미적분학의 기본 정리

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1. 개요
2. 역사
3. 기하학적 직관
4. 속도와 변위
5. 정의
- 5.1. 제1 기본 정리
- 5.2. 제2 기본 정리 (뉴턴-라이프니츠 정리)
6. 증명
- 6.1. 제1 기본 정리의 증명
- 6.2. 제2 기본 정리의 증명
7. 일반화
- 7.1. 르베그 적분
- 7.2. 스토크스 정리
참조

1. 개요

미적분학의 기본 정리는 미분과 적분 사이의 관계를 설명하는 미적분학의 핵심 정리이다. 이 정리는 17세기 제임스 그레고리, 아이작 배로, 아이작 뉴턴, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 등에 의해 발전되었으며, 기하학적 직관, 속도와 변위 문제 등을 통해 이해할 수 있다. 미적분학의 기본 정리는 제1 기본 정리와 제2 기본 정리(뉴턴-라이프니츠 정리)로 구성되며, 르베그 적분, 스토크스 정리 등으로 일반화된다.

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미적분학의 기본 정리
개요
이름	미적분학의 기본 정리
원어 이름	Fundamental Theorem of Calculus
설명	미분과 적분의 관계를 나타내는 정리
내용
제1 기본 정리	어떤 함수 f의 부정적분 F의 도함수는 f와 같다. 즉, 모든 x에 대해 F'(x) = f(x)이다.
제2 기본 정리	함수 f의 a에서 b까지의 정적분은 f의 임의의 부정적분 F를 사용하여 F(b) - F(a)로 계산할 수 있다.
중요성
핵심 내용	미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있음을 보여준다.
응용	미분을 사용하여 함수의 변화율을 계산하고, 적분을 사용하여 넓이, 부피 등 누적된 양을 계산하는 데 사용된다.
역사적 맥락
주요 기여자	아이작 뉴턴, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠
관련 개념
관련 개념	미분, 적분, 도함수, 부정적분, 정적분
추가 정보
활용 분야	물리학, 공학, 경제학, 통계학 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 역사

미적분학의 기본 정리가 발견되기 전에는 미분과 적분, 두 연산이 서로 관련되어 있다는 것을 알지 못했다. 고대 그리스 수학자들은 무한소를 통해 면적을 계산하는 방법을 알고 있었다. 미분의 기원은 미적분학의 기본 정리보다 수백 년 앞선다. 예를 들어, 14세기에는 옥스퍼드 계산자들과 다른 학자들이 함수의 ''연속성''과 ''운동''의 개념을 연구했다. 미적분학의 기본 정리의 역사적 중요성은 이러한 연산을 계산하는 능력이 아니라, 겉보기에는 별개의 두 연산(기하학적 면적 계산과 기울기 계산)이 실제로 밀접하게 관련되어 있다는 것을 깨달았다는 점이다.

미적분학의 기본 정리를 추측하고 증명하면서, 적분과 미분을 통합하는 이론으로서의 미적분학이 시작되었다. 기본 정리의 초보적인 형태에 대한 최초의 출판된 공식과 증명은 제임스 그레고리(1638–1675)에 의해 이루어졌으며,^[2]^[3]^[4] 성격이 매우 기하학적이었다. 아이작 배로 (1630–1677)는 이 정리의 더 일반화된 버전을 증명했고,^[5] 그의 제자인 아이작 뉴턴 (1642–1727)은 주변의 수학적 이론의 발전을 완성했다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 (1646–1716)는 지식을 무한소에 대한 미적분학으로 체계화했으며 오늘날 사용되는 라이프니츠 표기법을 도입했다.

3. 기하학적 직관

빨간색 영역의 넓이는 정확히 $A(x+h)-A(x)$ 이며, $h$ 가 충분히 작을 때 직사각형의 넓이 $f(x)h$ 로 근사할 수 있다.

연속 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

는

(t,y)

-데카르트 좌표계를 추가한 평면 위의 곡선으로 나타낼 수 있다. 만약 항상

f(t)\ge0

이라면, 곡선과 t축, y축, 직선

t=x

로 둘러싸인 영역의 넓이

A(x)

는 리만 적분

:

A(x)=\int_0^xf(t)\,dt

으로 주어진다. 작은 실수

h>0

에 대하여,

A(x+h)-A(x)

은 직선

t=x

와 직선

t=x+h

사이의 영역의 넓이이며, 직사각형의 넓이

:

A(x+h)-A(x)\approx f(x)h

로 근사할 수 있다. 따라서,

h

가 충분히 작을 때

:

\frac{A(x+h)-A(x)}h\approx f(x)

이다. 이 근사는 절댓값이 작은

h<0

에 대해서도 성립한다. 좌변은 곡선과 직선

t=x

,

t=x+h

의 교점을 잇는 직선의 기울기이며,

A

의

x

에서의 미분

A'(x)

은 이 기울기의 극한

:

A'(x)=\lim_{h\to0}\frac{A(x+h)-A(x)}h

으로 주어진다. 따라서,

:

A'(x)=f(x)

이다.

물론 직관적인 관찰에는 직사각형 넓이와 실제 넓이의 오차에 대한 고려가 빠져 있다. 사실,

f

가 연속 함수이므로,

h

가 작을 때

t\in[x,x+h]

에서

f(t)

가 변화하는 폭도 작다.

f(t)

의

t\in[x,x+h]

에서의 최솟값을

m

, 최댓값을

M

이라고 했을 때, 실제 넓이와 근사 넓이 모두 같은 범위

:

mh\le A(x+h)-A(x)\le Mh

:

mh\le f(x)h\le Mh

에 속한다. 따라서, 기울기와 그 근삿값

f(x)

사이의 오차는

M-m

이하이다.

:

\left|\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)\right|\le M-m

h

가 충분히 작을 때,

f

가 변화하는 폭

M-m

역시 아주 작으므로, 오차를 원하는 만큼 줄일 수 있다.

4. 속도와 변위

어떤 물체가 직선 위에서 시간 t^영어∈[t0^영어, t1^영어] 동안 속도 v(t)^영어≥0으로 운동했을 때 일어난 변위 Δs^영어를 구하는 문제를 생각해 보자. 우선, 속도 함수가 충분히 좋은 성질을 가진다고 가정하였을 때 (예: 연속 함수), 시간 t^영어∈[t0^영어, t1^영어] 동안의 변위는 리만 적분

:Δs^영어 = ∫_t0^영어^{t1^영어}v(t)^영어dt^영어

과 같다. 또한, t0^영어와 t1^영어 사이의 변위는 두 시각의 변위의 차

:Δs^영어 = s^영어(t1^영어) - s^영어(t0^영어)

와 같다. 따라서, 다음이 성립한다.

:∫_t0^영어^{t1^영어}v(t)^영어dt^영어 = s^영어(t1^영어) - s^영어(t0^영어)

즉, 상수를 더하는 차이를 무시하면, 변위는 속도의 적분과 같다. 다른 한편, 속도는 정의에 따라 변위의 미분이다.

:v(t)^영어 = s'(t)^영어 = lim_{Δt^영어→0} (s^영어(t^영어 + Δt^영어})-s(t)^영어) / Δt^영어

직관적으로, 미적분학의 기본 정리는 ''적분''과 ''미분''이 서로를 반전시키는 역연산 관계에 있다는 것을 나타낸다.

미적분학의 제2 기본 정리는 어떤 양의 무한소 변화의 합(그 양의 도함수의 적분)이 그 양의 순 변화량과 같다는 것을 말한다. 이를 시각화하기 위해, 차를 타고 고속도로를 따라 이동하면서 이동한 거리(위치의 순 변화량)를 알고 싶다고 상상해 보자. 속도계에서 속도를 볼 수 있지만, 바깥을 보면서 자신의 위치를 확인할 수는 없다. 매 초마다 거리 = 속도 × 시간 공식을 사용하여 차가 얼마나 이동했는지 알 수 있다. 즉, 현재 속도(시속 킬로미터 또는 마일)에 시간 간격(1초 = 1/3600 시간)을 곱한다. 이 작은 단계들을 모두 합하면 차 밖을 보지 않고도 이동한 총 거리를 근사할 수 있다.

:이동 거리 = Σ (각 시간에서의 속도) × (시간 간격) = Σ vt^영어 × Δt^영어.

Δt^영어가 무한소로 작아짐에 따라, 합하는 것은 적분에 해당한다. 따라서, 속도 함수(위치의 도함수)의 적분은 차가 얼마나 이동했는지(위치의 순 변화량)를 계산한다.

미적분학의 제1 기본 정리는 임의의 함수의 값은 고정된 시작점부터 임의의 선택된 끝점까지의 적분의 변화율(도함수)이라는 것을 말한다. 위에서 속도를 함수로 사용하여 예를 계속하면, 시작 시간부터 임의의 주어진 시간까지 적분하여 도함수가 그 속도인 거리 함수를 얻을 수 있다. (고속도로 표지판 위치를 얻으려면, 시작 위치를 이 적분에 더하고, 이동 방향이 마일 표지판이 증가하는 방향인지 감소하는 방향인지 고려해야 한다.)

5. 정의

미적분학의 기본 정리는 부정적분의 도함수에 관한 첫 번째 부분과, 부정적분과 정적분 간의 관계를 다루는 두 번째 부분으로 나뉜다.^[6]^[7]

미적분학의 기본 정리에는 몇 가지 (등가적이지 않은) 변형이 있다.

5. 1. 제1 기본 정리

리만 적분 가능 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가 주어졌다고 하자. 함수

F\colon[a,b]\to\mathbb R

를 다음과 같이 정의한다.

:

F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\qquad(\forall x\in[a,b])

'''미적분학의 제1 기본 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.^[6]

$F$ 는 립시츠 연속 함수이다. 따라서, $F$ 는 균등 연속 함수이며, 연속 함수이다.
만약 $f$ 가 연속 함수라면, $F$ 는 미분 가능 함수이며, 그 미분은 $F'=f$ 이다.

이 정리는 '''미적분학의 기본 정리 제1정리'''라고 불린다. 제1정리에 의해, (연속) 함수를 적분하고 미분하면 원래 함수로 돌아간다는 것을 알 수 있다.

함수

f

가 구간

I

에서 연속이면, 임의의 상수

a \in I

및 변수

x \in I

에 대해,

f

의 부정 적분

:

F\left( x\right) := \int_{a}^{x} f\left( t\right)\, {\rm d}t

는

x

에 관해 미분 가능하며,

:

\dfrac{{\rm d}x}F\left( x\right) =f\left(x \right)

이 성립한다. 즉,

F

는

f

의 원시 함수이다.

5. 2. 제2 기본 정리 (뉴턴-라이프니츠 정리)

리만 적분이 가능한 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가 주어졌고,

F'=f

인 미분 가능 함수

F\colon[a,b]\to\mathbb R

가 존재한다고 가정한다. 즉,

F

는

f

의 부정적분이다. '''미적분학의 제2 기본 정리'''에 따르면, 다음 등식이 성립한다.^[7]

:

\int_a^bf(t)\,dt=F(b)-F(a)

이 정리는 '''뉴턴-라이프니츠 정리'''라고도 불린다.

닫힌 구간

[a,b]

에서 정의된 실수 값을 갖는 함수

f

와

[a,b]

에서 연속이며

(a,b)

에서

f

의 부정적분인 함수

F

가 있을 때, 다음이 성립한다.

:

F'(x) = f(x).

만약

f

가

[a,b]

에서 리만 적분 가능하다면, 다음이 성립한다.

:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

f

의 부정적분

F

가 존재할 때, 임의의 상수를

F

에 더하여 얻을 수 있는 무수히 많은 부정적분이 존재한다.

구간

I

에서 미분 가능한 함수

F

의 도함수

f=\tfrac{{\rm d}F}{{\rm d}x}

가 적분 가능할 때, 임의의

a,\ b\in I

에 대해 다음이 성립한다.

:

\int _{a}^{b} f\left( x\right)\,{\rm d}x =F\left( b\right) -F\left( a\right)

이 정리는 함수를 미분하여 적분하면 상수 차이를 제외하고 원래 함수가 나타나는 것을 보여준다.

6. 증명

리만 적분 가능한 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 가 주어졌다고 하자. 함수 $F\colon[a,b]\to\mathbb R$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\qquad(\forall x\in[a,b])$

'''미적분학의 제1 기본 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.

$F$ 는 립시츠 연속 함수이다. 따라서, $F$ 는 균등 연속 함수이며, 연속 함수이다.
만약 $f$ 가 연속 함수라면, $F$ 는 미분 가능 함수이며, 그 미분은 $F'=f$ 이다.

함수

f

는 리만 적분 가능하므로 유계 함수이다. 즉,

:

M=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)|<\infty

이다. 따라서, 임의의

a\le x\le y\le b

에 대하여,

:

|F(y)-F(x)|=\left|\int_a^yf(t)\,dt-\int_a^xf(t)\,dt\right|=\left|\int_x^yf(t)\,dt\right|\le\int_x^y|f(t)|\,dt\le M(y-x)

이다. 즉,

F

는 립시츠 연속 함수이다.

이제,

f

가 연속 함수라고 가정하고, 임의의

x\in[a,b]

및

\epsilon>0

이 주어졌다고 하자.

f

의 연속성에 따라,

:

|f(t)-f(x)|<\epsilon\qquad(\forall t\in(x-\delta,x+\delta)\cap[a,b])

인

\delta>0

가 존재한다. 임의의

y\in((x-\delta,x)\cup(x+\delta))\cap[a,b]

에 대하여,

:

\left|\frac{F(y)-F(x)}{y-x}-f(x)\right|=\left|\frac 1{y-x}\int_x^yf(t)\,dt-\frac 1{y-x}\int_x^yf(x)\,dt\right|=\left|\frac 1{y-x}\int_x^y(f(t)-f(x))\,dt\right|<\epsilon

이다. 따라서,

F

는

x

에서 미분 가능하며,

F'(x)=f(x)

이다.^[8]

리만 합의 수렴 과정. 왼쪽 위 숫자는 파란색 직사각형들의 총 면적이며, 함수의 정적분 값으로 수렴한다.

제2 기본 정리의 증명은 평균값 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

6. 1. 제1 기본 정리의 증명

리만 적분 가능한 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가 주어졌다고 하자. 함수

F\colon[a,b]\to\mathbb R

를 다음과 같이 정의한다.

:

F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\qquad(\forall x\in[a,b])

'''미적분학의 제1 기본 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.

$F$ 는 립시츠 연속 함수이다. 따라서, $F$ 는 균등 연속 함수이며, 연속 함수이다.
만약 $f$ 가 연속 함수라면, $F$ 는 미분 가능 함수이며, 그 미분은 $F'=f$ 이다.

함수

f

는 리만 적분 가능하므로, 유계 함수이다. 즉,

:

M=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)|<\infty

이다. 따라서, 임의의

a\le x\le y\le b

에 대하여,

:

|F(y)-F(x)|=\left|\int_a^yf(t)\,dt-\int_a^xf(t)\,dt\right|=\left|\int_x^yf(t)\,dt\right|\le\int_x^y|f(t)|\,dt\le M(y-x)

이다. 즉,

F

는 립시츠 연속 함수이다.

이제,

f

가 연속 함수라고 가정하고, 임의의

x\in[a,b]

및

\epsilon>0

이 주어졌다고 하자.

f

의 연속성에 따라,

:

|f(t)-f(x)|<\epsilon\qquad(\forall t\in(x-\delta,x+\delta)\cap[a,b])

인

\delta>0

가 존재한다. 임의의

y\in((x-\delta,x)\cup(x+\delta))\cap[a,b]

에 대하여,

:

\left|\frac{F(y)-F(x)}{y-x}-f(x)\right|=\left|\frac 1{y-x}\int_x^yf(t)\,dt-\frac 1{y-x}\int_x^yf(x)\,dt\right|=\left|\frac 1{y-x}\int_x^y(f(t)-f(x))\,dt\right|<\epsilon

이다. 따라서,

F

는

x

에서 미분 가능하며,

F'(x)=f(x)

이다.^[8]

6. 2. 제2 기본 정리의 증명

리만 적분 가능한 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가 주어졌고,

F'=f

인 미분 가능 함수

F\colon[a,b]\to\mathbb R

가 존재한다고 가정한다(즉,

F

는

f

의 부정적분이다).

폐구간

[a,b]

의 임의의 분할

:

P=(x^P_0,x^P_1,\dots,x^P_{n(P)})

:

a=x^P_0

를 생각한다. 평균값 정리에 따라, 각

i=1,\dots,n(P)

에 대하여

:

F(x^P_i)-F(x^P_{i-1})=f(\xi^P_i)(x^P_i-x^P_{i-1})

인

\xi^P_i\in(x^P_{i-1},x^P_i)

가 존재한다. 위 등식을 모든

i

에 대하여 합하면

:

F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n(P)}f(\xi^P_i)(x^P_i-x^P_{i-1})

을 얻는다. 우변은

f

의

P

에 대한 리만 합이므로, 분할

P

에 대한 극한을 취하면 리만 적분

:

F(b)-F(a)=\int_a^bf(t)\,dt

을 얻는다.

다음은 위의 증명을 좀 더 자세히 풀어서 설명한 것이다.

1. 평균값 정리에 따르면, 닫힌 구간

[a, b]

에서 연속이고 열린 구간

(a, b)

에서 미분 가능한 함수

F

에 대해,

(a, b)

안에 어떤 수

c

가 존재하여 다음 식이 성립한다.

:

F'(c)(b - a) = F(b) - F(a).

2. 구간

[a, b]

에서

f

가 (리만) 적분 가능하고,

F

가

(a, b)

에서

f

의 부정적분이며,

F

가

[a, b]

에서 연속이라고 가정한다.

3.

F(b) - F(a)

에서 시작하여, 다음과 같이

x_0, x_1, \dots, x_n

을 정의한다.

:

a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b.

그러면 다음이 성립한다.

:

F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0).

4. 각

F(x_i)

와 그 덧셈 역원을 더하여 정리하면 다음과 같다.

:

\begin{align}F(b) - F(a)&= F(x_n) + [-F(x_{n-1}) + F(x_{n-1})] + \cdots + [-F(x_1) + F(x_1)] - F(x_0) \\&= [F(x_n) - F(x_{n-1})] + [F(x_{n-1}) - F(x_{n-2})] + \cdots + [F(x_2) - F(x_1)] + [F(x_1) - F(x_0)].\end{align}

5. 위의 식은 다음과 같은 합으로 표현할 수 있다.

:

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F(x_i) - F(x_{i-1})].

6. 함수

F

는 각 구간

(x_{i-1}, x_i)

에서 미분 가능하고 각 구간

[x_{i-1}, x_i]

에서 연속이므로, 평균값 정리에 의해 각

i

에 대해

(x_{i-1}, x_i)

안에 어떤 수

c_i

가 존재하여 다음이 성립한다.

:

F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}).

7. 위 식을 5번 식에 대입하면 다음을 얻는다.

:

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F'(c_i)(x_i - x_{i-1})].

8. 가정에 따르면

F'(c_i) = f(c_i)

이고,

x_i - x_{i-1}

는 분할

i

의

\Delta x_i

로 표현할 수 있으므로, 다음이 성립한다.

:

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)].

9. 분할의 노름(가장 큰 분할의 크기)이 0으로 접근함에 따라 식의 극한을 취하면 리만 적분에 도달한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)].

10.

F(b)

와

F(a)

는

\|\Delta x_i\|

에 의존하지 않으므로, 좌변의 극한은

F(b) - F(a)

이다. 따라서 다음이 성립한다.

:

F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)].

:

F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx.

이로써 증명이 완료된다.

7. 일반화

르베그 적분은 리만 적분을 효과적으로 일반화한 것으로, 모든 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분을 가지며 이는 리만 적분과 일치한다. 미적분학의 기본 정리에도 르베그 적분 형태가 존재한다. 르베그 적분을 갖는 가측 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 에 대하여, $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\qquad(\forall x\in[a,b])$ 로 정의된 함수 $F\colon[a,b]\to\mathbb R$ 는 절대 연속 함수이며, 거의 모든 $x\in[a,b]$ 에 대하여 $F'(x)=f(x)$ 를 만족시킨다. 또한, 도함수 $F'=f$ 가 르베그 적분을 갖는 임의의 미분 가능 함수 $F\colon[a,b]\to\mathbb R$ 에 대하여, $\int_a^bf(t)\,dt=F(b)-F(a)$ 가 성립한다.^[10]

함수 f가 전체 구간에서 연속일 필요는 없다. f가 르베그 적분 가능하고, $x_0$ 에서 연속이면, $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ 는 $x = x_0$ 에서 미분 가능하며 $F'(x_0) = f(x_0)$ 이다. f에 대한 조건을 완화하여 국소 적분 가능하다고 가정하면, F는 거의 모든 곳에서 미분 가능하고 거의 모든 곳에서 $F'(x) = f(x)$ 가 성립한다. 이는 르베그의 미분 정리와 동등하며, Henstock–Kurzweil 적분에서도 유효하다.

미적분학의 기본 정리의 일반화 중 하나로 스토크스 정리가 있다. 이는 폐구간 및 0-형식에 대한 스토크스 정리와 같다.^[9] 이 정리는 다변수 미적분학의 기본 정리라고도 불리며,^[13] 미분 형식 $\omega$ 가 정의된 더 큰 다양체에 매립된 가향된 부분 다양체인 경우에 종종 이용된다.

7. 1. 르베그 적분

르베그 적분은 리만 적분을 효과적으로 일반화한다. 모든 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분을 가지며, 이는 리만 적분과 일치한다. 미적분학의 기본 정리의 르베그 적분 형태가 존재한다. 르베그 적분을 갖는 가측 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

에 대하여, 함수

:

F\colon[a,b]\to\mathbb R

:

F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\qquad(\forall x\in[a,b])

는 절대 연속 함수이며, 거의 모든

x\in[a,b]

에 대하여

F'(x)=f(x)

를 만족시킨다. 또한, 임의의 미분 가능 함수

F\colon[a,b]\to\mathbb R

에 대하여, 만약 도함수

F'=f

가 르베그 적분을 갖는다면,

:

\int_a^bf(t)\,dt=F(b)-F(a)

이다.

함수 f는 전체 구간에서 연속일 필요는 없다. f가 [a, b]에서 르베그 적분 가능 함수이고,

x_0

가 [a, b]의 수이며, f가

x_0

에서 연속이면,

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt

는

x = x_0

에서 미분 가능하며,

F'(x_0) = f(x_0)

이다. f에 대한 조건을 더욱 완화하여 단순히 국소 적분 가능하다고 가정할 수 있다. 이 경우, 함수 F가 거의 모든 곳에서 미분 가능하고

F'(x) = f(x)

가 거의 모든 곳에서 성립한다고 결론 내릴 수 있다. 실수선에서 이 명제는 르베그의 미분 정리와 동등하다. 이러한 결과는 더 넓은 범위의 적분 가능한 함수를 허용하는 Henstock–Kurzweil 적분에 대해서도 유효하다.

정리 제2정리는 부정적분 F를 갖는 모든 르베그 적분 가능 함수 f에 대해 참이다(모든 적분 가능 함수가 그렇지는 않지만). 즉, [a, b]에서 실수 함수 F가 [a, b]의 모든 점 x에서 도함수

f(x)

를 가지며 이 도함수 f가 [a, b]에서 르베그 적분 가능하다면,^[10]

F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) \, dt.

이 결과는 칸토어 함수의 예에서 볼 수 있듯이, 거의 모든 점 x에서 도함수

f(x)

를 갖는 연속 함수 F에 대해 실패할 수 있다. 그러나 F가 절대 연속이면, 거의 모든 점 x에서 도함수

F'(x)

를 가지며, 또한 F'는 적분 가능하며,

F(b) - F(a)

는 [a, b]에서 F'의 적분과 같다. 반대로, f가 적분 가능한 함수라면, 첫 번째 공식에서 주어진 F는 거의 모든 곳에서

F' = f

로 절대 연속이 된다.

7. 2. 스토크스 정리

미적분학의 기본 정리는 폐구간 및 0-형식에 대한 스토크스 정리와 같다.^[9]

이 방향으로의 일반화 중 가장 강력한 것으로 스토크스 정리가 있다(실제로 스토크스 정리는 때때로 "다변수 미적분학의 기본 정리"라고 불린다).^[13]

이 정리는 종종

M

이 미분 형식

\omega

가 정의된 더 큰 다양체(예:

\mathbb{R}^k

)에 매립된 가향된 부분 다양체인 경우에 이용된다.

참조

_[1] 웹사이트 First Fundamental Theorem of Calculus https://mathworld.wo[...] 2024-04-15
_[2] 논문 James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions Springer Science+Business Media
_[3] 서적 Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History https://books.google[...] Mathematical Association of America
_[4] 서적 Geometriae Pars Universalis https://archive.org/[...] Patavii: typis heredum Pauli Frambotti
_[5] 서적 The Geometrical Lectures of Isaac Barrow https://archive.org/[...] Chicago: Open Court Publishing Company
_[6] 간행물
_[7] 간행물
_[8] 간행물 The calculus of a single variable HarperCollins College Publishers
_[9] 간행물 Calculus Publish or Perish Inc.
_[10] 간행물
_[11] 서적 Calculus on Manifolds W. A. Benjamin
_[12] 간행물 The calculus of a single variable HarperCollins College Publishers
_[13] 서적 Calculus on Manifolds W. A. Benjamin

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