텐서 미적분학

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1. 개요
2. 텐서의 정의와 표기법
3. 텐서 미적분학의 응용
- 3.1. 일반 상대성 이론
- 3.2. 기타 응용 분야
참조

1. 개요

텐서 미적분학은 텐서의 개념과 연산을 다루는 수학 분야이다. 텐서는 공변 성분과 반변 성분을 가지며, 첨자의 위치로 종류를 구분한다. 텐서 미적분학은 일반 상대성 이론, 전자기학, 양자장론, 연속체 역학, 기계 학습 등 다양한 분야에 응용된다.

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텐서 미적분학
개요
분야	미분기하학, 미분다양체, 물리학
관련 항목	미분 형식, 텐서, 리만 기하학, 일반 상대성이론
주요 기여자	툴리오 레비치비타, 그레고리오 리치쿠르바스트로, 알베르트 아인슈타인
역사
개발	절대 미분법 (1890년대)
주요 발전	일반 상대성이론 (1915년)
특징
핵심 개념	공변성, 반변성, 계량 텐서, 곡률 텐서
응용 분야	물리학, 공학, 컴퓨터 과학
주요 연산
기본 연산	텐서 곱, 축약, 올림과 내림
미분 연산	공변 미분, 리 미분, 외미분
응용
물리학	일반 상대성이론, 유체역학, 전자기학
공학	응력 해석, 연속체 역학, 재료 과학
컴퓨터 과학	기계 학습, 데이터 분석, 컴퓨터 그래픽스

2. 텐서의 정의와 표기법

텐서는 다중 선형 사상의 개념을 일반화한 것으로, 기저 벡터들의 선형 결합으로 표현된다. 텐서 기호에서 공변 성분은 아래 첨자로, 반변 성분은 윗첨자로 나타낸다. 텐서의 랭크(차수)는 윗첨자와 아래첨자의 개수를 더하여 계산한다. 텐서의 표기법은 텐서의 종류와 성질을 명확하게 나타내는 데 중요한 역할을 한다.

2. 1. 텐서 기호

텐서 기호에서 공변 성분은 아래 첨자로

A_{\alpha\beta\gamma \cdots}

, 반변 성분은 윗첨자로

A^{\alpha\beta\gamma \cdots}

와 같이 나타낸다. 공변과 반변이 섞여있는 경우

A_{\alpha}{}^{\beta}{}_{\gamma}{}^{\delta\cdots}

처럼 위아래 모두 첨자를 사용한다. 많은 사람들이 인식하지 못하지만, 데카르트 좌표를 나타내는 일반적인 수학 기호는 공변 첨자를 사용하고 있다. 반변을 나타내는 윗첨자는 거듭제곱 기호와 혼동될 수 있으므로 주의해야 한다.

텐서의 종류는 윗첨자와 아래첨자의 개수로 결정된다. 윗첨자가

n

개, 아래첨자가

m

개이면

(n,m)

-텐서라고 부른다. 이때 텐서의 랭크(차수)는

n+m

이다.

텐서 기호를 사용하여 벡터를 기저 벡터와 성분 벡터의 축약으로 표현할 수 있다.

:

\vec{V} = V^i \vec{Z}_i = V_i \vec{Z}^i

즉, 벡터는 (반변 성분 벡터와 공변 기저 벡터) 또는 (공변 성분 벡터와 반변 기저 벡터)의 축약으로 표현 가능하다.

모든 첨자가 아래첨자인 텐서를 공변텐서, 모든 첨자가 윗첨자인 텐서를 반변텐서라고 한다. 임의의 벡터를 기저 벡터와 점곱할 때 공변과 반변의 구별이 필요하다. 점곱은 다음과 같이 두 가지 의미를 가질 수 있다.

임의의 벡터를 기저 벡터에 사영
기저 벡터를 임의의 벡터에 사영

:

\vec{V} \cdot \vec{Z}_i = V_i =  \vec{V}^T \vec{Z}_i = \vec{Z}_i^T \vec{V} = {\mathrm{proj}_{\vec{Z}^i}(\vec{V})} \cdot \vec{Z}_i = {\mathrm{proj}_{\vec{V}}(\vec{Z}^i)} \cdot \vec{V}

:

\vec{V} \cdot \vec{Z}^i = V^i =  \vec{V}^T \vec{Z}^i = {\vec{Z}^i}^T \vec{V} = {\mathrm{proj}_{\vec{Z}_i}(\vec{V})} \cdot \vec{Z}^i = {\mathrm{proj}_{\vec{V}}(\vec{Z}_i)} \cdot \vec{V}

2. 2. 공변 텐서와 반변 텐서

텐서 기호에서 공변 성분은 아래 첨자를 써서

A_{\alpha\beta\gamma \cdots}

로, 반변 성분은 윗첨자를 써서

A^{\alpha\beta\gamma \cdots}

로 나타낸다. 공변과 반변이 섞여있는 경우는

A_{\alpha}{}^{\beta}{}_{\gamma}{}^{\delta\cdots}

처럼 위아래 모두 첨자를 쓴다. 데카르트 좌표를 나타내는 일반적인 수학 기호는 많은 사람들이 인식하지 못하지만, 공변 첨자를 쓰고 있는 것이다. 반변을 나타내는 윗첨자는 기존의 거듭제곱 기호와 혼동을 일으킬 수 있다.

윗첨자와 아래첨자들의 수는 그 텐서의 종류를 정한다. 윗첨자가

n

개, 아래첨자가

m

개일 때

(n,m)

-텐서라고 부른다. 이때 텐서의 랭크 또는 차수는

n+m

이다.

모든 첨자가 아래첨자인 텐서를 공변 텐서라 하고, 모든 첨자가 윗첨자인 텐서를 반변 텐서라고 한다. 임의의 벡터를 기저 벡터와 점곱할 때 공변과 반변을 구별할 필요성이 나타난다. 이때 점곱은 두 가지 의미를 가질 수 있다.

임의의 벡터를 기저 벡터에 사영하기
기저 벡터를 임의의 벡터에 사영하기

2. 2. 1. 공변 벡터 분해

벡터

\vec{V}

는 반변 성분

V^i

와 공변 기저 벡터

\vec{Z}_i

의 축약으로 표현될 수 있다.

변수	설명	종류
$\vec{V}$	벡터	불변
$V^i$	반변 성분들 (스칼라들이 원소인 순서 집합)	변함
$\vec{Z}_i$	공변 기저벡터들 (벡터들이 원소인 순서 집합)	변함

2. 2. 2. 반변 벡터 분해

벡터

\vec{V}

는 공변 성분

V_i

와 반변 기저 벡터

\vec{Z}^i

의 축약으로 표현될 수 있다.

벡터 분해
변수	설명	종류
$\vec{V}$	벡터	불변
$V_i$	공변 성분 (스칼라가 원소인 순서 집합)	변함
$\vec{Z}^i$	반변 기저 벡터 (여벡터가 원소인 순서 집합)	변함

2. 3. 계량 텐서

계량 텐서는 스칼라 성분(

Z_{ij}

또는

Z^{ij}

)을 갖는 행렬로 나타내며, 축약을 통해 다른 텐서의 첨자를 올리거나 내리는 데 쓰인다. 이는 공변 텐서를 반변 텐서로 바꾸거나 그 반대를 수행하는 것이다.

T_i=Z_{ij}T^j

는 첨자를 내리는 예시이고

T^i=Z^{ij}T_j

는 첨자를 올리는 예시이다.

계량 텐서는

Z_{ij} = \vec{Z}_i \cdot \vec{Z}_j

또는

Z^{ij} = \vec{Z}^i \cdot \vec{Z}^j

와 같이 정의할 수 있다. 이는 기저 벡터들 중 두 벡터를 선택하고 점곱을 하는 모든 경우에 대해 그 값을 성분으로 갖는 행렬을 만들면 계량 텐서가 된다는 뜻이다. 이는 내적 공간에서 기저끼리의 내적이 결정되면 임의의 두 벡터의 내적이 결정되는 것과 같은 뜻이다.

3. 텐서 미적분학의 응용

텐서 미적분학은 일반 상대론에서 처음으로 극적으로 응용되었다. 미분기하학에서 텐서 미적분학을 사용하기 때문에 자연스럽게 일반 상대론에도 쓰이게 되었다. 일반 상대론 뿐만 아니라 전자기학, 양자장론, 연속체 역학, 기계학습 등 많은 분야에서 응용된다.^[3]

3. 1. 일반 상대성 이론

일반 상대론은 아인슈타인과 그의 수학자 동료 그로스만의 공동 논문^[3] 이후로 준 리만기하학으로 기술되며 발전하였다. 미분기하학에서 텐서 미적분학을 쓰므로 자연스럽게 일반 상대론에도 쓰이게 되었다.

3. 2. 기타 응용 분야

일반 상대론은 텐서 미적분학이 응용된 초기 사례 중 하나이다. 일반 상대론은 아인슈타인과 그의 수학자 동료 그로스만의 공동 논문^[3] 이후로 준 리만기하학으로 기술되며 발전하였다. 미분기하학에서 텐서 미적분학을 사용하므로 자연스럽게 일반상대론에도 쓰이게 되었다. 일반 상대론 뿐만 아니라 전자기학, 양자장론, 연속체 역학, 기계학습 등 많은 응용 분야에서 쓰인다.

참조

_[1] 저널 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications http://gdz.sub.uni-g[...] Springer 1900-03
_[2] 저널 Interview with Shiing Shen Chern https://www.ams.org/[...] 1998-08
_[3] 저널 Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation 1913

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