주연감광

3. 주연감광의 계산

주연감광의 정도는 관측자의 시선과 항성의 반지름이 이루는 각도(입사각)에 따라 달라진다. 오른쪽 그림에서, 관측자 P가 별의 대기 외부에 있는 한, θ 방향에서 보이는 빛의 세기는 입사각 $\backslash psi$의 함수이며, 이는 $\backslash cos\; \backslash psi$에 대한 다항식으로 근사될 수 있다.

:$$

\frac{I(\psi)}{I(0)} = \sum_{k=0}^N a_k \cos^k \psi,



$I\; (\; \backslash psi\; )$는 위치 $P$에서의 시선이 항성반경과 이루는 입사각 $\backslash psi$에서의 세기다. 중앙에서 이 비는 $I(0)/I(0)\; =\; 1$이 되어야 하므로 다음을 얻는다.

:$$

\sum_{k=0}^N a_k = 1.



예컨대 주연감광이 없는 람베르트 복사체에서는 $a\_0\; =\; 1$이고 나머지 모든 $a\_k\; =\; 0$이다. 또다른 예로서 태양을 550 나노미터 파장 대역에서 본다면 다음과 같다.^[2]

:$a\_0\; =\; 1\; -\; a\_1\; -\; a\_2\; =\; 0.3,$

:$a\_1\; =\; 0.93,$

:$a\_2\; =\; -0.23$

주연감광 방정식은 다음과 같이 변형할 수 있는데,

:$$

\frac{I(\psi)}{I(0)} = 1 + \sum_{k=1}^N A_k (1 - \cos \psi)^k,



이로써 합이 1이 되어야 한다는 조건이 있는 $N+1$ 계수 대신 독립적인 $N$ 계수를 갖게 된다.

상수 $a\_k$들은 상수 $A\_k$들과 다음과 같은 관계가 있다. $N=2$일 때,

:$A\_1\; =\; -\; (a\_1\; +\; 2\; *\; a\_2),$

:$A\_2\; =\; a\_2.$

그래서 550 나노미터 파장의 태양은

:$A\_1\; =\; -0.47,$

:$A\_2\; =\; -0.23.$

이것은 태양원반에서 가장자리는 중앙에 비해 30%의 세기밖에 되지 못함을 보여준다.

이것을 $\backslash theta$에 대한 함수로 바꿔 주려면

:$$

\cos \psi =

\frac{\sqrt{\cos^2 \theta - \cos^2 \Omega}}{\sin \Omega} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \theta}{\sin \Omega}\right)^2},



이 때 $\backslash theta$가 매우 작다면 다음과 같이 근사된다.

:$\backslash cos\backslash psi\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash theta\}\{\backslash sin\; \backslash Omega\}\backslash right)^2\}.$

그러므로 가장자리에서 $\backslash cos\; \backslash psi$의 도함수는 무한으로 발산한다.

이 근사는 평균세기와 중앙세기의 비를 분석적으로 표현할 때도 사용할 수 있다. 평균세기 $I\_m$은 항성원반 전체의 세기를 적분한 것을 원반의 입체각으로 나눈 것이다.

:$I\_m\; =\; \backslash frac\{\backslash int\; I(\backslash psi)\backslash ,d\backslash omega\}\{\backslash int\; d\backslash omega\},$

이 때 $\backslash omega\; =\; \backslash sin\; \backslash theta\backslash \; d\; \backslash theta\backslash \; d\; \backslash psi$는 미소입체각성분이며, 적분구간이 $\backslash phi\; =\; [0,\; 2\; \backslash pi\; ],\; \backslash theta\; =\; [0,\; \backslash Omega]$이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$I\_m\; =\; \backslash frac\{\backslash int\_\{\backslash cos\backslash Omega\}^1\; I(\backslash psi)\; \backslash ,d\backslash cos\backslash theta\}\{\backslash int\_\{\backslash cos\backslash Omega\}^1\; d\backslash cos\backslash theta\}\; =$

\frac{\int_{\cos\Omega}^1 I(\psi) \,d\cos\theta}{1 - \cos\Omega}.



이 방정식은 분석적으로 풀려면 풀 수 있으나 너무 어렵다. 그런데 항성과 관찰자 사이의 거리가 무한에 가깝게 크다면 $d\backslash \; \backslash cos\; \backslash theta$가 $\backslash sin^2\; \backslash Omega\; \backslash cos\; \backslash psi\backslash \; d\backslash \; \backslash cos\; \backslash psi$로 대체되므로

:$I\_m\; =\; \backslash frac\{\backslash int\_0^1\; I(\backslash psi)\; \backslash cos\backslash psi\; \backslash ,d\backslash cos\backslash psi\}\{\backslash int\_0^1\; \backslash cos\backslash psi\; \backslash ,d\backslash cos\backslash psi\}\; =\; 2\backslash int\_0^1\; I(\backslash psi)\; \backslash cos\backslash psi\; \backslash ,d\backslash cos\backslash psi,$

:$\backslash frac\{I\_m\}\{I(0)\}\; =\; 2\; \backslash sum\_\{k=0\}^N\; \backslash frac\{a\_k\}\{k\; +\; 2\}.$

그래서 550 나노미터 대역에서 태양원반의 평균세기는 원반 중앙의 세기의 80.5%라고 말할 수 있다.

3. 1. 수학적 모델

3. 2. 평균 세기

4. 주연감광의 관측

주연 감광은 태양과 같은 기체 천체에서 발생하며, 예를 들어 달은 대기가 거의 없고 태양광을 표면에서 반사하여 빛나기 때문에 주연 감광이 관측되지 않는다^[11]。한편, 태양 외에도 다음 천체에서 주연 감광이 관측되었다.

• 목성 - 1976년에 필처(Pilcher)와 쿤클(Kunkle)은 목성 대기의 성질을 조사하기 위해 다른 진동수에서의 주연 감광을 측정했다^[13]。
• 타이탄 - 1908년에 호세 코마스 솔라는 타이탄에서 주연 감광이 관측되었다고 주장했고, 이로 인해 타이탄에 대기가 존재한다고 생각하게 되었다^[3]。1981년에 타이탄의 반지름을 주연 감광의 가시광선 관측과 모델 비교를 통해 결정하려는 시도가 있었다^[14]。
• 베텔게우스 - 1997년에 적외선에 의한 주연 감광 관측이 보고되었다^[12]。

4. 1. 태양

4. 2. 다른 항성

4. 3. 행성 및 위성

4. 4. 외계 행성 탐색

5. 주연감광의 역사

카를 슈바르츠실트는 1906년 항성 구조에 관한 논문에서 주연감광의 원리에 해당하는 빛의 산란을 계산했다.^[6] 1917년 전후의 아서 에딩턴과 제임스 진스 등에 의한 연구를 거쳐, 1921년에 에드워드 아서 밀른은 당시 알려져 있던 항성의 구조 이론에 기초하여 복사 수송 방정식을 풀어 주연감광을 해석적으로 도출했다.^[15]

Arthur Bambridge Wyse는 1939년에 태양 이외의 항성에 대해 주연감광을 관측하는 방법에 대해 고찰했다.^[7]

주연감광의 프로파일은 1946년에 Canavaggia와 Chalonge에 의해 사진 건판을 사용하여 처음 측정되었다.^[8][9]

5. 1. 초기 연구

5. 2. 관측 기술 발전

6. 한국 천문학에서의 주연감광 연구

6. 1. 한국의 역사적 천문 관측 기록

6. 2. 현대 한국 천문학의 연구 동향

참조

_[1] 서적 Encyclopedia of Astrobiology https://link.springe[...] Springer 2003
_[2] 서적 Allen's Astrophysical Quantities Springer-Verlag, NY 2000
_[3] 서적 Encyclopedia of the Solar System Academic Press 2007
_[4] 서적 Solar System Astrophysics: Planetary Atmospheres and the Outer Solar System Springer-Verlag New York 2014
_[5] 논문 Limb darkening and exoplanets: testing stellar model atmospheres and identifying biases in transit parameters
_[6] 논문 On the equilibrium of the Sun's atmosphere 1906
_[7] 논문 Limb-Darkening in Stars https://www.jstor.or[...] 1939
_[8] 논문 1946
_[9] 논문 The Measurement of Solar Diameter and Limb Darkening Function with the Eclipse Observations
_[10] 웹사이트 周縁減光 https://astro-dic.jp[...] 日本天文学会 2020-03-31
_[11] 웹사이트 短期連載：大阪教育大学金環日食プロジェクト 3 スペクトル教材：周縁減光とスペクトルの変化 https://www.asj.or.j[...] 2020-12-24
_[12] 논문 The surface structure and linib-darkening profile of Betelgeuse
_[13] 논문 Limb-darkening scans of Jupiter
_[14] 논문 Radius and limb darkening of Titan from speckle imaging
_[15] 논문 Radiative Equilibrium in the Outer Layers of a Star: the Temperature Distribution and the Law of Darkening
_[16] 문서 Milone & Wilson, p. 75
_[17] 문서 Milone & Wilson, p. 76
_[18] 문서 Milone & Wilson, p. 77
_[19] 문서 Milone & Wilson, p. 78
_[20] 문서 Milone & Wilson, p. 79
_[21] 문서 LeBlanc, p. 116