]
양의 차원	어떤 양 체계에 포함된 양을 해당 체계에서 독립적인 기본량의 멱승으로 나타낸 것. 국제량 체계(ISQ)에서는 7개의 물리량이 독립적인 기본량으로 정해져 있다.^[1]
문자 코드에서의 차원	부호화 문자 집합 내의 부호점을 몇 개의 조로 나누어 나타낼 때의 조의 수^[14]

5. 1. 프로그래밍에서의 배열 차원

컴퓨터 프로그래밍에서 배열의 차원은 배열 내의 각 요소를 식별하는 데 필요한 첨자의 개수를 의미한다.^[1]

5. 2. 양의 차원

어떤 양 체계에 포함된 양의 차원은 해당 체계에서 독립적인 기본량의 멱승으로 나타낸다. 특히 국제량 체계(ISQ)에 기반하는 경우, 독립적인 기본량으로 7개의 물리량이 정해져 있다.^[1]

5. 3. 문자 코드에서의 차원

문자 코드에서 차원이란, 부호화 문자 집합 내의 부호점을 몇 개의 조로 나누어 나타낼 때의 조의 수를 말한다.^[14]

과거에는 EBCDIC이나 ASCII를 나타낼 때, 그 표를 16문자씩 나누어 배열하는 등, 2차원으로 취급하기도 했다. 그러나 JIS X 0208 등에서 "구(区)", "점(点)"이라는 개념과 용어가 사용되는 등, 명확하게 계층적인 것이 사용되게 되었다. 반면, 유니코드에서 부호 위치를 나타내는 정수 "유니코드 스칼라 값"은 1차원의 스칼라 값이다.

유니코드는 1차원의 부호점을 정의하지만, 한자에서 "Three-Dimensional Conceptual Model"이라는 것을 도입할 필요가 생겼다. 즉, 부호 위치를 표현하는 좌표의 차원과는 직교하는 축이 있다는 것이다. 이러한 사정 등으로 인해, ISO/IEC 10646에서는 차원의 구조가 강조되게 되었다.

이러한 "조" 및 그것을 기반으로 한 "차원"의 개념은, 다양한 문자 코드의 규격에 나타나 있으며, 해당 규격서에서 2차원의 부호 공간은 물리적인 2차원의 그림으로, 3차원의 부호 공간은 물리적인 3차원의 그림을 사용하여 설명되는 경우가 있다.^[14] 또한, 각 숫자는 8비트에 들어가는 256 이하, 혹은 그 절반인 128, ISO 2022계와 같이 96 또는 94인 경우도 있다.

ISO/IEC 10646의 규격서에서는 다음과 같이 기술되어 있다.^[14]

ISO/IEC 10646의 부호 공간 전체는 4차원 공간이며, 이는 128개의 그룹으로 구성된다.
그룹은 3차원 부호화 공간이며, 하나의 그룹은 256개의 면으로 구성된다.
면은 2차원 부호화 공간이며, 하나의 면은 256개의 구역으로 구성된다.
구역은 1차원 부호화 공간이며, 하나의 구역은 256개의 점(부호 위치)으로 구성된다.

그 결과 ISO/IEC 10646에서의 부호 위치는 "그룹·면·구역·점"의 4가지 요소로 구성되지만, 그룹이 00 그룹일 때는 그룹, 00 그룹에서 면이 00 면일 때에는 면도 생략하여 표기하는 경우가 있다. ISO/IEC 10646의 이러한 구조는 유니코드를 도입하기 전의 DIS 10646 제1판부터 이어진 것이다. ISO/IEC 10646의 규격서에서는 이러한 구조를 공간적인 3차원 그림으로 설명하고 있으며^[15]^[16], 각 면의 상세한 코드 맵을 2차원 그림으로 설명하고 있다.^[17]^[18]^[19]

ISO/IEC 2022에 준거하는 도형 문자 집합에는 싱글 바이트 문자 집합(94자 집합 및 96자 집합)과 멀티 바이트 문자 집합이 있는데, 멀티 바이트 문자 집합도 94자 집합 또는 96자 집합을 여러 개 조합하는 구조를 가지고 있으며, 이를 "차원"이라고 부르는 경우가 있다. 또한, ISO/IEC 2022 준거 문자 코드 중 CNS 11643이나 JIS X 0213과 같이 여러 "면"을 갖는 것은, 규격 자체는 여러 면을 갖는 "3차원"이지만, ISO/IEC 2022의 국제 등록부에는 2차원의 개별 "면"마다 다른 등록 번호로 등록되어 있다.

6. 한국 사회에서의 '차원'

한국 사회에서 '차원'은 비유적인 표현으로도 자주 사용된다. "차원이 다르다"는 표현은 주로 어떤 대상이나 현상이 일반적인 범주를 벗어나거나, 기존의 방식과는 다른 관점이나 접근 방식이 필요함을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 너무나 동떨어진 사고방식, 기량, 성질을 형용할 때 "차원이 다르다"고 표현하며, 이는 양의 차이가 아니라 질의 차이가 있음을, "전혀 다른 요소(차원)를 도입하지 않으면 이해할 수 없다"는 것을 의미한다. 이때 '차원'은 대부분 '세계'로 바꿔 쓸 수 있다(예: 세계가 다르다).^[1]

SF나 판타지 등의 창작 작품에서 '차원'은 각 세계에 작용하는 근원적인 요소의 집합을 가리키거나, 어떤 근원적인 요소를 기조로 하는 세계를 지칭하기도 한다.^[1]

근원적인 요소라는 의미의 차원에는, 어떤 세계에 존재하지 않는 전혀 다른 요소도 포함된다. 그러한 요소를 가진 세계와 가지지 않은 세계는 세계의 구조나 생활 방식이 전혀 다르다. 이 때문에, 세계의 근원을 이루는 요소가 다른 (이차원의) 세계끼리는, '''이차원 세계''' (또는 단순히 "이차원")라고 칭한다. 예를 들어, 우리가 사는 3차원 공간의 세계에서는 공간 내를 움직여 이동하지만, 마법 등으로 이동하는 세계는 우리가 사는 세계와 근원이 되는 요소가 크게 다르다. 이럴 때 "쌍방의 세계는, 이차원이다", "쌍방은, 이차원 세계이다" 등으로 표현한다.^[1]

'이차원 세계(이차원)'라는 용어는 "다른 근원적인 요소에 의한 세계"라는 의미로, 별세계, 별천지, 아공간, 이세계, 평행 우주 등과 거의 동의어로 사용된다.^[1]

'차원'이라는 단어는 시각 미디어 등에서 제시되는 가공의 세계를 현실 세계와 구별하는 용어로 사용될 수 있다. 깊이 정보를 담지 않고 구성된 가공 세계를 "2차원 세계", 물리 공간에서의 현실 세계를 "3차원 세계"라고 부르기도 한다.^[1]

또한, 만화나 애니메이션의 캐릭터 등 평면적인 미디어 위에 시각화되어 온 캐릭터를 "2차원 캐릭터" 등으로 부르기도 한다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Curious About Astronomy http://curious.astro[...] Curious.astro.cornell.edu 2014-03-03
_[2] 웹사이트 MathWorld: Dimension http://mathworld.wol[...] Mathworld.wolfram.com 2014-02-27
_[3] 서적 The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions Basic Books 2010
_[4] 논문 European Congress of Mathematics Volume I Birkhäuser
_[5] 서적 Dimension Theory (PMS-4), Volume 4 https://books.google[...] Princeton University Press
_[6] 웹사이트 Fractal Dimension http://math.bu.edu/D[...] Boston University Department of Mathematics and Statistics
_[7] 논문 Non-Euclidean method of the generalized geometry construction and its application to space-time geometry
_[8] 서적 Proceedings of the 1988 Academy of Marketing Science (AMS) Annual Conference Springer International Publishing 2015-05-22
_[9] 논문 The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics http://www.jstor.org[...]
_[10] 논문 Superstrings in the early universe
_[11] 웹사이트 Brane Gas Cosmology http://www-astro-the[...]
_[12] 웹사이트 Vector Data Models https://saylordotorg[...] Saylor Academy
_[13] 서적 4次元図形百科丸善出版
_[14] 간행물 図1 国際符号化文字集合の全体構造 JIS X 0221:2007
_[15] 간행물 図1 国際符号化文字集合の全符号化空間 JIS X 0221:2007
_[16] 간행물 図2 国際符号化文字集合の群99 JIS X 0221:2007
_[17] 간행물 基本多言語面の概観 JIS X 0221:2007
_[18] 간행물 用字及び記号群に用いる追加多言語面の概観 JIS X 0221:2007
_[19] 간행물 追加漢字面の概観 JIS X 0221:2007
_[20] 콘퍼런스 Imagining Negative-Dimensional Space http://bridgesmathar[...] Tessellations Publishing 2015-07-10

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