정언명제

3. 명제의 양과 질

정언 명제는 질과 양에 따라 네 가지 유형으로 분류된다. 여기서 '질'은 명제가 주어가 술어 집합에 포함되는지 여부를 나타내며, '양'은 명제에 사용되는 대상 집합의 구성원 수를 나타낸다.

• 질: 긍정과 부정 두 가지가 있다.
• 긍정: 주어가 술어에 포함된다고 진술한다. (예: A 명제 - "모든 S는 P이다")
• 부정: 주어가 술어에서 제외된다고 진술한다. (예: O 명제 - "어떤 S는 P가 아니다")
• 양: 전칭과 특칭 두 가지가 있다.
• 전칭: 명제가 대상 집합의 모든 구성원을 지칭한다.
• 특칭: 명제가 대상 집합의 일부 구성원만을 지칭한다. (예: I 명제 - "어떤 S는 P이다")

여기서 '어떤'은 논리학에서 "하나 이상"을 의미하며, 이는 "모든"과 일치할 수도 있다. 따라서 "어떤 S는 P이다"라는 진술이 "어떤 S는 P가 아니다"라는 진술 또한 참임을 보장하지는 않는다.

3. 1. 표준 정언 명제

한편 이러한 표준 정언 명제는 벤 다이어그램 같은 다른 논리 기호로도 그 영역을 확인할 수 있다. 또한 명제의 양과 질은 명제의 형식과 명사의 위치 및 개수와 함께 추론형식의 오류를 검증하는 핵심 성분이다.

3. 2. 주어와 술어의 분배 (Distributivity)

• A-명제 (모든 S는 P이다): 주어는 분배되지만, 술어는 분배되지 않는다. 예를 들어, "모든 개는 포유류이다"라는 명제에서 모든 개는 포유류에 속하지만, 모든 포유류가 개인 것은 아니므로, 주어인 '개'는 분배되고 술어인 '포유류'는 분배되지 않는다.

• E-명제 (어떤 S도 P가 아니다): 주어와 술어 모두 분배된다. 예를 들어, "어떤 딱정벌레도 포유류가 아니다"라는 명제에서 모든 딱정벌레는 포유류가 아니고, 모든 포유류는 딱정벌레가 아니므로, 주어와 술어 모두 분배된다.

• I-명제 (어떤 S는 P이다): 주어와 술어 모두 분배되지 않는다. 예를 들어, "어떤 미국인은 보수주의자이다"라는 명제에서 모든 미국인이 보수주의자인 것도 아니고, 모든 보수주의자가 미국인인 것도 아니므로, 주어와 술어 모두 분배되지 않는다.

• O-명제 (어떤 S는 P가 아니다): 술어만 분배된다. 예를 들어, "일부 정치인은 부패하지 않았다"라는 명제에서 주어인 '일부 정치인'은 모든 정치인을 지칭하지 않으므로 분배되지 않는다. 반면, 술어인 '부패하지 않은 사람들'은 '부패한 사람들' 집단의 모든 구성원이 '일부 정치인'과 일치하지 않음을 의미하므로 분배된다. 즉, "모든 부패한 사람은 일부 정치인이 아니다"라는 의미가 된다.

피터 게치 등은 분배 개념을 사용하여 논증의 타당성을 판단하는 것에 대해 비판적인 입장을 제시했다.^[5][6]

4. 정언 명제의 변환

정언 명제는 대우, 이환, 반대 등의 연산을 통해 다른 명제로 변환될 수 있다. 이러한 연산으로 새로운 명제가 원래 명제와 같을 수도, 그렇지 않을 수도 있다.

일부 연산에는 '계층 보완' 개념이 필요한데, 이는 고려 대상 모든 요소가 해당 계층의 요소가 *아닌* 것을 의미한다. 계층 보완은 집합 보수와 매우 유사하다. 집합 P의 계층 보완은 "비-P"라고 한다.

4. 1. 대우 (Conversion)

4. 2. 이환 (Obversion)

4. 3. 반대 (Contraposition)

5. 표준 형식으로의 번역

자연어 문장은 표준 형식으로 번역될 수 있다. 다음 표는 각 행에서 'S'는 문장의 주어에 해당하고, 'P'는 술어에 해당하는 표준 형식의 예시를 보여준다.

"모든 ''S''는 ''P''가 아니다"와 같은 문장은 자연어로 번역했을 때 의미가 모호해지기 때문에 표준 형식으로 분류되지 않는다. 예를 들어, "모든 고양이는 여덟 다리를 가지고 있지 않다"라는 문장은 일상 대화에서 다음 두 가지 의미로 해석될 수 있다.

# 적어도 몇몇 고양이는, 아마도 모든 고양이가 여덟 다리를 가지고 있지 않다.

# 어떤 고양이도 여덟 다리를 가지고 있지 않다.

6. 일차 논리에서의 정언 명제

일차 논리는 정언 명제보다 표현력이 풍부한 논리 체계이다. 일차 논리에서 정언 명제의 4가지 형식은 다음과 같이 표현된다.

• ''A'' 형식: $\backslash forall\; x\; [S\_x\; \backslash rightarrow\; P\_x]\; \backslash equiv\; \backslash forall\; x\; [\backslash neg\; S\_x\; \backslash lor\; P\_x]$
• ''E'' 형식: $\backslash forall\; x\; [S\_x\; \backslash rightarrow\; \backslash neg\; P\_x]\; \backslash equiv\; \backslash forall\; x\; [\backslash neg\; S\_x\; \backslash lor\; \backslash neg\; P\_x]$
• ''I'' 형식: $\backslash exists\; x\; [S\_x\; \backslash land\; P\_x]$
• ''O'' 형식: $\backslash exists\; x\; [S\_x\; \backslash land\; \backslash neg\; P\_x]$

참조

_[1] 서적 Logic: An Introduction St. Martin's Press
_[2] 서적 Logic: An Introduction St. Martin's Press
_[3] 웹사이트 Dictionary http://www.philosoph[...] 2021-08-25
_[4] 서적 Introduction to Logic Prentice-Hall
_[5] 간행물 Medieval Theories of the Syllogism http://plato.stanfor[...] 2010-12-10
_[6] 논문 The Irrelevance of Distribution for the Syllogism 1994-Summer
_[7] 간행물 The Traditional Square of Opposition http://plato.stanfor[...] 2010-12-10
_[8] 서적 Logic and Philosophy: A Modern Introduction http://www.cengagebr[...] Thomson Wadsworth/Cengage learning 2013-02-26
_[9] 서적 "論理と集合から始める数学の基礎"
_[10] 서적 "論理と集合から始める数学の基礎"
_[11] 서적 記号論理学