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제어 가능성

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목차

1. 개요

제어 가능성은 선형 시스템의 내부 상태를 외부 입력을 통해 임의의 초기 상태에서 임의의 최종 상태로 유한 시간 내에 이동시킬 수 있는 능력을 의미한다. 선형 시불변 시스템의 경우 제어 가능성 행렬의 랭크를 통해 제어 가능성을 판별할 수 있으며, 제어 가능 표준형을 통해 시스템을 표현할 수 있다. 비선형 시스템의 경우 접근성 분포를 사용하여 국소적인 제어 가능성을 평가하며, 출력 제어 가능성은 시스템의 출력을 원하는 목표 출력으로 이동시킬 수 있는지 여부를 나타낸다. 안정화 가능성은 제어 불가능한 상태 변수가 안정적인 동역학을 갖도록 하는 약한 개념이며, 도달 가능 집합은 주어진 초기 상태에서 특정 시간 내에 도달할 수 있는 모든 상태의 집합을 의미한다. 행동 시스템 이론에서는 시스템의 과거와 미래의 연결을 통해 제어 가능성을 정의하며, 입력 제약 조건 하에서는 가달성성 및 생존 가능성 이론을 통해 제어 가능성을 연구한다.

2. 선형 시스템의 제어 가능성

선형 시스템에서 '''제어 가능성'''(controllabilityeng)은 외부 입력(제어 변수)을 사용하여 시스템의 내부 상태를 유한한 시간 안에 임의의 초기 상태에서 원하는 임의의 최종 상태로 옮길 수 있는 능력을 의미한다.[1]

결정적 시스템의 상태는 특정 시점에서 시스템을 완전히 설명하는 모든 상태 변수들의 값 집합이다. 만약 현재 상태와 현재 및 미래의 제어 입력값이 알려져 있다면, 시스템의 미래 상태를 예측하는 데 과거 정보는 필요하지 않다. 이런 맥락에서 제어 가능성은 다음과 같이 이해할 수 있다. 어떤 초기 상태 \mathbf{x_0}와 어떤 최종 상태 \mathbf{x_f}가 주어졌을 때, 유한한 시간 안에 시스템 상태를 \mathbf{x_0}에서 \mathbf{x_f}로 이동시키는 입력 \mathbf{u}(t)가 존재한다면, 그 시스템은 제어 가능하다고 말한다.

예를 들어, 상태 공간 표현 \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)으로 모델링된 연속 선형 시불변 시스템(LTI)의 경우, 행렬 \mathbf{A}와 \mathbf{B}가 시스템의 동적 특성을 결정한다. 제어 가능성은 입력 \mathbf{u}(t)를 통해 상태 벡터 \mathbf{x}가 상태 공간 전체를 충분히 탐색할 수 있는지와 관련된다. 만약 입력 행렬 \mathbf{B}와 상태 행렬 \mathbf{A}의 조합으로 생성되는 벡터들이 상태 공간 전체를 아우르지 못한다면(즉, 특정 방향으로 상태를 움직일 수 없다면), 시스템은 제어 가능하지 않다.

제어 가능성은 몇 가지 중요한 점을 내포한다.


  • 제어 가능성은 시스템 상태를 원하는 상태로 도달시킬 수 있다는 의미이지, 그 상태를 계속 유지할 수 있다는 의미는 아니다. 상태 유지를 위해서는 별도의 안정성 조건이 필요할 수 있다.
  • 제어 가능성은 초기 상태와 최종 상태 사이에 경로가 존재한다는 의미이지, 상태 공간 내에서 임의의 원하는 경로를 따라 움직일 수 있다는 의미는 아니다.


선형 시스템의 제어 가능성을 판별하는 구체적인 방법으로는 시스템의 종류(예: 시불변 또는 시변, 연속 또는 이산)에 따라 다양한 수학적 판별법이 존재한다. 이러한 판별법들은 시스템 행렬(\mathbf{A}, \mathbf{B})로부터 계산된 특정 행렬의 성질을 분석하여 제어 가능 여부를 판단한다.

2. 1. 선형 시불변 시스템의 제어 가능성 판별

선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant system, LTI)의 제어 가능성은 특정 행렬을 통해 판별할 수 있다. 먼저, 시스템의 상태 변수 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

: \dot{\mathbf x} (t) = \mathbf A \mathbf x(t) + \mathbf B u(t)

: y (t) = \mathbf C \mathbf x(t) + D u(t)

여기서 \mathbf{x}(t)는 상태 벡터, u(t)는 입력 벡터, \mathbf{A}와 \mathbf{B}는 시스템을 나타내는 행렬이다.

이러한 시스템의 제어 가능성을 판별하기 위해 '''제어 가능성 행렬(controllability matrix)''' \mathbf{M}_C (또는 \mathcal{C}, R로 표기하기도 함)을 다음과 같이 정의한다.

: \mathbf M_C = \begin{bmatrix} \mathbf B & \mathbf A \mathbf B & \mathbf A^2 \mathbf B & \cdots & \mathbf A^{n-1} \mathbf B \end{bmatrix}

여기서 n은 시스템의 차수(상태 벡터 \mathbf{x}(t)의 차원)이다.

이 제어 가능성 행렬 \mathbf{M}_C의 역행렬이 존재하면 해당 시스템은 제어 가능하다고 판별할 수 있다. 즉, 유한한 시간 안에 입력을 조절하여 시스템의 상태를 임의의 초기 상태에서 원하는 임의의 최종 상태로 옮길 수 있음을 의미한다.[1] 제어 가능성 행렬의 랭크를 이용한 판별 조건(칼만 순위 조건)도 널리 사용된다.

2. 1. 1. 칼만 순위 조건

선형 시불변 시스템(LTI)의 상태 변수 방정식은 다음과 같다.

: \dot{\mathbf x} (t) = \mathbf A \mathbf x(t) + \mathbf B u(t)

: y (t) = \mathbf C \mathbf x(t) + D u(t)

여기서 \mathbf{x}(t)는 상태 벡터, u(t)는 입력 벡터, y(t)는 출력 벡터이며, \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, D는 시스템을 나타내는 행렬이다.

이러한 LTI 시스템의 제어 가능성은 칼만 순위 조건을 통해 판별할 수 있다. 이를 위해 먼저 제어 가능성 행렬(controllability matrix) \mathbf{M}_C를 다음과 같이 정의한다.

: \mathbf M_C \equiv \begin{bmatrix} \mathbf B & \mathbf A \mathbf B & \mathbf A^2 \mathbf B & \cdots & \mathbf A^{n-1} \mathbf B \end{bmatrix}

여기서 n은 시스템의 차수(상태 벡터 \mathbf{x}(t)의 차원)이다.

칼만 순위 조건에 따르면, 제어 가능성 행렬 \mathbf{M}_C의 랭크(rank)가 시스템의 차수 n과 같으면 (\operatorname{rank}(\mathbf{M}_C) = n) 해당 시스템은 제어 가능(controllable)하다. 즉, 적절한 입력을 통해 유한한 시간 안에 시스템의 상태를 원하는 어떤 상태로든 변화시킬 수 있음을 의미한다.

시간에 따라 시스템 행렬이 변하는 선형 시변 시스템(linear time-variant system)의 경우, 제어 가능성 판별이 더 복잡하다. 구간 [t_0, t]에서 매끄럽게 변하는 연속 시간 선형 시스템 \Sigma를 고려해보자.

:\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

:\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

이 시스템의 제어 가능성을 판별하는 한 가지 방법은 상태 전이 행렬 \phi(t_0, t)를 이용하는 것이다. n \times m 행렬 값 함수 M_0(t) = \phi(t_0, t)B(t)를 정의하고, 이를 반복적으로 미분하여 M_k(t) = \frac{d^k M_0}{dt^k}(t) (k \ge 1)를 구한다. 그리고 이 행렬들을 가로로 이어 붙인 행렬 M^{(k)}(t) = \begin{bmatrix} M_0(t) & M_1(t) & \cdots & M_k(t) \end{bmatrix}를 정의한다. 만약 어떤 시점 \bar{t} \in [t_0, t]와 음이 아닌 정수 k에 대해 \operatorname{rank}(M^{(k)}(\bar{t})) = n이 성립하면, 시스템 \Sigma는 제어 가능하다.[4] 시스템 행렬이 해석적으로 변하는 특별한 경우에는, 이 조건이 만족되면 [t_0, t] 내의 모든 비자명한 부분 구간에서도 제어 가능함이 보장된다.[4]

상태 전이 행렬 계산의 복잡성을 피하는 또 다른 동등한 조건도 있다. B_0(t) = B(t)로 두고, 각 i \ge 0에 대해 다음과 같이 B_{i+1}(t)를 순차적으로 계산한다.

:B_{i+1}(t) = A(t)B_i(t) - \frac{d}{dt}B_i(t)

이렇게 계산된 행렬들을 이용해 \begin{bmatrix} B_0(t) & B_1(t) & \cdots & B_k(t) \end{bmatrix} 행렬을 만든다. 만약 어떤 시점 \bar{t} \in [t_0, t]와 음이 아닌 정수 k에 대해 이 행렬의 랭크가 n이면 (\operatorname{rank}(\begin{bmatrix} B_0(\bar{t}) & B_1(\bar{t}) & \cdots & B_k(\bar{t}) \end{bmatrix}) = n), 시스템은 제어 가능하다.[4] 이 방법은 상태 전이 행렬 없이 주어진 시스템 행렬 A(t)와 B(t)만으로 제어 가능성을 판별할 수 있다는 장점이 있다.

2. 2. 제어 가능 표준형

어떤 시스템이 다음과 같은 미분방정식으로 나타내어진다고 할 때,

: {d^n y(t) \over dt^n} + a_{n-1} {d^{n-1} y(t) \over dt^{n-1}} + \cdots + a_1 {d y(t) \over dt} + a_0 y(t) = b_{n-1} {d^{n-1} u(t) \over dt^{n-1}} + b_{n-2} {d^{n-2} u(t) \over dt^{n-2}} + \cdots + b_1 {d u(t) \over dt} + b_0 u(t)

이 시스템이 제어 가능하다면 다음과 같은 형태로 상태 변수 방정식을 쓸 수 있다.

: {\dot \mathbf x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix} {\mathbf x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} u

: y = \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & \cdots & b_{n-2} & b_{n-1} \end{bmatrix} {\mathbf x}

이러한 형태의 상태 변수 방정식을 '''제어 가능 표준형'''(controllable canonical formeng)이라고 한다. 이 형태는 시스템의 특성 다항식 계수(a_i)가 상태 행렬의 마지막 행에 직접적으로 나타나며, 입력 행렬은 마지막 요소만 1이고 나머지는 0인 단순한 형태를 가진다. 출력 행렬은 시스템의 전달 함수의 분자 계수(b_i)로 구성된다. 제어 가능 표준형은 제어기 설계, 특히 극점 배치 기법 등에 유용하게 활용된다.

2. 3. 연속 선형 시스템

다음과 같은 연속 선형 시스템을 고려해 보자.[2]

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

: \mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t).

여기서 \mathbf{x}(t)는 시스템의 상태 벡터, \mathbf{u}(t)는 입력 벡터, \mathbf{y}(t)는 출력 벡터이며, A(t), B(t), C(t), D(t)는 시간에 따라 변할 수 있는 행렬이다.

이 시스템에서 시간 t_0에서의 초기 상태 x_0를 시간 t_1 > t_0에서의 최종 상태 x_1으로 옮길 수 있는 제어 입력 \mathbf{u}(t)가 존재하는지 판별하기 위해 제어 가능성 그래미안(Controllability Gramian) W(t_0,t_1)을 사용한다. 제어 가능성 그래미안은 다음과 같이 정의된다.

: W(t_0,t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \phi(t_0,t)B(t)B(t)^{T}\phi(t_0,t)^{T} dt

여기서 \phi(t_0,t)는 시스템의 상태 천이 행렬이다. 시스템이 x_0에서 x_1으로 제어 가능하려면, 벡터 x_1 - \phi(t_0,t_1)x_0가 제어 가능성 그래미안 W(t_0,t_1)의 열 공간 안에 존재해야 한다. 만약 이 조건을 만족하는 벡터 \eta_0 (즉, W(t_0,t_1)\eta_0 = x_1 - \phi(t_0,t_1)x_0를 만족하는 \eta_0)가 존재한다면, u(t) = -B(t)^{T}\phi(t_0,t)^{T}\eta_0와 같은 제어 입력을 통해 원하는 상태 전이를 달성할 수 있다.

제어 가능성 그래미안 W(t_0,t_1)은 다음과 같은 중요한 속성을 가진다.

  • 대칭 행렬이다.
  • t_1 \geq t_0일 때 반 양의 정부호 행렬이다. 즉, 모든 벡터 z에 대해 z^T W(t_0,t_1) z \geq 0이다. 시스템이 제어 가능하려면 그래미안이 양의 정부호 행렬이어야 한다 (즉, z \neq 0일 때 z^T W(t_0,t_1) z > 0).
  • 다음의 선형 행렬 미분 방정식을 만족한다.

:: \frac{d}{dt}W(t,t_1) = A(t)W(t,t_1)+W(t,t_1)A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T}, \; W(t_1,t_1) = 0

  • 다음 관계식을 만족한다.

:: W(t_0,t_1) = W(t_0,t) + \phi(t_0,t)W(t,t_1)\phi(t_0,t)^{T}[3]

제어 가능성 그래미안을 계산하는 것은 상태 천이 행렬 \phi를 알아야 하므로 복잡할 수 있다. 따라서 다른 판별 방법들이 존재한다.

한 가지 방법은 행렬 M_0(t) = \phi(t_0,t)B(t)와 이 행렬의 시간에 대한 도함수 M_k(t) = \frac{\mathrm{d^k} M_0}{\mathrm{d} t^k}(t)들을 이용하여 판별하는 것이다. 행렬 M^{(k)}(t) = \begin{bmatrix} M_0(t) & M_1(t) & \cdots & M_k(t) \end{bmatrix}를 정의했을 때, 어떤 시간 \bar{t} \in [t_0,t]와 음이 아닌 정수 k에 대해 \operatorname{rank}M^{(k)}(\bar{t})=n (여기서 n은 시스템 상태 벡터의 차원)이면 시스템은 제어 가능하다.[4] 만약 시스템 행렬 A(t), B(t)가 해석적으로 변한다면, 이 조건은 시스템이 [t_0,t] 내의 모든 비자명한 부분 구간에서 제어 가능할 필요충분조건이다.[4]

상태 전이 행렬 \phi를 직접 계산하지 않는 또 다른 동등한 조건도 있다. B_0(t) = B(t)로 정의하고, i \geq 0에 대해 다음과 같이 행렬 시퀀스를 정의한다.

: B_{i+1}(t) = A(t)B_i(t) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}B_i(t)

이 B_i(t) 행렬들은 시스템 데이터 A(t), B(t)로부터 직접 계산할 수 있다. 어떤 시간 \bar{t} \in [t_0,t]와 음이 아닌 정수 k에 대해 행렬 \begin{bmatrix} B_0(\bar{t}) & B_1(\bar{t}) & \cdots & B_k(\bar{t}) \end{bmatrix}의 계수가 n이면 (즉, \operatorname{rank} = n), 시스템은 제어 가능하다.[4]

2. 4. 이산 선형 시스템

이산 시간 선형 상태 공간 시스템(시간 변수 k \in \mathbb{Z})의 상태 방정식은 다음과 같다.

:\mathbf{x}(k+1) = A\mathbf{x}(k) + B\mathbf{u}(k)

여기서 A는 n \times n 행렬이고, B는 n \times r 행렬이다 (\mathbf{u}는 r개의 입력을 모은 r \times 1 벡터이다). 이 시스템의 제어 가능성은 n \times nr 크기의 제어 가능성 행렬 \mathcal{C}를 통해 판별할 수 있다.

:\mathcal{C} = \begin{bmatrix}B & AB & A^{2}B & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix}

시스템이 제어 가능하기 위한 필요충분조건은 이 제어 가능성 행렬 \mathcal{C}가 전체 랭크를 가지는 것, 즉 \operatorname{rank}(\mathcal C) = n인 것이다. 다시 말해, 시스템이 제어 가능하다면 \mathcal C는 선형 독립인 n개의 열 벡터를 가진다. \mathcal C의 n개 열이 선형 독립이면, 입력 \mathbf{u}(k)를 적절히 조절하여 시스템의 상태 \mathbf{x}를 n차원 상태 공간 내의 어떤 상태로든 유한한 시간 안에 도달하게 할 수 있다.

이것이 왜 성립하는지 이해하기 위해, 초기 시간 k=0에서의 상태 \mathbf{x}(0)가 주어졌다고 가정하자. 상태 방정식에 따라 상태는 다음과 같이 전개된다.

\mathbf{x}(1) = A\mathbf{x}(0) + B\mathbf{u}(0)

\mathbf{x}(2) = A\mathbf{x}(1) + B\mathbf{u}(1) = A(A\mathbf{x}(0) + B\mathbf{u}(0)) + B\mathbf{u}(1) = A^2\mathbf{x}(0) + AB\mathbf{u}(0) + B\mathbf{u}(1)

...

이 과정을 n 단계까지 반복하면 다음 식을 얻는다.

:\mathbf{x}(n) = A^n\mathbf{x}(0) + A^{n-1}B\mathbf{u}(0) + A^{n-2}B\mathbf{u}(1) + \cdots + B\mathbf{u}(n-1)

이 식을 정리하면 다음과 같다.

:\mathbf{x}(n) - A^n\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix}B & AB & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u}(n-1) \\ \mathbf{u}(n-2) \\ \vdots \\ \mathbf{u}(0) \end{bmatrix}

여기서 \mathbf{x}(n)을 원하는 최종 상태라고 할 때, 이 방정식을 만족하는 입력 시퀀스 [\mathbf{u}(n-1)^T, \mathbf{u}(n-2)^T, \dots, \mathbf{u}(0)^T]^T가 항상 존재하려면 행렬 \begin{bmatrix}B & AB & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix}, 즉 제어 가능성 행렬 \mathcal{C}가 전체 행 랭크(n)를 가져야 한다.

간단한 예로, 시스템 차수 n=2이고 입력 개수 r=1인 경우를 생각해보자. 이때 B와 AB는 2 \times 1 벡터이다. 제어 가능성 행렬은 \mathcal{C} = \begin{bmatrix}B & AB\end{bmatrix}가 된다.

만약 \operatorname{rank}(\mathcal{C}) = 2 (전체 랭크)이면, 두 벡터 B와 AB는 선형 독립이며 2차원 평면 전체를 생성할 수 있다. 반면, \operatorname{rank}(\mathcal{C}) = 1이면, 두 벡터는 같은 직선 위에 있어(공선점) 평면 전체를 생성할 수 없다.

초기 상태를 \mathbf{x}(0) = \mathbf{0}이라고 가정하면 (이는 설명을 간단히 하기 위한 가정이며, 일반성을 잃지 않는다),

  • 시간 k=1에서 도달 가능한 상태: \mathbf{x}(1) = B\mathbf{u}(0). 즉, 벡터 B 방향의 직선 상의 점들이다.
  • 시간 k=2에서 도달 가능한 상태: \mathbf{x}(2) = AB\mathbf{u}(0) + B\mathbf{u}(1). 즉, 벡터 B와 AB의 선형 결합으로 표현되는 모든 점들이다.


만약 시스템이 제어 가능하다면 (\operatorname{rank}(\mathcal{C}) = 2), 두 벡터 B와 AB가 선형 독립이므로, 이들의 선형 결합으로 2차원 평면 상의 어떤 점이든 도달할 수 있다. 즉, 시간 k=2 시점에는 평면 상의 모든 상태에 도달 가능하다.

초기 상태가 0이 아니더라도, 어떤 상태에서 다른 상태로 도달할 수 있는지의 문제는 좌표 이동을 통해 원점에서 특정 상태로 도달할 수 있는지의 문제와 동일하다. 따라서 원점에서 모든 상태로 도달 가능하다면(즉, 제어 가능하다면), 임의의 초기 상태에서 임의의 최종 상태로 시스템을 이동시킬 수 있다.

이 설명은 모든 양의 정수 n에 대해 유효하지만, n=2인 경우가 시각적으로 이해하기 쉽다.

3. 비선형 시스템의 제어 가능성

비선형 시스템의 제어 가능성을 분석하는 것은 선형 시스템보다 일반적으로 더 복잡하다. 선형 시스템과 달리, 비선형 시스템에서는 상태 공간 전체에서의 제어 가능성보다는 특정 상태 주변에서의 국소적 접근 가능성(local accessibility) 개념이 중요하게 다뤄진다.

특정 형태의 비선형 시스템, 예를 들어 제어-아핀(control-affine) 시스템의 경우, 접근성 분포(accessibility distribution)라는 수학적 도구를 사용하여 국소적 접근 가능성을 판별할 수 있다. 이 분포는 시스템의 벡터장과 그들 간의 리 괄호(Lie bracket) 연산을 통해 정의되며, 이 분포의 랭크(rank)가 시스템 상태 공간의 차원과 같으면 국소적으로 접근 가능하다.[5] 접근성 분포에 대한 자세한 정의와 계산 방법은 하위 섹션에서 다룬다.

흥미롭게도, 선형 시스템의 제어 가능성을 판별하는 데 사용되는 제어 가능성 행렬은 이러한 비선형 시스템의 접근성 분포 개념을 선형 시스템이라는 특수한 경우에 적용했을 때 유도될 수 있다. 이는 비선형 시스템의 제어 가능성 이론이 선형 시스템 이론을 포함하는 더 일반적인 분석 틀임을 보여준다.

3. 1. 접근성 분포

제어-아핀(control-affine) 형태를 가지는 비선형 시스템은 다음과 같은 수학적 형태로 표현된다.

\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f(x)} + \sum_{i=1}^m \mathbf{g}_i(\mathbf{x})u_i

여기서 \mathbf{x}는 시스템의 상태 벡터, u_i는 제어 입력, \mathbf{f(x)}와 \mathbf{g}_i(\mathbf{x})는 상태 \mathbf{x}에 의존하는 벡터장이다.

이러한 비선형 시스템의 국소적 접근 가능성(local accessibility)은 접근성 분포(accessibility distribution) R을 통해 판별할 수 있다. 만약 접근성 분포 R이 생성하는 벡터 공간의 차원(랭크)이 시스템 상태 벡터 \mathbf{x}의 차원 n과 같다면, 시스템은 초기 상태 x_0 근방에서 국소적으로 접근 가능하다고 말한다. 접근성 분포 R은 시스템의 동역학을 나타내는 벡터장 \mathbf{f}와 \mathbf{g}_i들, 그리고 이 벡터장들 간의 반복적인 리 괄호(Lie bracket) 연산을 통해 얻어지는 벡터장들로 구성된다.[5] 구체적인 형태는 다음과 같다.

R = \begin{bmatrix} \mathbf{g}_1 & \cdots & \mathbf{g}_m & [\mathrm{ad}^k_{\mathbf{g}_i}\mathbf{\mathbf{g}_j}] & \cdots & [\mathrm{ad}^k_{\mathbf{f}}\mathbf{\mathbf{g}_i}] \end{bmatrix}

위 식에서 [\mathrm{ad}^k_{\mathbf{f}}\mathbf{\mathbf{g}}]는 벡터장 \mathbf{f}와 \mathbf{g} 사이의 반복적인 리 괄호 연산을 의미하며, 다음과 같이 정의된다.

[\mathrm{ad}^k_{\mathbf{f}}\mathbf{\mathbf{g}}] = \begin{bmatrix} \mathbf{f} & \cdots & j & \cdots & \mathbf{[\mathbf{f}, \mathbf{g}]} \end{bmatrix}

접근성 분포의 개념은 선형 시스템 이론에서 사용되는 제어 가능성 행렬(controllability matrix)을 비선형 시스템으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 실제로 선형 시스템의 제어 가능성 행렬은 위 접근성 분포의 정의로부터 특별한 경우로 유도될 수 있다.

4. 출력 제어 가능성

'''출력 제어 가능성'''은 시스템의 출력(이전 방정식에서 ''y''로 표시)과 관련된 개념이다. 이는 외부 입력을 사용하여 유한한 시간 안에 시스템의 출력을 원하는 초기 상태에서 원하는 최종 상태로 옮길 수 있는지를 나타낸다. 상태 제어 가능성과 출력 제어 가능성 사이에는 반드시 연관성이 있는 것은 아니다. 구체적으로 다음과 같은 경우가 있다.


  • 제어 가능한 시스템이라고 해서 반드시 출력 제어 가능하지는 않다. 예를 들어, 행렬 ''D'' = 0 이고 행렬 ''C''가 전체 행 랭크(full row rank)를 가지지 않는 경우를 생각해보자. 이때는 출력 행렬 ''C''의 구조적인 제약 때문에 일부 출력을 원하는 대로 만드는 것이 불가능할 수 있다. 즉, 시스템의 상태를 유한 시간 내에 어떤 상태로든 보낼 수 있더라도, 특정 출력 값은 도달 불가능할 수 있다. 간단한 수치적 예시로는 ''D''=0 이고 행렬 ''C''에 0으로만 이루어진 행이 하나 이상 포함된 경우이다. 이 경우 시스템은 해당 차원에서 0이 아닌 출력을 생성할 수 없다.
  • 출력 제어 가능한 시스템이라고 해서 반드시 상태 제어 가능하지는 않다. 예를 들어, 상태 공간의 차원이 출력의 차원보다 큰 경우, 하나의 출력 값에 대응하는 여러 가지 내부 상태 구성이 존재할 수 있다. 이는 시스템이 출력으로는 관찰되지 않는 내부 동특성, 즉 영역 역학(zero dynamics)을 가질 수 있다는 의미이다. 결과적으로, 유한 시간 내에 출력을 특정 값으로 만들 수 있다는 사실만으로는 시스템의 내부 상태가 어떻게 구성되어 있는지 알 수 없다.


선형 연속 시간 시스템이 행렬 A, B, C, D로 표현될 때, m \times (n+1)r 크기의 '''출력 제어 가능성 행렬'''은 다음과 같이 정의된다.

:\begin{bmatrix} CB & CAB & CA^2B & \cdots & CA^{n-1}B & D\end{bmatrix}

이 행렬이 전체 행 랭크(즉, 랭크가 m)를 가질 때, 그리고 오직 그 때만 해당 시스템은 출력 제어 가능하다고 판별할 수 있다.[1]

5. 안정화 가능성

제어 가능성보다 약간 약한 개념은 안정화 가능성(stabilizability|스테빌라이저빌리티영어)이다. 어떤 시스템이 안정화 가능하다는 것은, 제어할 수 없는 상태 변수들이 있더라도 이 변수들이 안정적인 동역학을 갖도록 시스템을 만들 수 있다는 의미이다.[9] 즉, 제어 가능성 테스트를 통해 일부 상태 변수를 제어할 수 없다고 판명되더라도, 시스템이 작동하는 동안 모든 상태 변수가 불안정해지지 않고 제한된 범위 내에 머무르도록 할 수 있다면 그 시스템은 안정화 가능하다고 본다.[9]

6. 도달 가능 집합

T ∈ '''''Т''''' 및 x ∈ ''X'' (여기서 ''X''는 가능한 모든 상태의 집합이고 '''''Т'''''는 시간 간격임)인 경우, 시간 T에서의 도달 가능 집합(Reachable set|도달 가능 집합eng)은 다음과 같이 정의된다:[4]

R^T{(x)} = \left\{ z \in X : x \overset{T}{\rightarrow} z \right\}

여기서 x \overset{T}{\rightarrow} z는 시간 T 동안 상태 x에서 상태 z로의 전이가 존재함을 나타낸다. 즉, 도달 가능 집합은 주어진 초기 상태 x에서 시작하여 시간 T 내에 도달할 수 있는 모든 상태 z의 집합을 의미한다.

자율 시스템의 경우 도달 가능한 집합은 다음과 같다:

:\mathrm{Im}(R)=\mathrm{Im}(B)+\mathrm{Im}(AB)+....+\mathrm{Im}(A^{n-1}B)

여기서 R은 제어 가능성 행렬이다.

도달 가능한 집합의 관점에서 시스템은 \mathrm{Im}(R)=\mathbb{R}^n일 때, 즉 도달 가능한 상태 공간이 전체 상태 공간과 같을 때 제어 가능하다고 한다.

'''증명'''

다음 등식이 성립한다:

:R=[B\ AB ....A^{n-1}B]

:\mathrm{Im}(R)=\mathrm{Im}([B\ AB ....A^{n-1}B])

:\mathrm{dim(Im}(R))=\mathrm{rank}(R)

시스템이 제어 가능하다고 가정하면, 제어 가능성 행렬 R의 열 벡터들은 선형 독립이어야 한다. 따라서 제어 가능성 행렬의 랭크는 시스템의 차원 n과 같아야 한다:

:\mathrm{dim(Im}(R))=n

:\mathrm{rank}(R)=n

결과적으로, 도달 가능한 집합의 이미지는 n차원 실수 공간 전체가 된다:

:\mathrm{Im}(R)=\mathbb{R}^{n}\quad \blacksquare

도달 가능 집합과 관련된 개념으로 제어 가능 집합(Controllable set|제어 가능 집합eng)이 있으며, 다음과 같이 정의된다:

:C^T{(x)} = \left\{ z \in X : z \overset{T}{\rightarrow} x \right\}

이는 특정 시간 T 내에 주어진 최종 상태 x로 도달할 수 있도록 하는 모든 초기 상태 z의 집합을 의미한다.

도달 가능성과 제어 가능성 간의 관계는 Sontag에 의해 다음과 같이 제시되었다:[4]


  • (a) n차원 이산 시간 선형 시스템이 제어 가능한 것은 다음 조건과 동치이다:

:: R(0)=R^k{(0)=X} (여기서 X는 x의 가능한 모든 값 또는 상태의 집합이고 k는 시간 단계이다). 즉, 시간 k 동안 0 상태에서 도달 가능한 집합이 전체 상태 공간 X와 같다.

  • (b) 연속 시간 선형 시스템이 제어 가능한 것은 다음 조건들과 동치이다:

:: 모든 양수 e에 대해 R(0)=R^e{(0)=X}. 즉, 임의의 작은 시간 e 동안 0 상태에서 도달 가능한 집합이 전체 상태 공간 X와 같다.

:: 또한, 모든 양수 e에 대해 C(0)=C^e{(0)=X}인 경우와도 동치이다. 즉, 임의의 작은 시간 e 동안 0 상태로 도달할 수 있는 초기 상태 집합이 전체 상태 공간 X와 같다.

'''예시'''

시스템을 다음과 같은 n차원 이산 시간 불변 시스템이라고 가정하자:

::\phi(n,0,0,w)=\sum\limits_{i=1}^n A^{i-1}Bw(n-1)

여기서 \phi(최종 시간, 초기 시간, 상태 변수, 제약 조건)는 초기 시간 0에서 최종 시간 n까지 특정 제약 조건(입력) w 하에서 상태 변수 x의 전이 행렬로 정의된다. 이는 초기 상태 0에서 시작하여 입력 시퀀스 w를 적용했을 때 시간 n에서의 상태를 나타낸다.

결과적으로 미래 상태는 R^k{(0)}에 속하며, 이는 해당 상태가 \mathrm{Im}(R)(선형 사상 R의 이미지)에 있을 때만 가능하다. R은 다음과 같이 정의되는 제어 가능성 행렬이다:

::R(A,B)\triangleq [B\ AB ....A^{n-1}B]

이는 입력 공간 u^{n}에서 상태 공간 X로의 사상을 나타낸다:

::u^{n}\mapsto X

u=K^{m}이고 X=K^{n}일 때 (여기서 K는 체, 예를 들어 실수 집합 \mathbb{R}), R(A,B)는 B, AB, ..., A^{n-1}B를 순서대로 열로 갖는 n\times nm 행렬로 식별할 수 있다. 시스템이 제어 가능하면 [B\ AB ....A^{n-1}B]의 랭크는 n이다. 이 경우 선형 사상 R의 이미지는 상태 공간 X 전체가 된다. 이를 바탕으로 다음이 성립한다:

::R(0)=R^k{(0)=X} with X\in\R^{n}.

7. 행동 시스템 이론에서의 제어 가능성

소위 행동 시스템 이론 접근 방식은 얀 빌럼스에 의해 제안되었으며, 이 모델들은 입출력 구조를 직접 정의하지 않는다. 이 프레임워크에서 시스템은 변수들의 허용 가능한 궤적 모음으로 설명되며, 이 중 일부는 입력 또는 출력으로 해석될 수 있다.

이러한 환경에서 시스템은 행동(외부 변수의 궤적)의 과거 부분을 행동의 미래 궤적과 연결할 수 있으며, 그 연결이 행동에 포함되어, 즉 허용 가능한 시스템 행동의 일부가 될 수 있다면 제어 가능하다고 정의된다.[8]

8. 입력 제약 조건 하의 제어 가능성

제한된 제어 권한을 가진 시스템에서는, 제어 가능한 부분 공간 내의 임의의 초기 상태를 임의의 최종 상태로 이동시키는 것이 더 이상 불가능한 경우가 많다. 이러한 현상은 시스템에 내재된 입력 제한(예: 포화 액추에이터로 인한) 또는 다른 이유(예: 안전 관련 문제로 인한)로 시스템에 부과된 입력 제한에 의해 발생한다. 입력 및 상태 제약 조건이 있는 시스템의 제어 가능성은 가달성성[6] 및 생존 가능성 이론의 맥락에서 연구된다.[7]

참조

[1] 서적 Modern Control Engineering Prentice-Hall
[2] 문서 A linear time-invariant system behaves the same but with the coefficients being constant in time.
[3] 서적 Finite Dimensional Linear Systems John Wiley & Sons
[4] 서적 Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems https://books.google[...]
[5] 서적 Nonlinear Control Systems Springer-Verlag, London
[6] 간행물 Computational Techniques for the Verification of Hybrid Systems http://www.cs.ubc.ca[...] 2012-03-04
[7] 서적 Viability Theory Birkhauser
[8] 서적 Introduction to Mathematical Systems Theory: A Behavioral Approach Springer Verlag
[9] 서적 Optimal Control: Linear Quadratic Methods Prentice Hall


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