적분상수

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1. 개요
2. 정의 및 기본 원리
- 2.1. 증명
3. 적분 상수의 중요성 및 의의
- 3.1. 추상 대수학적 관점
참조

1. 개요

적분상수는 어떤 함수의 부정적분을 구할 때 덧붙여지는 상수이다. 함수 f(x)의 부정적분 F(x)를 구할 때, 상수 C를 더하거나 빼도 여전히 부정적분이 되며, 이는 적어도 하나의 부정적분을 갖는 모든 함수가 무한히 많은 부정적분을 갖는다는 것을 의미한다. 적분 상수는 미적분학의 기본 정리, 초기값 문제, 미분 방정식 등에서 중요한 역할을 하며, 추상 대수학적 관점에서도 설명될 수 있다. 한국의 수학 교육과정에서는 고등학교 '미적분' 과목에서 적분 상수의 개념을 다루며, 적분 상수의 의미와 활용을 강조한다.

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적분상수
일반 정보
이름	적분 상수
정의	부정적분에서 발생하는 임의의 상수
기호	C
중요성	초기 조건이 주어지지 않은 경우 특정 함수를 고유하게 정의하는 것을 방지한다. 미분 방정식의 일반해를 나타낸다.
수학적 표현
부정적분	∫ f(x) dx = F(x) + C, 여기서 F'(x) = f(x)이고 C는 적분 상수이다.
예시	∫ cos(x) dx = sin(x) + C
응용
미분 방정식	미분 방정식의 일반해를 구할 때 적분 상수가 필요하다.
초기 조건	초기 조건이 주어지면 적분 상수의 값을 결정할 수 있다.
주의사항
상수 결정	적분 상수는 초기 조건 또는 경계 조건을 사용하여 결정해야 한다.
유일성	특정 초기 조건 하에서 함수의 유일한 해를 제공한다.

2. 정의 및 기본 원리

어떤 상수 함수의 도함수는 0이다. 함수 $f(x)$ 에 대한 부정적분 $F(x)$ 를 구하면, 어떤 상수 $C$ 를 더하거나 빼도 다른 부정적분을 얻게 된다. 왜냐하면 $\frac{d}{dx}(F(x) + C) = \frac{d}{dx}F(x) + \frac{d}{dx}C = F'(x) = f(x)$ 이기 때문이다. 이 상수는 적어도 하나의 부정적분을 갖는 모든 함수가 무한히 많은 부정적분을 가질 것이라는 점을 표현하는 방식이다.

상수를 더하고 빼는 것만이 동일한 함수의 서로 다른 부정적분을 찾는 데 사용할 수 있는 유일한 방법이다. 즉, 모든 부정적분은 상수만큼 동일하다. 예를 들어 $\cos(x)$ 의 부정적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C,$

여기서 $C$ 는 '''적분 상수'''이다. 다음은 $\cos(x)$ 의 부정적분임을 쉽게 확인할 수 있다.

$\begin{align}\frac{d}{dx}[\sin(x) + C]&= \frac{d}{dx} \sin(x) + \frac{d}{dx}C \\&= \cos(x) + 0 \\&= \cos(x)\end{align}$

1/''x''의 적분의 일반적인 형태는 다음과 같다.^[5]^[6]

$\int \frac{dx}{x} = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x < 0\\\ln \left|x \right| + C^+ & x > 0\end{cases}$

2. 1. 증명

F:\R\to\R

와

G:\R\to\R

을 모든 곳에서 미분 가능한 두 함수라고 가정한다. 모든 실수 ''x''에 대해

F\,'(x) = G\,'(x)

가 성립하면, 모든 실수 ''x''에 대해

F(x) - G(x) = C

를 만족하는 상수

C

가 존재한다.

이를 증명하기 위해

[F(x) - G(x)]' = 0

임을 주목한다. 따라서

F

를

F-G

로,

G

를 상수 함수

0

으로 대체하면, 도함수가 항상 0인 모든 곳에서 미분 가능한 함수는 상수 함수임을 증명하는 것으로 충분하다.

실수

a

를 선택하고

C = F(a)

라고 하자. 임의의 ''x''에 대해, 미적분학의 기본 정리에 따라,

F

의 도함수가 0이라는 가정 하에 다음이 성립한다.

\begin{align}& 0= \int_a^x F'(t)\,dt\\& 0= F(x)-F(a)         \\& 0= F(x)-C            \\& F(x)=C               \\\end{align}

따라서

F

는 상수 함수이다.

이 증명에서 두 가지 사실이 중요하다. 첫째, 실수는 연결되어 있다. 실수가 연결되어 있지 않으면 고정된 ''a''에서 임의의 ''x''까지 항상 적분할 수 없다. 예를 들어 구간 [0,1]과 [2,3]의 합집합에서 정의된 함수가 있고 ''a''가 0인 경우, 0에서 3까지 적분하는 것은 불가능하다. 왜냐하면 함수는 1과 2 사이에서 정의되지 않기 때문이다. 이 경우 각 연결 성분마다 하나씩, 즉 두 개의 상수가 존재한다. 영역이 연결되어 있지 않은 경우, 일반적으로 상수를 국소 상수 함수로 대체하여 이 정리를 확장할 수 있다. 예를 들어

\int dx/x

에 대해 두 개의 적분 상수가 있고,

\int \tan x\,dx

에 대해 무한히 많은 적분 상수가 있다.^[5]^[6]

둘째,

F

와

G

는 모든 곳에서 미분 가능하다고 가정했다.

F

와

G

가 단 한 점에서라도 미분 가능하지 않으면 이 정리는 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어 헤비사이드 계단 함수를 생각해 볼 수 있다.

3. 적분 상수의 중요성 및 의의

적분 상수는 미분 방정식의 해를 구할 때 중요한 역할을 한다. 실수가 연결 공간이라는 점과 함수가 모든 곳에서 미분 가능하다는 조건이 만족되어야 적분 상수가 유효하다.^[5]^[6] 연결되지 않은 영역에서는 국소 상수 함수를 이용하여 이 정리를 확장할 수 있다.

예를 들어, $\int dx/x$ 는 두 개의 적분 상수를, $\int \tan x\,dx$ 는 무한히 많은 적분 상수를 가진다. 1/''x''의 적분은 다음과 같이 표현된다.

$\int \frac{dx}{x} = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x < 0\\\ln \left|x \right| + C^+ & x > 0\end{cases}$

초기값 문제를 풀 때, 임의의 상수를 포함하는 일반 해에서 올바른 특수 해를 식별하는 데 적분 상수가 필요하다. 예를 들어, $\cos(x)$ 의 부정적분 중 ''x'' = π에서 값이 400인 해를 구하려면, $C$ 는 400이 되어야 한다.

미분 방정식의 해는 각 상수가 잘 정립된 초기값 문제의 고유한 해를 나타낸다는 의미를 가진다. 한편, $2\sin(x)\cos(x)$ 는 적어도 세 가지 다른 방식으로 적분될 수 있는데, 이는 모두 적분 상수를 포함한다.

정적분을 평가할 때는 적분 상수가 상쇄되므로 무시할 수 있지만, 부정적분을 계산할 때는 적분 상수를 고려해야 한다.

3. 1. 추상 대수학적 관점

어떤 상수 함수의 도함수는 0이다. 함수

f(x)

에 대한 부정적분

F(x)

를 찾으면, 어떤 상수

C

를 더하거나 빼도 다른 부정적분을 얻게 된다. 왜냐하면

\frac{d}{dx}(F(x) + C) = \frac{d}{dx}F(x) + \frac{d}{dx}C = F'(x) = f(x)

이기 때문이다. 이 상수는 적어도 하나의 부정적분을 갖는 모든 함수가 무한히 많은 부정적분을 가질 것이라는 것을 표현하는 방식이다.^[5]^[6]

F:\R\to\R

및

G:\R\to\R

을 모든 곳에서 미분 가능한 두 함수라고 가정하고, 모든 실수 ''x''에 대해

F\,'(x) = G\,'(x)

라고 가정하면, 모든 실수 ''x''에 대해

F(x) - G(x) = C

를 만족하는 실수

C

가 존재한다.

이를 증명하기 위해,

[F(x) - G(x)]' = 0

임을 주목해야 한다. 따라서

F

는

F-G

로 대체될 수 있고,

G

는 상수 함수

0

으로 대체될 수 있으며, 목표는 도함수가 항상 0인 모든 곳에서 미분 가능한 함수가 반드시 상수여야 함을 증명하는 것이다.

실수

a

를 선택하고

C = F(a)

라고 하면, 임의의 ''x''에 대해, 미적분학의 기본 정리는

F

의 도함수가 0이라는 가정과 함께 다음을 의미한다.

\begin{align}& 0= \int_a^x F'(t)\,dt\\& 0= F(x)-F(a)         \\& 0= F(x)-C            \\& F(x)=C               \\\end{align}

따라서

F

가 상수 함수임을 보여준다.

이 증명에서 두 가지 사실이 중요하다. 첫째, 실수는 연결되어 있다. 실수가 연결되어 있지 않으면 고정된 ''a''에서 임의의 주어진 ''x''까지 항상 적분할 수 없을 것이다. 예를 들어, 구간 [0,1]과 [2,3]의 합집합에서 정의된 함수를 요구하고, ''a''가 0인 경우, 0에서 3까지 적분하는 것은 불가능하다. 왜냐하면 함수는 1과 2 사이에서 정의되지 않기 때문이다. 이 경우에는 각 연결 성분에 대해 하나씩, 즉 ''두 개의'' 상수가 있을 것이다. 영역. 일반적으로 상수를 국소 상수 함수로 대체하여 이 정리를 비연결된 영역으로 확장할 수 있다. 예를 들어,

\int dx/x

에 대해 두 개의 적분 상수가 있고,

\int \tan x\,dx

에 대해 무한히 많은 적분 상수가 있다. 따라서 1/''x''의 적분의 일반적인 형태는 다음과 같다.^[5]^[6]

\int \frac{dx}{x} = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x < 0\\\ln \left|x \right| + C^+ & x > 0\end{cases}

둘째,

F

와

G

는 모든 곳에서 미분 가능하다고 가정했다.

F

와

G

가 단 하나의 점이라도 미분 가능하지 않으면 정리가 실패할 수 있다. 예를 들어, ''x''의 음수 값에 대해 0이고, 음수가 아닌 값에 대해 1인 헤비사이드 계단 함수를

F(x)

로 하고,

G(x) = 0

으로 하면,

F

의 도함수는 정의된 곳에서 0이고,

G

의 도함수는 항상 0이다. 그러나

F

와

G

는 상수만큼 다르지 않다는 것은 분명하다.

F

와

G

가 모든 곳에서 연속이고 거의 모든 곳에서 미분 가능하다고 가정하더라도 정리는 여전히 실패한다. 예를 들어,

F

를 칸토어 함수로 하고, 다시

G = 0

으로 한다.

상수를 더하고 빼는 것이 동일한 함수의 서로 다른 부정적분을 찾는 데 사용할 수 있는 유일한 유연성이다. 즉, 모든 부정적분은 상수만큼 동일하다.

\cos(x)

에 대해 이 사실을 표현하기 위해 다음과 같이 쓸 수 있다.

\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C,

여기서

C

는 '''적분 상수'''이다. 다음 함수들이

\cos(x)

의 부정적분임이 쉽게 결정된다.

\begin{align}\frac{d}{dx}[\sin(x) + C]&= \frac{d}{dx} \sin(x) + \frac{d}{dx}C \\&= \cos(x) + 0 \\&= \cos(x)\end{align}

참조

_[1] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://archive.org/[...] Brooks/Cole
_[2] 서적 Calculus Brooks/Cole
_[3] 웹사이트 Definition of constant of integration {{!}} Dictionary.com https://www.dictiona[...] 2020-08-14
_[4] 웹사이트 Constant of Integration https://mathworld.wo[...] 2020-08-14
_[5] 간행물 Reader Survey: log|''x''| + ''C'' http://golem.ph.utex[...] The ''n''-category Café 2012-03-19
_[6] 서적 The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus https://archive.org/[...] Princeton University Press 2007

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