적분인자

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1. 개요
2. 정의 및 활용
3. 카라테오도리의 정리
- 3.1. 카라테오도리의 정리의 동치 조건
- 3.2. 카라테오도리의 정리와 열역학 제2법칙
참조

1. 개요

적분 인자는 적분을 용이하게 하기 위해 미분 방정식에 곱해지는 식을 의미한다. 1차 선형 상미분 방정식의 경우, 적분 인자는 e^{\int P(x) \, dx}이며, 2차 및 n차 선형 상미분 방정식에도 적용될 수 있다. 카라테오도리의 정리는 1-형식 ψ의 적분 인자의 존재에 대한 조건을 제시하며, 열역학 제2법칙의 공식화에 활용되었다.

2. 정의 및 활용

적분 인자는 미분 방정식에 곱해져 적분을 용이하게 만드는 함수이다.^[1] 예를 들어, 다음과 같은 비선형 2차 방정식이 있다.

: $\frac{d^2 y}{d t^2} = A y^{2/3}$

이 방정식은 $\frac{d y}{d t}$ 를 적분 인자로 허용한다.

: $\frac{d^2 y}{d t^2} \frac{d y}{d t} = A y^{2/3} \frac{d y}{d t}.$

연쇄 법칙을 이용하면 방정식의 양변을 다음과 같이 미분 형태로 표현할 수 있다.

: $\frac{d}{d t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right) = \frac{d}{d t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right).$

따라서,

: $\left(\frac{d y}{d t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0.$

여기서 $C_0$ 는 상수이다.

이 식은 변수 분리를 통해 다음과 같이 음함수 해로 나타낼 수 있다.

: $\int_{y(0)}^{y(t)} \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t$

이는 비초등 적분을 포함하며, 진자의 주기를 구하는 데에도 활용된다.

1차 선형 상미분 방정식과 2차 선형 상미분 방정식의 경우, 특정한 형태의 적분 인자를 사용하여 해를 구할 수 있다. 하지만, 3차 이상의 고차 방정식에서는 적분 인자를 적용하기 위한 방정식 형태가 매우 구체적이 되므로 덜 유용하다.

2. 1. 1차 선형 상미분 방정식

1차 선형 상미분 방정식은 적분인자를 사용하여 해를 구할 수 있다. 적분인자는 미분 방정식의 양변에 곱하여 좌변을 특정한 함수의 도함수 형태로 만들어 적분을 용이하게 하는 함수이다.

일반적인 1차 선형 상미분 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

:

y'+ P(x)y = Q(x)

이 방정식을 풀기 위해, 적분 인자

M(x)

를 사용한다.

M(x)

는 다음과 같이 정의된다.

:

M(x) = e^{\int P(x) \, dx}

M(x)

를 원래 방정식에 곱하면 좌변은

(M(x)y)'

형태로 변환되어 적분이 가능해진다. 즉,

:

M(x)y' + P(x)  M(x)y =  M(x)y' +  M'(x)y = \frac{d}{dx}( M(x)y)

가 되고, 이를 통해 방정식을 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:

\frac{d}{dx}\left( M(x)y\right) = Q(x) M(x)

양변을

x

에 대해 적분하면,

:

e^{\int P(x) \, dx}y = \left( \int Q(x)  e^{\int P(x) \, dx} \,dx \right)+ C

여기서

C

는 상수이다.

따라서 일반 해는 다음과 같다.

:

y  = e^{-\int P(x) \, dx}\left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \,dx \right)+ Ce^{- \int P(x) \, dx}

동차 미분 방정식의 경우, 즉

Q(x) = 0

인 경우 일반 해는 다음과 같이 더 간단해진다.

:

y = Ce^{- \int P(x) \, dx}

적분 과정에서 임의의 상수를 포함하거나,

P(x)

의 적분이 로그를 포함하는 경우 절댓값을 굳이 포함할 필요는 없다. 이는 방정식을 풀기 위해 하나의 적분 인자만 필요하며, 상수나 절댓값은 서로 상쇄되기 때문이다.

2. 1. 1. 예시

Example^영어

:

y'-\frac{2y}{x} = 0.

이 경우

P(x) = \frac{-2}{x}

임을 알 수 있다.

:

M(x)=e^{\int_1^x P(x) dx}

:

M(x)=e^{\int_1^x \frac{-2}{x}\,dx} = e^{-2 \ln x} = {\left(e^{\ln x}\right)}^{-2} = x^{-2}

:

M(x)=\frac{1}{x^2}.

양변에

M(x)

를 곱하면

:

\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0

위의 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\frac{d (x^{-2}y)}{dx} = 0

x에 대해 양변을 적분하면

:

x^{-2}y = C

또는

:

y = Cx^2

여기서 ''C''는 상수이다.

2. 2. 2차 선형 상미분 방정식

1차 선형 미분 방정식에 대한 적분 인자 방법은 2차 방정식으로도 자연스럽게 확장될 수 있다. 1차 방정식을 풀 때, 적분 인자

M(x)

를 찾아

y'+p(x)y=h(x)

에 곱하여

(M(x)y)'=M(x)h(x)

를 얻고, 적분 후

M(x)

로 나누어

y

를 구했다. 2차 선형 미분 방정식의 경우,

M(x)=e^{\int p(x)\,dx}

가 적분 인자로 작동하게 하려면,

:

(M(x)y)''=M(x)\left(y'' + 2p(x)y' + \left(p(x)^2+p'(x)\right) y \right)=M(x)h(x)

와 같은 형태여야 한다. 즉, 2차 방정식이

y'' + 2p(x)y' + \left(p(x)^2+p'(x)\right) y=h(x)

형태여야 적분 인자를 사용할 수 있다.^[1]

2. 2. 1. 예시

Integrating factor^영어를 이용한 미분방정식의 풀이 예시는 다음과 같다.

:

y''+2xy'+\left(x^2+1\right)y=0

위 식은 적분 인자를 사용하여 정확하게 풀 수 있다. 적절한

p(x)

는

y'

항을 검토하여 추론할 수 있다. 이 경우,

2p(x)=2x

이므로,

p(x)=x

이다.

y

항을 검토하면,

p(x)^2+p'(x)=x^2+1

임을 알 수 있으므로, 모든 항에 적분 인자

{{llang|en|e|e}^{\int x \, dx} = {{llang|en|e|e}^{x^2/2}

를 곱한다. 그러면 다음을 얻는다.

:

{{llang|en|e|e}^{x^2/2}y''+2{{llang|en|e|e}^{x^2/2}p(x)y'+{{llang|en|e|e}^{x^2/2}\left(p(x)^2+p'(x)\right)y=0

이는 재정렬하여 다음을 얻을 수 있다.

:

\left({{llang|en|e|e}^{x^2/2}y\right)''=0

두 번 적분하면 다음을 얻는다.

:

{{llang|en|e|e}^{x^2/2}y=c_1x+c_2

Integrating factor^영어로 나누면 다음을 얻는다.

:

y=\frac{c_1x+c_2}{e}^{x^2/2}/e

^영어

2차 적분 인자의 적용은 다음과 같은 미분 방정식을 포함한다.

:

y''+2\cot(x)y'-y=1

y'

앞에

2p(x)

항이 있지만,

y

앞에

p(x)^2+p'(x)

항이 없다. 하지만,

:

p(x)^2+p'(x)=\cot^2(x)-\csc^2(x)

그리고 코탄젠트와 코시컨트를 관련시키는 피타고라스 항등식으로부터,

:

\cot^2(x)-\csc^2(x)=-1

따라서

y

앞에 필요한 항이 있으므로 적분 인자를 사용할 수 있다.

:

{{llang|en|e|e}^{\int \cot(x)\,dx}={{llang|en|e|e}^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)

각 항에

\sin(x)

를 곱하면 다음과 같다.

:

\sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)

재배열하면 다음과 같다.

:

(\sin(x)y)''=\sin(x)

두 번 적분하면 다음과 같다.

:

\sin(x)y=-\sin(x)+c_1x+c_2

마지막으로 적분 인자로 나누면 다음과 같다.

:

y=c_1x\csc(x)+c_2\csc(x)-1

2. 3. n차 선형 상미분 방정식

적분 인자는 임의의 차수로 확장될 수 있지만, 이를 적용하기 위해 필요한 방정식 형태는 차수가 증가함에 따라 더욱 구체화되어 고차 방정식에서는 덜 유용하게 된다. 일반적인 방법은

n

차 미분 방정식에 대해 함수

M(x)y

를

n

번 미분하고 동류항을 결합하는 것이다. 그러면 다음과 같은 형태의 방정식이 만들어진다.

:

M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots,y^{(n)}\right)

만약

n

차 방정식이

n

번 미분 후에 얻은 형태

F\!\left(y,y',y'',\ldots,y^{(n)}\right)

과 일치한다면, 모든 항에 적분 인자를 곱하고

h(x)M(x)

를

n

번 적분한 다음 양변을 적분 인자로 나누어 최종 결과를 얻을 수 있다.

2. 3. 1. 예시

다음 미분방정식에서

:

y''' + 3x^2y'' + \left(3x^4+6x\right)y' + \left(x^6+6x^3+2\right)y = 0

p(x)=x^2

이므로, 적분인자는

e^{x^3/3}

이다. 재정렬하면

:

\left(e^{x^3/3}y\right)'''=0

세 번 적분하고 적분인자로 나누면

:

y=\frac{c_1x^2+c_2x+c_3}{e^{x^3/3}}

3. 카라테오도리의 정리

다양체 $M$ 의 영역 $U$ 에서 정의된 1-형식 $\psi$ 에 대해, $\psi = f \, dg$ 를 만족하는 함수 $f$ , $g$ (단, $f \neq 0$ )가 존재할 때, $1/f$ 를 $\psi$ 의 적분 인자라고 부른다.^[7]^[6]^[3] 카라테오도리의 정리는 1-형식 $\psi$ 의 적분 인자 존재에 관한 동치 조건을 제시한다.^[3]

3. 1. 카라테오도리의 정리의 동치 조건

Carathéodory^영어의 정리에서 다음 세 명제는 동치이다.^[3]

1. ''M''의 임의의 점 ''x''에 대해, 점 ''x''의 근방 ''V''가 존재하고, ''V'' 내의 임의의 ''x''의 근방 ''W''에, 구분적으로 ''C''^∞-급 곡선 γ가 있고,

\dot{\gamma}

가 정의되는 모든 점에서 ψ{

\dot{\gamma}

(t)} = 0을 만족하는 곡선 γ에 의해 점 ''x''와 연결되지 않는 점 ''y'' ∈ ''W''가 존재한다.

2. ψ ∧ dψ = 0

3. 임의의 점 ''x'' ∈ ''M''에 어떤 근방 ''V''가 존재하며, ψ의 ''V''로의 제한은 적분인자를 가진다.

이 정리는 1909년에 콘스탄틴 카라테오도리가 열역학 제2법칙을 공식화하기 위해 도입하였다.^[4]^[5] ψ가 닫힌 형식(dψ = 0)이면 푸앵카레 보조 정리에 의해 적분 인자 1이 존재한다.^[2] n ≤ 2일 때 카라테오도리의 정리에 의해 모든 1-형식에 대해 적분 인자가 존재함이 보장된다(이는 요한 프리드리히 파프가 처음 제시하였다).^[7]^[6]

3. 2. 카라테오도리의 정리와 열역학 제2법칙

카라테오도리의 정리는 1909년에 콘스탄틴 카라테오도리에 의해 열역학 제2법칙의 공식화를 위해 도입되었다^[4]^[5] . 1-형식 ψ가 닫힌 형식(즉, dψ = 0이 성립하는 것)이면 푸앵카레 보조 정리에 의해 적분 인자 1이 존재한다^[2] . 또한 n ≤ 2 일 때, 카라테오도리의 정리에 의해 모든 1-형식에 대해 적분 인자의 존재가 보장된다(이는 요한 프리드리히 파프에 의해 처음 제시되었다)^[7]^[6] .

참조

_[1] 서적 ゼロからの熱力学と統計力学岩波書店
_[2] 서적 Geometry, Topology and Physics CRC Press 2003
_[3] 논문 Carathéodory's principle and the existence of global integrating factors https://projecteucli[...]
_[4] 논문 Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik http://neo-classical[...]
_[5] 논문 Proof of Carathéodory's Local Theorem and Its Global Application to Thermostatics
_[6] 논문
_[7] 논문 Thermodynamics of Gyula Farkas - A new (old) approach to entropy https://pp.bme.hu/ch[...] 2000

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