초기값 문제

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1. 개요

초기값 문제는 미분 방정식과 초기 조건을 모두 만족하는 해를 찾는 문제이다. 해의 존재성과 유일성은 함수 f의 성질에 따라 결정되며, 피카르-린델뢰프 정리는 해의 존재와 유일성을 보장하는 충분 조건을 제시한다. 오카무라 히로시는 해가 유일하기 위한 필요충분 조건을 제시했으며, 피아노 존재 정리는 f가 연속일 경우 해의 존재를 보장하지만 유일성은 보장하지 않는다. 카라테오도리 존재 정리는 불연속 함수 f에 대한 해의 존재를 다룬다. 초기값 문제는 다양한 분야에서 응용되며, 해석적 해법과 수치적 해법을 통해 해결될 수 있다.

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초기값 문제
기본 정보
분야	미분 방정식
하위 분야	수학 분석학
유형	미분 방정식
관련 항목	경계값 문제 미분 방정식 수치해석
초기 조건
설명	해의 특정 값을 지정하는 조건
예시	'y(t₀) = y₀, y''(t₀) = y₁'
관련 개념
코시 문제	초기값 문제를 지칭하는 또 다른 용어 (일부 저자)
풀이 방법
해석적 방법	변수 분리법 적분 인자 멱급수 해법
수치적 방법	오일러 방법 룽게-쿠타 방법

2. 정의

초기값 문제는 미분 방정식 $y'(t)=f(t,y(t))$ 와 초기 조건 $(t_0,y_0)\in\Omega$ 로 구성된다. 여기서 $f\colon \Omega \subset {\mathbb {R}}\times {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ 이고, $\Omega$ 는 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ 의 열린 집합이다. 초기값 문제의 해는 주어진 미분 방정식과 초기 조건 $y(t_0)=y_0$ 을 모두 만족하는 함수 $y(t)$ 이다.

고차 미분 방정식의 경우, $y_i'(t)=f_i(t, y_1(t), y_2(t), \dotsc)$ 와 같이 여러 개의 방정식으로 표현될 수 있으며, $y(t)$ 는 벡터 $(y_1(t), \dotsc, y_n(t))$ 로 나타낼 수 있다. 미지 함수 $y$ 는 바나흐 공간이나 분포와 같은 무한 차원 공간에서 값을 가질 수도 있다.

3. 해의 존재성과 유일성

초기값 문제의 해가 항상 존재하고 유일한 것은 아니다. 해의 존재성과 유일성은 함수 ''f''의 성질에 따라 결정된다.

피카르-린델뢰프 정리는 ''f''가 ''t''₀와 ''y''₀를 포함하는 영역에서 연속이고 변수 ''y''에 대해 립시츠 조건을 만족하면 ''t''₀를 포함하는 어떤 구간에서 유일한 해를 보장한다. 이 정리의 증명은 문제를 동등한 적분 방정식으로 재구성함으로써 진행된다. 적분은 한 함수를 다른 함수로 매핑하는 연산자로 간주될 수 있으며, 이때 해는 연산자의 고정점이다. 그런 다음 바나흐 고정점 정리를 적용하여 유일한 고정점이 존재함을 보이며, 이는 초기값 문제의 해이다.

피카르-린델뢰프 정리의 이전 증명은 적분 방정식의 해, 즉 초기값 문제의 해로 수렴하는 일련의 함수를 구성한다. 이러한 구성은 때때로 "피카르 방법" 또는 "연속 근사법"이라고 불린다. 이 방법은 바나흐 고정점 정리의 특별한 경우에 해당한다.

오카무라 히로시는 초기값 문제의 해가 유일하기 위한 필요충분 조건을 얻었다. 이 조건은 시스템에 대한 랴푸노프 함수의 존재와 관련이 있다.

어떤 상황에서는 함수 ''f''가 ''C''¹급이거나 심지어 립시츠 연속이 아니어서, 유일한 국소 해의 존재를 보장하는 일반적인 결과가 적용되지 않는다. 그러나 피아노 존재 정리는 ''f''가 단지 연속적이기만 해도 시간에 대해 국소적으로 해가 존재함을 증명한다. 문제는 유일성이 보장되지 않는다는 것이다. 이 결과는 Coddington & Levinson (1955, Theorem 1.3)^[1] 또는 Robinson (2001, Theorem 2.6)^[2]에서 찾을 수 있다. 훨씬 더 일반적인 결과는 불연속 함수 ''f''에 대한 존재를 증명하는 카라테오도리 존재 정리이다.

3. 1. 피카르-린델뢰프 정리

피카르-린델뢰프 정리는 초기값 문제의 해가 국소적으로 존재하고 유일하기 위한 충분 조건을 제시한다.^[2] 이 정리에 따르면, ''f''가 ''t''₀와 ''y''₀를 포함하는 영역에서 연속이고, 변수 ''y''에 대해 립시츠 조건을 만족하면, ''t''₀를 포함하는 어떤 구간에서 유일한 해가 존재한다.

이 정리의 증명은 문제를 동등한 적분 방정식으로 재구성함으로써 진행된다. 적분은 한 함수를 다른 함수로 매핑하는 연산자로 간주될 수 있으며, 이때 해는 연산자의 고정점이다. 그런 다음 바나흐 고정점 정리를 적용하여 유일한 고정점이 존재함을 보이며, 이는 초기값 문제의 해이다.

피카르-린델뢰프 정리의 이전 증명은 적분 방정식의 해, 즉 초기값 문제의 해로 수렴하는 일련의 함수를 구성한다. 이러한 구성은 때때로 "피카르 방법" 또는 "연속 근사법"이라고 불린다. 이 버전은 본질적으로 바나흐 고정점 정리의 특수한 경우이다.

오카무라 히로시는 초기값 문제의 해가 유일하기 위한 필요충분 조건을 얻었다. 이 조건은 시스템에 대한 랴푸노프 함수의 존재와 관련이 있다.

어떤 상황에서는 함수 ''f''가 ''C''¹급이거나 심지어 립시츠 연속이 아니어서, 유일한 국소 해의 존재를 보장하는 일반적인 결과가 적용되지 않는다. 그러나 피아노 존재 정리는 ''f''가 단지 연속적이기만 해도 시간에 대해 국소적으로 해가 존재함을 증명한다. 문제는 유일성이 보장되지 않는다는 것이다.^[1]^[2] 훨씬 더 일반적인 결과는 불연속 함수 ''f''에 대한 존재를 증명하는 카라테오도리 존재 정리이다.

3. 2. 바나흐 고정점 정리

바나흐 고정점 정리를 이용하여 초기값 문제의 해가 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 이 방법은 문제를 동등한 적분 방정식으로 변환하고, 적분을 함수를 다른 함수로 매핑하는 연산자로 간주하여, 그 연산자의 고정점이 초기값 문제의 해임을 보이는 방식으로 진행된다.

피카르-린델뢰프 정리는 ''t''₀ 및 ''y''₀를 포함하는 영역에서 ''f''가 연속적이고, 변수 ''y''에 대해 ''f''가 립시츠 조건을 만족하는 경우, 초기값 문제의 해가 ''t''₀를 포함하는 어떤 구간에서 유일하게 존재함을 보장한다. 정리의 증명은 주어진 초기값 문제를 동치인 적분 방정식으로 변환함으로써 이루어진다. 이 경우 적분은 어떤 함수를 다른 함수로 매핑하는 연산자로 간주되며, 그 부동점이 구하는 해가 된다. 바나흐 부동점 정리가 적용됨으로써, 초기값 문제의 해인 부동점의 존재 및 유일성이 제시된다.

피카르-린델뢰프 정리의 이전 증명은 적분 방정식의 솔루션이자 초기값 문제의 솔루션에 수렴하는 함수의 시퀀스를 생성한다. 이러한 구조는"피카르의 방법"또는"연속 근사 방법"이라고 불린다. 이 방법은 바나흐 고정점 정리의 특별한 경우에 해당한다.

오카무라 히로시는 초기값 문제의 해가 유일하게 되기 위한 필요충분조건을 얻었다. 이 조건은 시스템에 대한 랴푸노프 함수가 존재함을 필요로 한다.

몇몇 경우에서 함수 ''f''는 ''C''¹급 또는 립시츠 연속조차도 아니어서 해의 국소적인 유일 존재성을 보장하기 위한 일반적인 결과가 적용되지 않을 때가 있다. 그러나 페아노의 존재 정리는 함수 ''f''가 단지 연속 함수이더라도, 해의 시간에 대한 국소 존재성이 보장됨을 보여준다. 단, 여기서 문제는 해의 유일성이 보장되지 않는다는 것이다. 이 결과는 참고 문헌 Coddington & Levinson (1955, Theorem 1.3)^[1] 또는 Robinson (2001, Theorem 2.6)^[2] 등에서 볼 수 있다. 더 일반적인 결과로, 함수 ''f''가 불연속인 경우 해의 존재를 다룬 카라테오도리의 존재 정리가 있다.

3. 3. 페아노 존재 정리

페아노 존재 정리는

f

가 연속 함수이기만 하면, 초기값 문제의 해가 국소적으로 존재함을 보장한다.^[1]^[2] 하지만 이 경우 해의 유일성은 보장되지 않는다. 함수

f

가 ''C''¹급이거나 립쉬츠 연속이 아닌 경우에도 적용될 수 있다.

3. 4. 카라테오도리 존재 정리

카라테오도리 존재 정리는

f

가 불연속 함수인 경우에도 해의 존재성을 다룬다.^[1]^[2]

3. 5. 오카무라 히로시의 연구

오카무라 히로시는 초기값 문제의 해가 유일하기 위한 필요 충분 조건을 제시했다.^[1]^[2] 이 조건은 시스템에 대한 Lyapunov 함수의 존재와 관련이 있다.

4. 예시

; 예제 1

미분 방정식 $y' = 0.85y$ 와 초기 조건 $y(0) = 19$ 를 만족하는 해를 구하는 예시이다.

먼저, $y' = \frac{dy}{dt}$ 로 놓고 식을 변형하면 다음과 같다.

: $\frac{dy}{dt} = 0.85y$

$y$ 를 좌변으로, $t$ 를 우변으로 정리한다.

: $\frac{dy}{y} = 0.85dt$

양변을 적분하면 다음과 같다. ( $B$ 는 적분 상수)

: $\ln|y| = 0.85t + B$

로그를 제거하면 다음과 같다.

: $|y| = e^B e^{0.85t}$

$C = \pm e^B$ 로 정의하면,

: $y = Ce^{0.85t}$

이제 $C$ 의 값을 구하기 위해 초기 조건 $y(0) = 19$ 를 대입한다.

: $19 = Ce^{0.85 \cdot 0}$

: $C = 19$

따라서 최종적인 해는 $y(t) = 19e^{0.85t}$ 이다.

; 예제 2

미분 방정식 $y' + 3y = 6t + 5$ 와 초기 조건 $y(0) = 3$ 을 만족하는 해는 $y(t) = 2e^{-3t} + 2t + 1$ 이다.

왜냐하면,

: $\begin{align}y'+3y &= \tfrac{d}{dt} (2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\&= (-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\&= 6t+5.\end{align}$

; 세 번째 예시

다음의 해는

: $y'=y^{\frac 2 3},\qquad y(0)=0$

: $\int \frac{y'}{y^{\frac 2 3}}\,dt = \int y^{-\frac 2 3}\,dy =\int 1\,dt$

: $3 (y(t))^{\frac 1 3}=t+B$

초기 조건을 적용하면 $B=0$ 이 되므로 해는 다음과 같다.

: $y(t)= \frac {t^3} {27}$ .

하지만 다음 함수도 초기값 문제의 해이다.

: $f(t) = \left\{ \begin{array}{lll} \frac{(t-t_1)^3}{27} & \text{if} & t \leq t_1 \\ 0 & \text{if} & t_1 \leq x \leq t_2 \\ \frac{(t-t_2)^3}{27} & \text{if} & t_2 \leq t \\ \end{array} \right.$

이 함수는 모든 곳에서 미분 가능하고 연속이며, 미분 방정식과 초기값 문제를 모두 만족한다. 따라서, 이는 무한히 많은 해를 갖는 그러한 문제의 예시이다.

4. 1. 예제 1

미분 방정식

y' = 0.85y

와 초기 조건

y(0) = 19

를 만족하는 해를 구하는 예시이다.

먼저,

y' = \frac{dy}{dt}

로 놓고 식을 변형하면 다음과 같다.

:

\frac{dy}{dt} = 0.85y

y

를 좌변으로,

t

를 우변으로 정리한다.

:

\frac{dy}{y} = 0.85dt

양변을 적분하면 다음과 같다. (

B

는 적분 상수)

:

\ln|y| = 0.85t + B

로그를 제거하면 다음과 같다.

:

|y| = e^B e^{0.85t}

C = \pm e^B

로 정의하면,

:

y = Ce^{0.85t}

이제

C

의 값을 구하기 위해 초기 조건

y(0) = 19

를 대입한다.

:

19 = Ce^{0.85 \cdot 0}

:

C = 19

따라서 최종적인 해는

y(t) = 19e^{0.85t}

이다.

4. 2. 예제 2

미분 방정식

y' + 3y = 6t + 5

와 초기 조건

y(0) = 3

을 만족하는 해는

y(t) = 2e^{-3t} + 2t + 1

이다. 이 해는 다음과 같이 유도할 수 있다.

먼저 주어진 미분 방정식을 라플라스 변환하면 다음과 같다.

:

sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \frac{6}{s^2} + \frac{5}{s}

:

\therefore Y(s) = \frac{y(0)s^2 + 5s + 6}{s^{2}(s+3)}

여기에 부분 분수 분해를 적용하면

:

Y(s) = \frac{\alpha}{s} + \frac{\beta}{s^2} +\frac{\gamma}{s+3}

:

Y(s) = \frac{(\alpha+\gamma)s^2+(3\alpha+\beta)s+3\beta}{s^{2}(s+3)}

:

\alpha=1,\beta=2,\gamma=y(0)-1

이므로

:

Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2} +\frac{y(0)-1}{s+3},\qquad y(0)=3

와 같이 전개된다. 이제 역 라플라스 변환을 수행하면 해

:

y(t)=2e^{-3t}+2t+1 \,

를 얻는다. 이 해는 다음을 만족한다.

:

\begin{align}y'+3y &= \frac{d}{dt} (2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\&= (-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\&= 6t+5.\end{align}

4. 3. 예제 3: 해가 유일하지 않은 경우

미분 방정식

y' = y^{\frac{2}{3}}

와 초기 조건

y(0) = 0

을 만족하는 해는

y(t) = \frac{t^3}{27}

외에도 무한히 많다. 이는

f(t, y) = y^{\frac{2}{3}}

가

y = 0

에서 립시츠 조건을 만족하지 않기 때문이다.

다음 함수는 초기값 문제의 또 다른 해이다.

f(t) = \left\{ \begin{array}{lll} \frac{(t-t_1)^3}{27} & \text{if} & t \leq t_1 \\ 0    & \text{if} & t_1 \leq x \leq t_2 \\ \frac{(t-t_2)^3}{27} & \text{if} & t_2 \leq t \\ \end{array} \right.

이 함수는 모든 곳에서 미분 가능하고 연속이며, 미분 방정식과 초기값 문제를 모두 만족한다.

5. 해법

5. 1. 해석적 해법

5. 2. 수치적 해법

6. 응용

6. 1. 물리학

6. 2. 공학

6. 3. 생물학

6. 4. 경제학

6. 5. 인공지능과 머신러닝

7. 한국의 관점

참조

_[1] 서적 Theory of ordinary differential equations McGraw-Hill Book Company, Inc.
_[2] 서적 Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors Cambridge University Press

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