내적 공간

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1. 개요

내적 공간은 실수 또는 복소수 체(field) F 위의 벡터 공간 V에 정의된 내적을 갖춘 공간으로, 내적은 두 벡터를 스칼라로 대응시키는 함수이다. 내적은 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식이며, 켤레 대칭성, 선형성, 양의 정부호성을 만족한다. 내적 공간은 노름 공간의 구조를 가지며, 코시-슈바르츠 부등식과 같은 성질을 만족한다. 정규 직교 기저와 선형 범함수 등, 다양한 개념과 연관되며, 연산자, 특히 연속 선형 작용소, 대칭 선형 작용소, 등거리 사상, 등거리 동형과 같은 선형 사상에 대한 연구가 이루어진다. 내적 공간의 개념은 퇴화 내적, 비퇴화 켤레 대칭 형식 등 다양한 형태로 일반화될 수 있다.

내적 공간

정의 및 개요

정의	선형대수학에서, 내적 공간(inner product space)은 벡터 공간에 내적이라는 추가 구조가 정의된 공간이다.
특징	내적을 통해 벡터의 길이, 두 벡터 사이의 각도, 직교성 등의 개념을 형식화할 수 있다.
중요성	내적 공간은 힐베르트 공간을 정의하는 데 사용되며, 푸리에 해석, 양자역학, 통계학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

형식적 정의

벡터 공간	는 체 (실수 또는 복소수) 위의 벡터 공간이다.
내적	위의 내적은 함수 로, 다음 공리들을 만족한다.
공리	선형성 (Linearity): 임의의 , , ∈ 와 , ∈ 에 대해, 켤레 대칭성 (Conjugate symmetry): 임의의 , ∈ 에 대해, } (여기서 }는 복소수 의 켤레복소수) 양정치성 (Positive-definiteness): 임의의 ∈ 에 대해, 는 0보다 크거나 같은 실수이며, 일 필요충분조건은 이다.

용어

영어 명칭	inner product space
다른 영어 명칭	metric vector space

예시

유클리드 공간	유클리드 공간 에서 벡터 와 의 내적은 다음과 같이 정의된다.
복소수 공간	복소수 공간 에서 벡터 와 의 내적은 다음과 같이 정의된다. }
함수 공간	구간 [a, b]에서 정의된 복소수 값 연속 함수의 벡터 공간 에서 내적은 다음과 같이 정의될 수 있다.

성질

코시-슈바르츠 부등식	임의의 , ∈ 에 대해, 가 성립한다. 여기서 }는 의 노름이다.
직교성	이면 벡터 와 는 서로 직교한다고 한다.
그람-슈미트 과정	그람-슈미트 과정을 사용하여 임의의 선형 독립적인 집합에서 정규 직교 기저를 만들 수 있다.

응용

힐베르트 공간	내적 공간의 완비화는 힐베르트 공간을 이룬다. 힐베르트 공간은 함수해석학과 양자역학에서 중요한 역할을 한다.
푸리에 해석	내적 공간은 푸리에 해석의 기초를 제공한다.
통계학	내적 공간은 통계학에서 주성분 분석과 같은 기법을 사용하는 데 활용된다.

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2. 정의

$\mathbb{K}$ 가 실수체 또는 복소수체일 때, $\mathbb{K}$ -벡터 공간 $V$ 위의 내적(內積, inner product^영어)은 다음 세 조건을 만족시키는 함수 $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbb{K}$ 이다.

* (양의 정부호성) 임의의 $0\ne v\in V$ 에 대하여, $\langle v,v\rangle>0$
* (에르미트성) 임의의 $u,v\in V$ 에 대하여, $\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$
* (왼쪽 선형성) 임의의 $a,b\in\mathbb{K}$ 및 $u,v,w\in V$ 에 대하여, $\langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle$

이 성질들로부터 내적은 다음 성질을 갖는다.
* (오른쪽 반선형성) 임의의 $a,b\in \mathbb{K}$ 및 $u,v,w\in V$ 에 대하여, $\langle w,au+bv\rangle=\bar a\langle w,u\rangle+\bar b\langle w,v\rangle$

내적이 주어진 $\mathbb{K}$ -벡터 공간 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 을 $\mathbb{K}$ -내적 공간이라고 한다.

실수 및 복소수체 위에서 정의되는 내적은 아래와 같다.

2.1. 실수 내적 공간

실수체 위에서의 내적은 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식으로 정의된다. 이는 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbb{R}$ 이다.

* (양의 정부호성) 임의의 $0\ne v\in V$ 에 대하여, $\langle v,v\rangle>0$
* (대칭성) 임의의 $u,v\in V$ 에 대하여, $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$
* (왼쪽 선형성) 임의의 $a,b\in\mathbb{R}$ 및 $u,v,w\in V$ 에 대하여, $\langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle$

스칼라의 체 $F$ 가 실수체 $\mathbb{R}$ 인 경우, 켤레 대칭성은 대칭성과 같다.

2.2. 복소수 내적 공간 (유니터리 공간)

복소수체 $\mathbb{C}$ 위의 벡터 공간에서 정의되는 내적은 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식이다. 즉, 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbb{C}$ 이다.

* (양의 정부호성) 임의의 $0\ne v\in V$ 에 대하여, $\langle v,v\rangle>0$
* (에르미트성) 임의의 $u,v\in V$ 에 대하여, $\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$
* (왼쪽 선형성) 임의의 $a,b\in\mathbb{C}$ 및 $u,v,w\in V$ 에 대하여, $\langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle$

이러한 성질들로부터, 내적은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* (오른쪽 반쌍선형성) 임의의 $a,b\in \mathbb{C}$ 및 $u,v,w\in V$ 에 대하여, $\langle w,au+bv\rangle=\bar a\langle w,u\rangle+\bar b\langle w,v\rangle$

내적이 주어진 복소수 벡터 공간 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 을 유니터리 공간(unitary space^영어)이라고 부르기도 한다.

3. 성질

내적 공간의 성질은 내적의 정의로부터 유도된다. 여기서 , , 는 임의의 벡터이고, 와 는 임의의 스칼라이다.

* $\langle \mathbf{0}, x \rangle=\langle x,\mathbf{0}\rangle=0.$
* $\langle x, x \rangle$ 는 실수이고 음이 아니다.
* $\langle x, x \rangle = 0$ 일 필요충분조건은 $x=\mathbf{0}.$ 이다.
* $\langle x, ay+bz \rangle= \overline a \langle x, y \rangle + \overline b \langle x, z \rangle.$ 이는 내적이 세스퀴선형 형식임을 의미한다.
* $\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\operatorname{Re}(\langle x, y \rangle) + \langle y, y \rangle,$ 여기서 $\operatorname{Re}$ 은 인수의 실수 부분을 나타낸다.

$\R$ 위에서 켤레 대칭은 대칭으로, 세스퀴선형성은 쌍선형성으로 축소된다. 따라서 실수 벡터 공간에서의 내적은 양의 정부호 쌍선형 형식이다. 이 경우, 제곱의 이항 전개는 다음과 같다.

: $\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle .$

내적을 나타내는 기호로는 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ , $\left ( \cdot, \cdot \right )$ , $\langle \cdot | \cdot \rangle$ , $\left ( \cdot | \cdot \right )$ 등이 있으며, 점곱도 사용된다.

물리학이나 행렬 대수학에서는 내적과 반선형 형식을 정의할 때 첫 번째 인수가 아닌 두 번째 인수에 대해 선형으로 정의하는 경우가 있다. 이 경우 첫 번째 인수가 켤레 선형이 된다. 양자역학에서는 브라-켓 표기법을 사용하여 $\langle \cdot | \cdot \rangle$ 와 같은 표기법을 사용하며, 여기서 $\langle x | y \rangle := \left ( y, x \right )$ 이다.

코시-슈바르츠 부등식: $\langle x,y \rangle^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle$

3.1. 노름 구조

$\mathbb K$ -내적 공간 $V$ 에는 다음과 같이 자연스러운 $\mathbb K$ -노름 공간 구조를 줄 수 있다.

: $\Vert v\Vert=\sqrt{\langle v,v\rangle}$

노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 따름정리이다.

반대로, $\mathbb K$ -노름 공간이 $\mathbb K$ -내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 평행사변형 법칙

: $2\Vert u\Vert^2+2\Vert v\Vert^2=\Vert u+v\Vert^2+\Vert u-v\Vert^2\qquad\forall u,v\in V$

이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 극화 항등식(polarization identity^영어)이라고 한다.

: $\langle u,v\rangle=\begin{cases}\frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2&\mathbb K=\mathbb R\\\frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2+\frac i4\Vert u+iv\Vert^2-\frac i4\Vert u-iv\Vert^2&\mathbb K=\mathbb C\end{cases}$

모든 내적 공간은 표준 노름을 유도하며, 이를 통해 노름 벡터 공간이 된다.

3.2. 코시-슈바르츠 부등식

내적 공간 $V$ 의 벡터 $v\in V$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립하며, 이를 코시-슈바르츠 부등식이라고 한다.
: $|\langle u,v\rangle|\le\Vert u\Vert\Vert v\Vert$
: $|\langle u,v\rangle|=\Vert u\Vert\Vert v\Vert\iff\operatorname{rank}\{u,v\}<2$
이에 따라, 두 벡터 $u,v\in V$ 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다.
: $\arccos\frac{\operatorname{Re}\langle u,v\rangle}{\Vert u\Vert\Vert v\Vert}$
또한, 내적이 유도하는 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다.

코시-슈바르츠 부등식은 모든 $x, y\in V$ 에 대해
: $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \, \|y\|$
이며, 등식은 $x$ 와 $y$ 가 선형 의존일 때에만 성립한다. 러시아어 문헌에서는 코시-부냐코프스키-슈바르츠 부등식이라고도 부른다.

내적 공간에서, 임의의 원소 $x, y$ 에 대해
: $|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$
이 성립한다 (등호는 $x$ 와 $y$ 가 선형 종속일 때, 그리고 그 때에만 성립한다).

$F$ = R인 경우에는 두 개의 0이 아닌 벡터 $x, y$ 사이의 각도를 등식
: $\operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}$
로 정의하는 것이 정당화될 수 있다. 여기서는 각도 값을 $[0, \pi]$ 에서 선택하는 것으로 한다. 이것은 2차원 유클리드 공간에서의 대응물이다.

$F$ = C인 경우의 각도 (닫힌 구간 $[0, \pi/2]$ )는
: $\operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac$

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{\|x\| \cdot \|y\|}
로 정의하는 것이 일반적이다. 이러한 각도 정의에 호응하여,

V

의 두 개의 0이 아닌 벡터

x, y

가 직교하는 필요충분조건을 그들의 내적의 값이

0

이 되는 것으로 정한다.

3.3. 직교성

두 벡터 $x$ 와 $y$ 의 내적이 0일 때, 즉 $\langle x, y \rangle = 0$ 일 때, 이들을 [[직교 (수학)|직교 벡터]]라고 하며, 종종 $x \perp y$ 로 표기한다.

이는 모든 스칼라 $s$ 에 대해 $\|x\| \leq \|x + s y\|$ 인 경우에만 해당한다. 실수 값을 갖는 함수 $f(s) := \|x + s y\|^2 - \|x\|^2$ 이 음수가 아닌 경우에만 해당한다. (이는 $y \neq 0$ 인 경우 스칼라 $s_0 = - \tfrac{\overline{\langle x, y \rangle}}{\|y\|^2}$ 가 $f$ 를 최소화하고 값 $f\left(s_0\right) = - \tfrac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|y\|^2}$ 을 갖는다는 사실의 결과이며, 이는 항상 음수가 아니다).

복소수 내적 공간에서는, 실수 내적 공간에서와 달리 항등적으로 0인 연산자만이 모든 벡터와 직교한다. 실수 내적 공간에서는 90° 회전과 같이 0이 아니면서 모든 벡터와 직교하는 연산자가 존재할 수 있다.

집합 $C \subseteq V$ 의 직교 여공간은 $C$ 의 모든 원소에 직교하는 벡터의 집합 $C^{\bot}$ 이다. 즉,
$C^{\bot} := \{\,y \in V : \langle y, c \rangle = 0 \text{ for all } c \in C\,\}.$
이 집합 $C^{\bot}$ 는 항상 $V$ 의 닫힌 벡터 부분 공간이며, $V$ 에서 $C$ 의 폐포 $\operatorname{cl}_V C$ 가 벡터 부분 공간이면 $\operatorname{cl}_V C = \left(C^{\bot}\right)^{\bot}.$ 이다.

$x$ 와 $y$ 가 직교하면,
$\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x + y\|^2.$
가 성립한다. 이를 피타고라스 정리라고 하며, 유클리드 기하학에서의 기하학적 해석에서 유래한다.

파르세발의 등식은 피타고라스 정리를 확장한 것으로 볼 수 있는데, 귀납법에 따라, $x_1, \ldots, x_n$ 가 쌍별로 직교하면,
$\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i\right\|^2.$
가 성립함을 알 수 있다.

내적이 실수인 경우, 코사인 유사도를 이용하여 두 벡터 사이의 각을 정의할 수 있다.

3.4. 정규 직교 기저

내적 공간 $V$ 의 정규 직교 기저는 다음 조건을 만족하는 기저 $B\subseteq V$ 이다.

* (직교성) $e,e'\in B$ 이고 $e\ne e'$ 이면, $\langle e,e'\rangle=0$
* (정규성) 임의의 $e\in B$ 에 대하여, $\Vert e\Vert=1$

즉, 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0이고, 각 벡터의 크기가 1인 벡터들로 이루어진 기저이다.

유한 차원 내적 공간에서는 그람-슈미트 과정을 통해 항상 정규 직교 기저를 구성할 수 있다.

내적 공간 $V$ 의 벡터 $v\in V$ 와 유한 정규 직교 집합 $S\subseteq V\setminus\{0\}$ 에 대해, 베셀 부등식과 유사한 다음 부등식이 성립한다.

: $\sum_{e\in S}|\langle v,e\rangle|^2\le\Vert v\Vert^2$
: $\sum_{e\in S}|\langle v,e\rangle|^2=\Vert v\Vert^2\iff v=\sum_{e\in S}\langle v,e\rangle e$

3.5. 선형 범함수

유한 차원 내적 공간 $V$ 의 모든 선형 범함수는 어떤 유일한 고정된 벡터 $v\in V$ 와의 내적으로 나타낼 수 있다. 즉,
: $V\to\mathbb K$
: $u\mapsto\langle u,v\rangle$
이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 $B\subseteq V$ 가 주어졌을 때, 선형 범함수 $f\colon V\to F$ 를 나타내는 벡터는 다음과 같다.
: $v=\sum_{e\in B}\overline{f(e)}e$
이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 $T\colon V\to V$ 의 수반 선형 변환 $T^*\colon V\to V$ 은 항상 존재한다.
: $\langle Tu,v\rangle=\langle u,T^*v\rangle\qquad\forall u,v\in V$
그러나 무한 차원 내적 공간의 경우에는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 $\mathbb C[x]$ 에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
: $\langle p,q\rangle=\int_a^b p(x)\overline{q(x)}dx=\sum_{k=0}^{\deg p}\sum_{k'=0}^{\deg q}\frac{p_k\overline{q_{k'}}}{k+k'+1}$
이 경우, 임의의 $c\in\mathbb C$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다.
: $\mathbb C[x]\to\mathbb C$
: $p\mapsto p(c)$
또한 미분 선형 변환
: $D\colon\mathbb C[x]\to\mathbb C[x]$
: $D\colon x^n\mapsto nx^{n-1}\qquad n=0,1,2,\dots$
의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다.

4. 예

실수 $\R$ 은 산술 곱셈을 내적으로 사용하여 내적 공간이 된다.

: $\langle x, y \rangle := x y \quad \text{ for } x, y \in \R.$

복소수 $\Complex$ 는 다음 내적을 사용하여 내적 공간이 된다.

: $\langle x, y \rangle := x \overline{y} \quad \text{ for } x, y \in \Complex.$

실수 $n$ 차원 공간 $\R^n$ 에 점곱을 사용하면 유클리드 벡터 공간의 예시가 되는 내적 공간이 된다.

: $\left\langle\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}\right\rangle= \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n,$

에르미트 형식은 $\Complex^n$ 에서 내적의 일반적인 형태로 다음과 같이 주어진다.

: $\langle x, y \rangle = y^\dagger \mathbf{M} x = \overline{x^\dagger \mathbf{M} y},$

여기서 $M$ 은 임의의 에르미트 양의 정부호 행렬이고, $y^{\dagger}$ 는 $y$ 의 켤레 전치 행렬이다.

실수 정사각 행렬의 경우, $\langle A, B \rangle := \operatorname{tr}\left(AB^\top\right)$ 는 내적이 된다. 여기서 $\operatorname{tr}$ 은 대각합을 나타내고, $B^\top$ 은 $B$ 의 전치 행렬이다.

확률 변수 $X$ , $Y$ 에 대해, 그들의 곱의 기댓값 $\langle X, Y \rangle := \operatorname{E}(XY)$ 는 내적이 된다.

4.1. 유한 차원 벡터 공간 위의 내적

$n$ 차원 벡터 공간 $\mathbb K^n$ 위의 표준적인 내적은 다음과 같이 정의된다.

: $\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^nx_k\overline{y_k}$

* $\mathbb K=\mathbb R$ 인 경우, $\mathbb R^n$ 은 유클리드 공간이며, 이 내적은 스칼라곱으로 불린다. 이때 실수의 켤레 복소수는 자기 자신과 같다 ( $\overline{y_k}=y_k$ ). 이 내적이 유도하는 노름은 L² 노름이다. 그러나 $p\ne2$ 인 경우, L^p 노름은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다.
* 특히, $n=1$ 인 경우 $\mathbb K$ 는 1차원 벡터 공간이며, 위 내적은 단순히

: $\langle x,y\rangle=x\overline{y}$

이다.

실수 또는 복소수 성분 행렬들의 집합 $\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb K)$ 은 $mn$ 차원 벡터 공간을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 프로베니우스 내적을 정의할 수 있다.

: $\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(X^\dagger\bar Y)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nX_{ij}\overline{Y_{ij}}$

양의 정부호 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb K)$ 에 대하여, $\mathbb K^n$ 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

: $\langle x,y\rangle=x^\operatorname TM\bar y=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nM_{ij}x_i\overline{y_j}$

실수 $n$ 차원 공간 $\R^n$ 에 점곱을 사용하면 내적 공간이 되며, 이는 유클리드 벡터 공간의 한 예시이다.

: $\left\langle\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}\right\rangle= x^\textsf{T} y = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n,$

여기서 $x^{\operatorname{T}}$ 는 $x$ 의 전치 행렬이다.

함수 $\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle : \R^n \times \R^n \to \R$ 는 대칭 양의 정부호 행렬 $\mathbf{M}$ 이 존재하여 모든 $x, y \in \R^n$ 에 대해 $\langle x, y \rangle = x^{\operatorname{T}} \mathbf{M} y$ 를 만족할 때, $\R^n$ 상의 내적이 된다.

$\Complex^n$ 에서의 내적의 일반적인 형태는 에르미트 형식으로 알려져 있으며, 다음과 같이 주어진다.

: $\langle x, y \rangle = y^\dagger \mathbf{M} x = \overline{x^\dagger \mathbf{M} y},$

여기서 $M$ 은 임의의 에르미트 양의 정부호 행렬이고, $y^{\dagger}$ 는 $y$ 의 켤레 전치 행렬이다.

같은 크기의 복소수 정사각 행렬에 대한 내적은 프로베니우스 내적 $\langle A, B \rangle := \operatorname{tr}\left(AB^\dagger\right)$ 이다.

4.2. 함수 공간

연속 함수의 공간 $\mathcal C([a,b];\mathbb K)$ 에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
: $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}dx$
여기서 우변의 적분은 리만 적분이다. 또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다.
: $\langle f,g\rangle=\int_a^bx^2f(x)\overline{g(x)}dx$

가측 함수 $(\Omega,\Sigma,\mu)\to\mathbb K$ 들의 (거의 어디서나 같음에 대한) 동치류들로 구성된 $\mathbb K$ -벡터 공간 $\operatorname L^2(\Omega;\mathbb K)$ 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
: $\langle f,g\rangle=\int_a^b f\overline{g}d\mu$
여기서 우변은 르베그 적분이다. 이를 L² 공간이라고 한다. 특히, $(\Omega,\Sigma,\mu)$ 가 확률 공간일 때, $\operatorname L^2(\Omega;\mathbb K)$ 은 확률 변수들의 동치류들로 이루어지며, 적분은 기댓값이다. 따라서, 두 확률 변수 $X,Y\colon\Omega\to\mathbb K$ 의 내적은 다음과 같다.
: $\langle X,Y\rangle=\operatorname E(X\overline{Y})$
가측 함수나 확률 변수의 동치류를 취하는 것은 내적을 양의 정부호적이게 만들기 위함이다. 예를 들어, $\langle X,X\rangle=0$ 일 필요충분조건은 거의 확실하게 $X=0$ 인 것이다 ( $\mu(X=0)=1$ ). 따라서, 스스로와의 내적이 0인 경우가 0밖에 없으려면 거의 어디서나 같은 함수들을 하나의 동치류로 뭉뚱그려야 한다.

힐베르트 공간에서는 내적이 유도하는 거리가 완비가 되는 내적 공간의 다양한 예가 있다. 완비가 아닌 내적을 갖는 내적 공간에는, 예를 들어 닫힌 구간 위의 복소수 값 연속 함수 전체가 이루는 공간이 있다. 내적은
: $\langle f, g \rangle := \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, dt$
으로 주어진다. 이 공간이 완비가 아닌 것은, 예를 들어 닫힌 구간 [-1, 1] 위에서
: $f_k(t) = \begin{cases}0 &(t \in [-1,0]) \\1 &(t \in [\tfrac{1}{k}, 1]) \\kt &(t \in (0, \tfrac{1}{k})\end{cases}$
으로 정의되는 계단 함수열을 생각하면, 이 열은 내적에 의해 유도되는 노름에 관해 코시 열을 이루지만, 이것은 연속 함수에 수렴하지 않음을 보면 알 수 있다.

4.3. 확률 변수

확률 공간 $(\Omega,\Sigma,\mu)$ 에서 정의된 확률 변수들의 동치류로 구성된 벡터 공간 $\operatorname L^2(\Omega;\mathbb K)$ 에서, 두 확률 변수 $X,Y\colon\Omega\to\mathbb K$ 의 내적은 다음과 같이 정의된다.

: $\langle X,Y\rangle=\operatorname E(X\overline{Y})$

여기서 $\operatorname E$ 는 기댓값을 나타낸다. 즉, 두 확률 변수의 곱의 기댓값이 내적이 된다.

이때, $\langle X, X\rangle = 0$ 이 성립하기 위한 필요충분조건은 $\mathbb{P}[X = 0] = 1$ 이다. 다시 말해, $X = 0$ 이 거의 확실하게 성립한다. 여기서 $\mathbb{P}$ 는 해당 사건의 확률을 나타낸다. 이러한 기댓값을 내적으로 정의하는 방식은 확률 벡터로도 확장할 수 있다.

5. 연산자

작용소 이론은 내적 공간에서 정의되는 여러 종류의 선형 사상들을 다룬다. 내적 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 선형 사상 $A : V \to W$ 에는 다음과 같은 것들이 있다.

* 연속 선형 사상: $A$ 는 선형이며, 주어진 거리 함수에 대해 연속이다.
* 대칭 선형 작용소: $V$ 의 임의의 원소 $x, y$ 에 대해 $\langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle$ 를 만족한다.
* 등거리 사상: $V$ 의 임의의 원소 $x$ 에 대해 $\|A x\| = \|x\|$ 가 성립한다.
* 등거리 동형: $A$ 는 전사인 등거리 사상이다. 등거리 동형은 유니타리 연산자라고도 한다.

스펙트럼 정리는 유한 차원 내적 공간에서 이러한 연산자들(대칭, 유니타리, 정규 작용소)에 대한 표준 형태를 제공한다.

5.1. 연속 선형 작용소

내적 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 선형 사상 $A : V \to W$ 에는 다음과 같은 종류가 있다.

* 연속 선형 사상: $A : V \to W$ 는 선형이며 위에 정의된 거리에 대해 연속이다. $x$ 가 $V$ 의 닫힌 단위 구를 나타낼 때, 음이 아닌 실수 집합 $\{ \|Ax\| : \|x\| \leq 1\}$ 는 유계인 경우와 동등하다.
* 대칭 선형 연산자: $A : V \to W$ 는 선형이며 모든 $x, y \in V$ 에 대해 $\langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle$ 이다.
* 등거리 사상: $A : V \to W$ 는 모든 $x \in V$ 에 대해 $\|A x\| = \|x\|$ 를 만족한다. 선형 사상이기도 한 등거리 사상이다. 내적 공간의 경우, 분극 항등식을 사용하여 $A$ 가 모든 $x, y \in V$ 에 대해 $\langle Ax, Ay \rangle = \langle x, y \rangle$ 인 경우에만 등거리 사상임을 보일 수 있다. 모든 등거리 사상은 단사이다. 마주르-울람 정리는 두 개의 실수 노름 공간 사이의 모든 전사 등거리 사상이 아핀 변환임을 보여준다. 결과적으로, 실수 내적 공간 사이의 등거리 사상 $A$ 는 $A(0) = 0$ 인 경우에만 선형 사상이다. 등거리 사상은 내적 공간 사이의 사상이며, 실수 내적 공간의 사상은 직교 변환(직교 행렬과 비교)이다.
* 등거리 동형: $A : V \to W$ 는 전사(따라서 전단사)인 등거리 사상이다. 등거리 동형은 유니타리 연산자(유니타리 행렬과 비교)라고도 한다.

내적 공간 이론의 관점에서 볼 때, 등거리 동형인 두 공간을 구별할 필요가 없다. 스펙트럼 정리는 유한 차원 내적 공간에서 대칭, 유니타리 및 일반적으로 정규 작용소에 대한 표준 형태를 제공한다. 스펙트럼 정리의 일반화는 힐베르트 공간에서 연속 정규 작용소에 적용된다.

5.2. 대칭 선형 작용소

내적 공간 $V$ 에서 $V$ 로의 선형 작용소 $A : V \to V$ 가 모든 $x, y \in V$ 에 대해 $\langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle$ 를 만족하면, $A$ 를 대칭 선형 작용소라고 한다.

스펙트럼 정리는 유한 차원 내적 공간에서 대칭 선형 작용소에 대한 표준 형태를 제공한다. 스펙트럼 정리의 일반화는 힐베르트 공간에서 연속 정규 작용소에도 적용된다.

5.3. 등거리 사상

내적 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 등거리 사상 $A : V \to W$ 는 모든 $x \in V$ 에 대해 $\|A x\| = \|x\|$ 를 만족하는 사상이다. 선형 등거리 사상 또는 반선형 등거리 사상은 선형 사상 또는 반선형 사상이기도 한 등거리 사상이다. 내적 공간의 경우, 분극 항등식을 사용하면 $A$ 가 모든 $x, y \in V$ 에 대해 $\langle Ax, Ay \rangle = \langle x, y \rangle$ 인 경우에만 등거리 사상임을 보일 수 있다.

모든 등거리 사상은 단사이다. 마주르-울람 정리에 따르면, 두 개의 실수 노름 공간 사이의 모든 전사 등거리 사상은 아핀 변환이다. 결과적으로, 실수 내적 공간 사이의 등거리 사상 $A$ 는 $A(0) = 0$ 인 경우에만 선형 사상이다. 등거리 사상은 내적 공간 사이의 사상이며, 실수 내적 공간의 사상은 직교 변환(직교 행렬과 비교)이다.

5.4. 등거리 동형 (유니터리 연산자)

내적 공간 이론에서, 등거리 동형(isometry)은 두 내적 공간 사이에 정의되는 특별한 선형 사상이다. $V$ 와 $W$ 가 내적 공간이라고 할 때, 등거리 동형 $A : V \to W$ 는 다음 성질을 만족하는 전사 함수(따라서 전단사 함수)인 등거리 사상이다.

* 등거리 사상: 모든 $x \in V$ 에 대해 $\|A x\| = \|x\|$ 를 만족한다. 즉, $A$ 는 벡터의 크기를 보존한다.
* 전사 함수: $A$ 는 $V$ 의 모든 원소를 $W$ 의 모든 원소에 대응시킨다. 즉, $W$ 의 모든 원소 $w$ 에 대해, $Ax = w$ 를 만족하는 $x \in V$ 가 존재한다.

선형 등거리 사상은 모든 $x, y \in V$ 에 대해 $\langle Ax, Ay \rangle = \langle x, y \rangle$ 인 경우에만 등거리 사상임을 보일 수 있다. 즉, 내적을 보존한다. 모든 등거리 사상은 단사 함수이다.

등거리 동형은 유니터리 연산자라고도 불리며, 이는 유니터리 행렬과 유사한 개념이다.

내적 공간 이론의 관점에서, 등거리 동형인 두 공간은 사실상 동일한 구조를 가진 것으로 간주되어 구별할 필요가 없다. 스펙트럼 정리는 유한 차원 내적 공간에서 대칭, 유니터리 및 일반적으로 정규 작용소에 대한 표준 형태를 제공한다.

6. 일반화

내적 공간의 공리 중 일부를 약화시켜 일반화된 개념을 얻을 수 있다. 이 중 쌍선형성과 켤레 대칭성을 유지하면서 양의 정부호성을 약화시키는 일반화가 내적과 가장 유사하다.

비퇴화 형식을 갖는 벡터 공간에서는 벡터를 코벡터로 보낼 수 있다. 따라서 단순히 벡터와 코벡터가 아닌 두 벡터의 내적과 외적을 취할 수 있다.

6.1. 퇴화 내적

만약 $V$ 가 벡터 공간이고 $\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle$ 가 반정부호 쌍선형 형식이라면, 다음 함수는 의미가 있다.

$\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}$

위 식은 $\|x\| = 0$ 이 $x = 0$ 을 의미하지 않는다는 점을 제외하고는 세미 노름의 모든 성질을 만족시킨다. 우리는 몫 $W = V / \{x : \|x\| = 0\}$ 를 고려하여 내적 공간을 생성할 수 있다. 쌍선형 형식 $\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle$ 는 $W$ 를 통해 인수분해된다.

이 구성은 수많은 맥락에서 사용된다. 겔판트-나이마르크-세갈 구성은 이 기술의 사용에 대한 특히 중요한 예시이다. 또 다른 예시는 임의의 집합에 대한 반정부호 커널의 표현이다.

6.2. 비퇴화 켤레 대칭 형식

비퇴화 형식을 갖는 벡터 공간에서는 벡터를 코벡터로 보낼 수 있다. 두 벡터의 내적과 외적을 생각할 수 있는데, 내적은 $1 \times n$ 코벡터와 $n \times 1$ 벡터의 곱으로 스칼라를 생성하고, 외적은 $m \times 1$ 벡터와 $1 \times n$ 코벡터의 곱으로 $m \times n$ 행렬을 생성한다.

쌍이 비퇴화 형식이 되도록 요구할 수 있다. 이는 모든 영이 아닌 $x \neq 0$ 에 대해 $\langle x, y \rangle \neq 0$ 인 $y$ 가 존재한다는 의미이지만, $y$ 가 $x$ 와 같을 필요는 없다. 즉, 쌍대 공간 $V \to V^*$ 로 유도된 사상은 단사 함수이다.

이러한 일반화는 미분 기하학에서 중요한데, 접선 공간에 내적이 있는 다양체는 리만 다양체이고, 비퇴화 켤레 대칭 형식과 관련된 경우 해당 다양체는 유사 리만 다양체이다. 실베스터의 관성 법칙에 의해 모든 비퇴화 켤레 대칭 형식은 일련의 벡터에 대한 영이 아닌 가중치를 갖는 점곱과 유사하다. 양의 가중치와 음의 가중치의 개수를 각각 양의 지수와 음의 지수라고 한다. 민코프스키 공간에서 벡터의 곱은 부정 내적의 예시인데, 엄밀히 말하면 표준 정의에 따르면 내적이 아니다.

정의	선형대수학에서, 내적 공간(inner product space)은 벡터 공간에 내적이라는 추가 구조가 정의된 공간이다.
특징	내적을 통해 벡터의 길이, 두 벡터 사이의 각도, 직교성 등의 개념을 형식화할 수 있다.
중요성	내적 공간은 힐베르트 공간을 정의하는 데 사용되며, 푸리에 해석, 양자역학, 통계학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

형식적 정의

벡터 공간	는 체 (실수 또는 복소수) 위의 벡터 공간이다.
내적	위의 내적은 함수 로, 다음 공리들을 만족한다.
공리	선형성 (Linearity): 임의의 , , ∈ 와 , ∈ 에 대해, 켤레 대칭성 (Conjugate symmetry): 임의의 , ∈ 에 대해, } (여기서 }는 복소수 의 켤레복소수) 양정치성 (Positive-definiteness): 임의의 ∈ 에 대해, 는 0보다 크거나 같은 실수이며, 일 필요충분조건은 이다.

용어

영어 명칭	inner product space
다른 영어 명칭	metric vector space

예시

유클리드 공간	유클리드 공간 에서 벡터 와 의 내적은 다음과 같이 정의된다.
복소수 공간	복소수 공간 에서 벡터 와 의 내적은 다음과 같이 정의된다. }
함수 공간	구간 [a, b]에서 정의된 복소수 값 연속 함수의 벡터 공간 에서 내적은 다음과 같이 정의될 수 있다.

성질

코시-슈바르츠 부등식	임의의 , ∈ 에 대해, 가 성립한다. 여기서 }는 의 노름이다.
직교성	이면 벡터 와 는 서로 직교한다고 한다.
그람-슈미트 과정	그람-슈미트 과정을 사용하여 임의의 선형 독립적인 집합에서 정규 직교 기저를 만들 수 있다.

응용

힐베르트 공간	내적 공간의 완비화는 힐베르트 공간을 이룬다. 힐베르트 공간은 함수해석학과 양자역학에서 중요한 역할을 한다.
푸리에 해석	내적 공간은 푸리에 해석의 기초를 제공한다.
통계학	내적 공간은 통계학에서 주성분 분석과 같은 기법을 사용하는 데 활용된다.