맨위로가기

퇴플리츠 연산자

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

퇴플리츠 연산자는 단위 원 상의 함수에 연관된 연산자이다. 구체적으로, 유계 가측 함수 g에 대해 정의되며, 하디 공간으로의 투영과 곱셈 연산자를 결합하여 정의된다. 퇴플리츠 연산자는 행렬 표현이 상수 대각선을 가질 때만 특정 기저에서 퇴플리츠 연산자가 된다. 이 연산자는 프레드홀름 연산자와 밀접한 관련이 있으며, 연속 함수 g에 대해 T_g - λ가 λ가 g(S^1)에 속하지 않을 때만 프레드홀름 연산자라는 정리가 있다. 또한, 액슬러-창-새라슨 정리는 특정 조건 하에서 연산자 T_f T_g - T_{fg}가 콤팩트 연산자임을 밝힌다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 연산자 이론 - 힐베르트 공간
    힐베르트 공간은 내적 공간이면서 내적으로부터 유도된 거리 함수에 대해 완비 거리 공간을 이루는 공간으로, 다양한 함수 공간의 예시를 가지며 푸리에 해석, 양자역학 등 여러 분야에 응용된다.
  • 연산자 이론 - C* 대수
    C* 대수는 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 결합한 복소수 벡터 공간으로, 겔판트-나이마르크 정리에 따라 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 선형 연산자 대수로 표현될 수 있으며, 함수해석학, 수리물리학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다.
퇴플리츠 연산자

2. 정의

단위 원 S^1을 복소 평면 내의 단위 원으로 하고, 표준 르베그 측도를 갖는다고 하자. 그리고 L^2(S^1)을 복소수 값을 가지는 제곱 적분 가능 함수들의 힐베르트 공간이라고 하자. S^1 상의 유계 가측 복소수 값 함수 g는 ''L^2(S^1)'' 상에서 곱셈 연산자 M_g를 정의한다. P를 ''L^2(S^1)''에서 하디 공간 H^2로의 투영이라고 하자. "심볼 g를 갖는 퇴플리츠 연산자"는 다음과 같이 정의된다.

:T_g = P M_g \vert_{H^2},

여기서 " | "는 제한을 의미한다.

H^2 상의 유계 연산자는, 그 기저 \{z^n, z \in \mathbb{C}, n \geq 0\}에서 행렬 표현이 상수 대각선을 가지는 경우에만 퇴플리츠 연산자이다.

3. 성질

4. 관련 정리

만약 g가 연속 함수이면, T_g - \lambda는 \lambda가 집합 g(S^1)에 속하지 않을 경우에만 프레드홀름 연산자이다. 프레드홀름인 경우, 그 지수는 g가 원점에 대해 그리는 곡선의 회전수의 음수이다. 이 정리는 마르크 크레인, 해롤드 위돔, 앨런 데비나츠의 연구 결과이며, 아티야-싱어 지표 정리의 중요한 특수한 경우로 볼 수 있다.

액슬러-창-새라슨 정리에 따르면, 연산자 T_f T_g - T_{fg}는 H^\infty[\bar f] \cap H^\infty [g] \subseteq H^\infty + C^0(S^1)일 경우에만 콤팩트 연산자이다. 여기서 H^\infty는 해석 함수(음의 푸리에 계수가 사라지는 함수)의 L^\infty (S^1)의 닫힌 부분 대수를 나타내고, H^\infty [f]는 f 와 H^\infty에 의해 생성된 L^\infty (S^1)의 닫힌 부분 대수이며, C^0(S^1)는 원 위의 연속 함수의 공간(대수적 집합으로)이다.

4. 1. 프레드홀름 연산자와의 관계

g가 연속 함수이면, T_g - \lambda는 \lambda가 집합 g(S^1)에 속하지 않을 경우에만 프레드홀름 연산자이다. 프레드홀름인 경우, 그 지수는 g가 원점에 대해 그리는 곡선의 회전수의 음수이다. 이 정리는 마르크 크레인, 해롤드 위돔, 앨런 데비나츠의 연구 결과이며, 아티야-싱어 지표 정리의 중요한 특수한 경우로 볼 수 있다.

연산자 T_f T_g - T_{fg}는 H^\infty[\bar f] \cap H^\infty [g] \subseteq H^\infty + C^0(S^1)일 경우에만 콤팩트 연산자이다. 여기서 H^\infty는 해석 함수(음의 푸리에 계수가 사라지는 함수)의 L^\infty (S^1)의 닫힌 부분 대수를 나타내고, H^\infty [f]는 f 와 H^\infty에 의해 생성된 L^\infty (S^1)의 닫힌 부분 대수이며, C^0(S^1)는 원 위의 연속 함수의 공간(대수적 집합으로)이다.

4. 2. 액슬러-창-새라슨 정리

액슬러-창-새라슨 정리에 따르면, 연산자 T_f T_g - T_{fg}는 H^\infty[\bar f] \cap H^\infty [g] \subseteq H^\infty + C^0(S^1)일 경우에만 콤팩트이다.

여기서 H^\infty는 해석 함수(음의 푸리에 계수가 사라지는 함수)의 L^\infty (S^1)의 닫힌 부분 대수를 나타내고, H^\infty [f]는 f 와 H^\infty에 의해 생성된 L^\infty (S^1)의 닫힌 부분 대수이며, C^0(S^1)는 원 위의 연속 함수의 공간(대수적 집합으로)이다.

5. 응용


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com