준 리만 다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 로런츠 다양체
- 3.1. 물리학적 응용
4. 준 리만 다양체의 성질
참조

1. 개요

준 리만 다양체는 매끄러운 다양체 M에 정의된 대칭적이고 비퇴화적인 (0,2)-텐서장 g를 갖춘 구조이다. g는 계량 텐서라고 불리며, 만약 g가 양의 정부호라면 리만 다양체가 된다. 유사 리만 다양체는 비퇴화적이고 매끄럽고 대칭적인 계량 텐서 g가 장착된 미분 가능 다양체 M이다. 계량 텐서의 부호수는 (p, q)로 표시되며, 로런츠 다양체는 부호수가 (n-1, 1)인 준 리만 다양체의 특수한 경우로, 일반 상대성 이론에서 시공간을 모델링하는 데 사용된다. 준 리만 다양체는 리만 기하학의 기본 정리를 만족하며, 곡률 텐서와 레비-치비타 접속을 정의할 수 있지만, 리만 기하학의 일부 정리들은 일반화되지 않는다.

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준 리만 다양체
개요
유형	미분가능 다양체
정의	비퇴화 메트릭 텐서를 갖는 미분가능 다양체
관련 개념	리만 다양체, 로렌츠 다양체, 준 리만 기하학
상세 정보
메트릭 부호수	(p, q) (p + q = n, n은 다양체의 차원)
크기	텐서

2. 정의

'''준 리만 다양체''' $(M,g)$ 는 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 (0,2)-텐서장 $g$ 가 갖추어진 매끄러운 다양체 $M$ 이다.

(대칭성) 모든 벡터장 $X,Y$ 에 대하여 $g(X,Y)=g(Y,X)$ 이다.
(비자명성) 만약 모든 벡터장 $Y$ 에 대하여 $g(X,Y)=0$ 인 벡터장 $X$ 가 있다면, $X=0$ 이다.

g

는

M

의 '''계량 텐서'''라고 한다. 만약

g

가 추가로 양의 정부호라면

(M,g)

는 '''리만 다양체'''가 된다.

'''유사 리만 다양체'''는 비퇴화적이고, 매끄럽고, 대칭적인 계량 텐서 ''g''가 갖추어진 매끄러운 다양체 ''M''이다. 이러한 계량은 '''유사 리만 계량'''이라고 하며, 벡터장에 적용하면, 다양체의 임의의 점에서 양수, 음수 또는 0이 될 수 있다. 유사 리만 계량의 부호는 (''p'', ''q'')이며, 여기서 ''p''와 ''q''는 모두 음수가 아닌 정수이다.

계량의 부호가 (1, ''n''−1) (또는 (''n''−1, 1); ''부호 규약'' 참조)인 유사 리만 다양체의 중요한 특수한 경우를 '''로렌츠 다양체'''라고 한다. 로렌츠 다양체는 헨드릭 로렌츠의 이름을 따서 명명되었다.

2. 1. 다양체

미분 기하학에서, 미분 가능 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 유사한 공간이다. ''n''차원 유클리드 공간에서 임의의 점은 ''n''개의 실수로 지정할 수 있다. 이것들을 점의 좌표라고 부른다.

''n''차원 미분 가능 다양체는 ''n''차원 유클리드 공간의 일반화이다. 다양체에서는 좌표를 "국소적으로"만 정의할 수 있다. 이는 좌표 조각을 정의함으로써 달성된다. 좌표 조각은 ''n''차원 유클리드 공간으로 매핑될 수 있는 다양체의 부분 집합이다.

자세한 내용은 다양체, 미분 가능 다양체, 좌표 조각을 참조하십시오.

2. 2. 접공간과 계량 텐서

n

차원 미분 다양체

M

의 각 점

p

에는 접공간(

T_pM

으로 표기)이 부속되어 있다. 이는

n

차원 벡터 공간이며, 그 원소는 점

p

를 통과하는 곡선의 동치류로 생각할 수 있다.

계량 텐서는 다양체의 각 접공간에서 접벡터 쌍에 실수를 할당하는 비퇴화, 매끄럽고 대칭적인 쌍선형 사상이다. 계량 텐서를

g

로 표기하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

g : T_pM \times T_pM \to \mathbb{R}.

이 사상은 대칭적이고 쌍선형이므로,

X,Y,Z \in T_pM

가 다양체

M

의 점

p

에서의 접벡터라면, 다음을 만족한다.

$\,g(X,Y) = g(Y,X)$
$\,g(aX + Y, Z) = a g(X,Z) + g(Y,Z)$

여기서

a\in\mathbb{R}

는 임의의 실수이다.

g

가 비퇴화라는 것은, 모든

Y \in T_pM

에 대해

g(X,Y) = 0

을 만족하는 영이 아닌

X \in T_pM

가 없음을 의미한다.

2. 3. 계량 부호

계량 텐서의 부호수는 양수, 음수, 영의 고윳값 개수를 나타내는 불변량이다. 실베스터의 관성 법칙에 따르면, 직교 기저를 어떻게 선택하든지 이 값은 항상 일정하다.^[1]

''n''차원 실수 다양체에서 계량 텐서 ''g''는 각 직교 기저 벡터에 대해 이차 형식

q(x) = g(x,x)

를 통해 ''n''개의 실수값을 만들어낸다. 이 값들 중 양수, 음수, 0의 개수는 계량 텐서의 부호수 (''p'', ''q'', ''r'')로 표현된다. 비퇴화 계량 텐서의 경우 ''r'' = 0이며, 부호수는 (''p'', ''q'') (''p'' + ''q'' = ''n'')로 나타낸다.^[2]

준 리만 다양체

(M,g)

의 부호수는 계량 텐서의 부호수와 같으며, 연결 공간인 경우 모든 점에서 동일하다. 부호수가

(\dim M-1,1)

또는

(1,\dim M-1)

인 다양체를 로런츠 다양체라고 한다.^[3]

3. 로런츠 다양체

로런츠 다양체는 계량의 부호가 (1, n-1) 또는 (n-1, 1)인 준 리만 다양체의 중요한 특수한 경우이다. 여기서 n은 다양체의 차원이다. 이러한 계량을 헨드릭 로렌츠의 이름을 따서 '''로런츠 계량'''이라고 한다.

로런츠 다양체는 리만 다양체 다음으로 준 리만 다양체의 가장 중요한 하위 부류를 형성한다.

3. 1. 물리학적 응용

로런츠 다양체는 물리학, 특히 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다. 일반 상대성 이론에서는 시공간을 4차원 로런츠 다양체로 나타낸다.

일반 상대성 이론의 주요 전제는 시공간이 부호수 (3, 1) 또는 (1, 3)을 갖는 4차원 로런츠 다양체로 모델링될 수 있다는 것이다. 양의 정부호 계량을 갖는 리만 다양체와 달리, 로런츠 다양체의 부정부호 부호수는 접벡터를 시간형, 영, 또는 공간형으로 분류할 수 있게 한다. 부호수가 (p, 1) 또는 (1, q)인 다양체는 국소적으로, 그리고 경우에 따라 전역적으로 시간 방향성을 가질 수 있다.^[1]

4. 준 리만 다양체의 성질

유클리드 공간과 민코프스키 공간은 각각 리만 다양체와 로런츠 다양체의 모델 공간이다. 리만 기하학의 기본 정리는 준 리만 다양체에도 성립하여, 레비-치비타 접속과 곡률 텐서를 정의할 수 있다.

하지만 모든 매끄러운 다양체가 주어진 부호수의 준 리만 계량을 허용하는 것은 아니며, 특정 위상적 장애가 존재할 수 있다. 또한, 부분 다양체가 항상 준 리만 다양체의 구조를 상속하는 것은 아니다. 예를 들어, 계량 텐서는 광선 곡선에서 0이 된다. 호프-리노 정리는 준 리만 다양체에 대해 성립하지 않을 수 있다.^[4]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 문서
_[4] 서적

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