C* 대수
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2. 정의
C* 대수의 개념은 여러 방식으로 정의될 수 있다. 추상적으로는 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 볼 수 있다. 또한, 복소수 바나흐 공간 구조가 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있으므로, 순수하게 대수학적인 관점에서 특별한 형태의 복소수 대합 대수 로 정의할 수도 있다. 구체적으로는 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 정의하기도 한다. 이러한 다양한 정의 방식들은 모두 서로 동치 이다.복소수 체 위의 대수 구조에 특정 조건을 만족하는 노름과 대합 연산(x \mapsto x^* )이 주어진 수학적 대상이다. 특히, 노름과 대합 연산 사이의 중요한 관계식인 '''C* 항등식'''(\|x^*x\| = \|x\|^2 )을 만족해야 한다. 이 항등식은 C* 대수의 구조를 결정하는 핵심적인 역할을 하며, C* 노름이 대수적 구조에 의해 유일하게 결정된다는 강력한 성질을 내포한다.\lVert x x^* \rVert = \lVert x \rVert ^2 )을 만족하는 바나흐 *-대수를 지칭하기 위해 도입한 용어이다. 이 조건은 C* 항등식과 동치임이 밝혀졌으며
2. 1. 추상적 정의
C* 대수는 복소수 체 위의 대수 A 에 다음과 같은 구조들이 주어진 것이다.A 는 대합 이라 불리는 사상 *\colon A \to A, a\mapsto a^* 을 가지며, 이는 다음 성질들을 만족시킨다. (이러한 구조를 갖춘 대수를 *-대수라고 한다.)a, b \in A 와 \lambda, \mu \in \mathbb{C} 에 대해 (\lambda a + \mu b)^* = \bar{\lambda} a^* + \bar{\mu} b^* a, b \in A 에 대해 (ab)^* = b^*a^* a \in A 에 대해 (a^*)^* = a A 는 노름 \|\cdot\| 을 가지며, 이 노름에 대해 완비 이고 모든 a, b \in A 에 대해 곱셈 부등식 \|ab\| \le \|a\|\|b\| 를 만족시킨다. (이러한 구조를 갖춘 대수를 바나흐 대수 라고 한다.)a \in A 에 대해 다음 '''C* 항등식'''이 성립한다.\|a^*a\| = \|a\|^2 (또는 동등하게 \|aa^*\| = \|a\|^2 )\|x^*x\| = \|x\|^2 은 다음 두 조건과 동치이다.('''C* 항등식''' C* identityeng ) \Vert x^*x\Vert=\Vert x\Vert\Vert x^*\Vert ('''B* 항등식''' B* identityeng ) \Vert x\Vert=\Vert x^*\Vert \Vert x^*x\Vert=\Vert x\Vert\Vert x^*\Vert )이 B* 항등식(\Vert x\Vert=\Vert x^*\Vert )을 함의하는 것은 비교적 명확하지만, 그 역을 보이는 것은 자명하지 않다.항등원 의 존재를 가정하지는 않지만, 항등원을 가지는 C* 대수는 '''단위적'''(unital)이라고 불린다.2. 2. 대수적 정의
C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 수 있다. 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있으므로, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 형태의 복소수 대합 대수 로 정의할 수도 있다. 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 수 있다. 동치 이다.복소수체 \mathbb{C} 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 (A,^*) 가 다음 조건을 만족하면 '''C* 대수'''라고 한다.a\mapsto\sup\operatorname{sp}(a^*a) 는 A 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.임의의 a\in A 에 대하여, 스펙트럼 \operatorname{sp}(a^*a)\subseteq\mathbb C 는 유계 집합 이다. 임의의 a\in A\setminus\{0\} 에 대하여, 1+\lambda a^*a 가 가역원 이 아니게 만드는 복소수 \lambda\in\mathbb C 가 존재한다. (삼각 부등식 ) 임의의 a,b\in A 에 대하여, \sup\operatorname{sp}((a+b)^*(a+b)) \le (\sqrt{\sup\operatorname{sp}(a^*a)} + \sqrt{\sup\operatorname{sp}(b^*b)})^2 이다. (이는 \sup\operatorname{sp}(a^*a+b^*b+a^*b+b^*a)\le \sup\operatorname{sp}(a^*a)+\sup\operatorname{sp}(b^*b)+2\sqrt{\sup\operatorname{sp}(a^*a)\sup\operatorname{sp}(b^*b)} 와 동치이다.) a\mapsto\sqrt{\sup\operatorname{sp}(a^*a)}$ 는 완비 노름을 이룬다. (즉, \|a\| = \sqrt{\sup\operatorname{sp}(a^*a)} 로 정의된 노름에 대해 완비이다.)겔판트 와 나이마르크 가 제시한 정의에 따르면, C* 대수 ''A''는 복소수 체 위의 바나흐 대수 이며, x \mapsto x^* 로 표시되는 사상 (대합 )이 존재하고 x\in A 에 대해 다음 성질을 만족한다.모든 ''A''의 ''x''에 대해 대합 이다: (x^*)^* = x 모든 ''A''의 ''x'', ''y''에 대해: (x + y)^* = x^* + y^* , (x y)^* = y^* x^* 모든 복소수 \lambda\in\mathbb{C} 와 모든 ''A''의 ''x''에 대해: (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* 모든 ''A''의 ''x''에 대해 '''C* 항등식'''이 성립한다: \|x^* x \| = \|x\|^2 (이는 \|xx^*\| = \|x\|^2 와 동치이며, \|x^*\|=\|x\| 임을 함의한다). \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1 \text{ 은 가역적이지 않다} \}. 조건 설명 1 A 는 복소수체 \mathbb{C} 위의 대수이다.2 대합 \ast\colon a\mapsto a^* 이 존재하며, 이는 반선형이고 반동형이며 대합적이다 ((a^*)^*=a ).3 A 는 노름 \|\cdot\| 을 가지는 바나흐 공간 이며, 대수 곱셈은 노름에 대해 연속이다 (\|ab\| \le \|a\|\|b\| ). 즉, 바나흐 대수 이다.4 \>a^*a\| = \|a\|^2
바나흐 대수 ''', 조건 1, 2, 3을 만족하는 대수를 '''바나흐 *-대수'''라고 한다. 따라서 C*-대수는 C* 항등식을 만족하는 바나흐 *-대수이다. C* 항등식 \|a^*a\| = \|a\|^2 은 때때로 B* 항등식이라고도 불리며, 이 항등식을 만족하는 바나흐 *-대수를 B*-대수라고도 하는데, 이는 C*-대수와 동치인 개념으로 역사적인 명칭이다. 일반적인 C*-대수는 곱셈의 항등원 1 을 가질 필요는 없지만, 항등원을 가지는 C*-대수는 '''단위적'''(unital)이라고 불린다.\pi : A \to B 가 대합 작용 * 을 보존하면( \pi(x^*) = \pi(x)^* ), 즉 *-준동형 사상이면, \pi 는 자동으로 축소 사상 (\|\pi(x)\| \le \|x\| )이 되어 연속 이다. 또한, 단사 적인 *-준동형 사상은 등거리 사상 (\|\pi(x)\| = \|x\| )이다. 이는 C* 항등식의 결과이다. 전단사적인 *-준동형 사상은 '''C*-동형 사상 '''이라고 하며, 이 경우 ''A''와 ''B''는 '''동형'''이라고 한다. 주어진 C*-대수에 대해 그 *-구조와 양립하는 노름은 유일하게 존재한다.
2. 3. 구체적 정의
C* 대수는 구체적으로 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 정의할 수 있다. 이 정의 방식에서는 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현이 정의의 일부로 간주되지는 않는다.A 의 '''*-표현'''(*-representation영어 )은 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H 와, 유계 작용소 들의 복소수 바나흐 대수 \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H) 로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 \iota\colon A\hookrightarrow \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H) 로 구성된다. 즉, \iota 는 단사 함수 이며, 복소수 선형 변환이고, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 (\iota(a^*) = \iota(a)^* ). 여기서 우변의 * 는 유계 작용소 의 에르미트 수반 이다. 어떤 복소수 대합 대수가 그 상 이 (작용소 노름 으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 가질 때, 이를 '''C* 대수'''라고 부른다.영어 )는 임의의 추상적으로 정의된 C* 대수 A 가 실제로는 어떤 복소수 힐베르트 공간 \mathcal H 위의 유계 작용소 대수와 등거리적으로 *-동형임을 보여준다. 즉, \iota\colon A\to\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H) 와 같은 단사 함수 이자 복소수 선형 변환이며 등거리 변환이고, 수반 연산 * 을 보존하는 준동형 사상이 존재하며, 그 상 은 구체적인 C* 대수의 정의에 부합한다. 이 정리는 1943년 겔판트와 나이마르크 의 논문에서 제시된 추상적 정의와 구체적 정의가 동치임을 증명한다.A 는 다음 조건들을 만족하는 복소수 체 위의 바나흐 대수 이다.A 는 복소수 위의 대수 이다.대합 이라 불리는 사상 \ast\colon A \to A, a\mapsto a^* 가 존재하며, 다음을 만족한다:a, b \in A 와 \lambda, \mu \in \mathbb{C} 에 대해 (\lambda a + \mu b)^* = \overline{\lambda} a^* + \overline{\mu} b^* (켤레 선형성)a, b \in A 에 대해 (ab)^* = b^* a^* (반-준동형)a \in A 에 대해 (a^*)^* = a (대합성)A 에는 노름 \|\cdot\| 이 주어져 바나흐 공간 을 이루며, 임의의 a, b \in A 에 대해 다음을 만족한다:\|ab\| \le \|a\| \|b\| (준곱셈적 노름)a \in A 에 대해 '''C* 항등식'''이라 불리는 다음 등식이 성립한다:\|a^*a\| = \|a\|^2 바나흐 대수 '''라 하며, 조건 1, 2, 3을 만족하는 대수를 '''바나흐 *-대수'''라고 부른다. 따라서 C* 대수는 C* 항등식을 만족하는 바나흐 *-대수이다. C* 항등식 \|a^*a\| = \|a\|^2 은 \|aa^*\| = \|a\|^2 와 동치이다. 이 C* 항등식은 매우 강력하여, 예를 들어 스펙트럼 반경 공식과 결합하면 C* 노름이 대수적 구조만으로 유일하게 결정됨을 알 수 있다. \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\
3. 성질
C* 대수는 기술적으로 편리한 여러 성질을 가지며, 이러한 성질 중 일부는 연속 함수 미적분을 사용하거나 가환 C* 대수로의 환원을 통해 증명될 수 있다. 후자의 경우, 가환 C* 대수의 구조가 겔판드 표현 에 의해 완전히 결정된다는 사실을 이용한다.나이마르크 의 논문에서 제시된 C* 대수의 추상적 정의는 다음과 같다.복소수 체 위의 바나흐 대수 이며, 모든 x \in A 에 대해 다음 성질을 만족하는 대합 연산 x \mapsto x^* 을 갖는다.
모든 x \in A 에 대해 (x^*)^* = x (대합성) 모든 x, y \in A 에 대해 (x + y)^* = x^* + y^* 및 (xy)^* = y^* x^* (선형성 및 반-곱셈성) 모든 \lambda \in \mathbb{C} 와 모든 x \in A 에 대해 (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* (반-선형성) 모든 x \in A 에 대해 \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\| (C* 항등식의 한 형태) \|xx^*\| = \|x\|^2 와 동치이다. 이 C* 항등식은 매우 강력한 조건으로, 예를 들어 스펙트럼 반경 공식과 결합하여 C* 노름이 대수적 구조, 특히 원소 x^*x 의 스펙트럼에 의해 유일하게 결정됨을 보여준다. \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\3. 1. C* 대수 사이의 사상
(항등원을 갖는) 두 C* 대수 A , B 와 항등원을 보존하는 복소수 대합 대수 준동형 f\colon A\to B 가 주어졌다고 하자. 즉, f 는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산(* )을 보존한다 (f(a^*)=f(a)^*\;\forall a\in A ).f 는 작용소 노름 이 1 이하인 유계 작용소 이다. 즉, 모든 a \in A 에 대해 \|f(a)\|_B \le \|a\|_A 가 성립한다. 이는 C* 항등식 \|x\|^2 = \|x^*x\| 와 스펙트럼 반지름 의 성질을 이용하여 증명할 수 있다. 구체적으로, a^*a 는 음이 아닌 원소이므로 노름은 스펙트럼 반지름과 같고(\|a^*a\|_A = \operatorname{sp\,rad}_A(a^*a) ), 스펙트럼 은 준동형 사상 아래에서 포함 관계(\operatorname{sp}_A(a^*a)\supseteq \operatorname{sp}_B(f(a^*a)) )를 가지므로, \|f(a)\|_B^2 = \|f(a^*a)\|_B = \operatorname{sp\,rad}_B(f(a^*a)) \le \operatorname{sp\,rad}_A(a^*a) = \|a^*a\|_A = \|a\|_A^2 가 성립하여 \|f\| \le 1 임을 알 수 있다.f 가 추가로 단사 함수 라면, f 는 등거리 변환이 된다. 즉, 모든 a\in A 에 대해 \|a\|_A=\|f(a)\|_B 가 성립한다.구체적 범주 \operatorname{C*Alg} 를 형성한다.A 와 B 사이의 유계 선형 사상 \pi \colon A \to B 가 다음 두 조건을 만족하면 '''*-준동형'''이라고 부른다.모든 x, y \in A 에 대해 \pi(xy) = \pi(x)\pi(y) (곱셈 구조 보존) 모든 x \in A 에 대해 \pi(x^*) = \pi(x)^* (대합 구조 보존) \pi 는 축소 사상이다. 즉, 노름이 1 이하(\|\pi\| \le 1 )로 유계되어 있다. 또한, 두 C* 대수 사이의 단사적 인 *-준동형은 등거리 사상이다. 이 성질들은 C* 항등식의 중요한 결과이다.\pi 가 전단사적 이라면, 이를 '''C*-동형 사상'''이라고 부른다. 이 경우 두 C* 대수 A 와 B 는 서로 '''동형'''이라고 한다.3. 2. 스펙트럼
C* 대수 A 의 원소 x\in A 의 '''스펙트럼 ''' \sigma(x) 는 복소수 \lambda\in\mathbb C 중에서 \lambda\cdot1-x 가 가역원 이 되지 않게 하는 값들의 집합이다. 즉, \sigma(x) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda \cdot 1 - x \text{ 는 가역원이 아니다}\} 로 정의된다. 일반적으로, 원소 x^* 의 스펙트럼은 x 의 스펙트럼에 있는 각 원소의 켤레복소수로 이루어진 집합과 같다. 수식으로는 \sigma(x^*) = \overline{\sigma(x)} = \{\bar\lambda \mid \lambda \in \sigma(x)\} 와 같이 표현할 수 있다.공집합 이 아니다. 스펙트럼은 원소의 종류에 따라 다음과 같은 특별한 성질을 가진다.'''자기 수반 원소''': 만약 x 가 x=x^* 를 만족하는 자기 수반 원소라면, x 의 스펙트럼 \sigma(x) 는 실수 집합 \mathbb{R} 의 부분 집합이다. 즉, 자기 수반 원소의 스펙트럼 값은 모두 실수이다. '''유니터리 원소''': 만약 x 가 xx^*=x^*x=1 를 만족하는 유니터리 원소라면, x 의 스펙트럼 \sigma(x) 에 속하는 모든 원소 \lambda 는 절댓값 이 1이다 (|\lambda|=1 ). 이는 유니터리 원소의 스펙트럼이 복소평면 상의 단위원 \{z\in\mathbb C\colon|z|=1\} 의 부분 집합임을 의미한다. '''음이 아닌 원소''': 만약 x 가 어떤 원소 y \in A 에 대해 x=y^*y 형태로 표현될 수 있다면, x 를 음이 아닌 원소라고 한다. 음이 아닌 원소는 항상 자기 수반 원소이며, 그 스펙트럼은 음이 아닌 실수, 즉 \sigma(x) \subseteq [0, \infty) 로 구성된다. x 의 스펙트럼에 속하는 값들의 절댓값 중에서 가장 큰 값, 즉 상한 \sup\{|\lambda| \mid \lambda \in \sigma(x)\} 를 x 의 '''스펙트럼 반지름 '''이라고 부르며, \nu(x) 로 표기한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 극한 공식을 통해서도 계산할 수 있다.\nu(x) = \lim_{n\to\infty} \|x^n\|^{1/n} \|x\|^2 = \|x^*x\| 는 스펙트럼 반지름과 깊은 연관이 있다. 특히, 자기 수반 원소인 x^*x 의 노름(크기)은 그 원소의 스펙트럼 반지름과 같다.\|x\|^2 = \|x^*x\| = \nu(x^*x) = \sup\3. 3. 근사 항등원
모든 C* 대수 ''A''는 근사 항등원을 갖는다. 구체적으로, 다음 조건을 만족하는 ''A''의 자기 수반 원소들의 방향족족 {''e''λ }λ∈I 가 존재한다.모든 ''x'' ∈ ''A''에 대해 x e_\lambda \rightarrow x 이다. 즉, ''e''λ 는 오른쪽에서 항등원 처럼 작용하는 극한의 의미를 갖는다. (C* 대수에서는 e_\lambda x \rightarrow x 도 성립하여 왼쪽에서도 마찬가지로 작용한다.) 만약 \lambda \leq \mu 이면 0 \leq e_\lambda \leq e_\mu \leq 1 이다. 여기서 1은 (만약 존재한다면) 대수의 항등원을 의미하며, 부등식은 C* 대수의 부분 순서를 따른다. n }n∈ℕ 형태의 근사 항등원을 갖는다. 더 일반적으로, ''A''가 수열 근사 항등원을 갖는 필요충분조건은 ''A''가 엄밀히 양의 원소 (strictly positive elementeng )를 포함하는 것이다. 엄밀히 양의 원소란, 집합 ''hAh'' = { ''hah'' | ''a'' ∈ ''A'' } 가 ''A''에서 조밀 한 양의 원소 ''h''를 의미한다.
4. 연산
C* 대수는 복소수 체 위의 바나흐 대수 이며, x \mapsto x^* 로 표시되는 대합 연산을 갖춘 *-대수이다. 이는 C* 대수 내에서 덧셈, (스칼라) 곱셈, 그리고 대합이라는 기본적인 연산들이 잘 정의되어 있음을 의미한다. 구체적으로, 모든 원소 x, y 와 복소수 \lambda 에 대해 다음의 연산 규칙들이 성립한다.
덧셈과 대합: (x + y)^* = x^* + y^* 곱셈과 대합: (x y)^* = y^* x^* 스칼라 곱셈과 대합: (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* 대합의 대합: (x^*)^* = x 직합 , 특정 조건을 만족하는 부분 공간인 아이디얼을 이용한 몫대수, 또는 C* 대수의 원소를 성분으로 하는 행렬 대수 등이 대표적이다. 이러한 연산들을 통해 만들어진 대수 역시 C* 대수의 성질을 만족하게 된다. 구체적인 연산 방식과 그 결과는 하위 섹션에서 더 자세히 살펴본다.4. 1. 직합
유한 또는 무한 개의 C* 대수 (A_i)_{i\in I} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간\widehat\bigoplus_{i\in I}A_i \subseteq\prod_{i\in I}A_i a\in \widehat\bigoplus_{i\in I}A_i \iff \sup_{i\in I}\|a_i\|_{A_i}<\infty \|a\|_{\widehat\bigoplus_i A_i}=\sup_{i\in I}\|a_i\|_{A_i} (ab)_i=a_ib_i\qquad(i\in I) 1_{\widehat\bigoplus_iA_i}=(1_{A_i})_{i\in I} I 가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 \textstyle\bigoplus_{i\in I}A_i 과 같다.4. 2. 몫대수
C* 대수 A 와 그 양쪽 아이디얼 \mathfrak I 가 주어졌을 때, 만약 \mathfrak I 가 닫힌집합이라면, 그 몫환 A/\mathfrak I 역시 C* 대수를 이룬다.\mathfrak I 는 그 자체로도 C* 대수가 된다.4. 3. 행렬 대수
C* 대수 A 와 자연수 n \in \mathbb{N} 에 대해, A 의 원소를 성분으로 가지는 n \times n 정사각 행렬들의 행렬 대수 \operatorname{Mat}(n;A) 역시 C* 대수를 이룬다.V 에 대해 A 가 V 위의 유계 작용소 들의 대수 \operatorname{B}(V,V) 의 부분 대수라면 (A \subseteq \operatorname{B}(V,V) ), 행렬 대수 \operatorname{Mat}(n;A) 는 n 개의 V 를 직합 한 공간 V^{\oplus n} 위의 유계 작용소들의 대수 \operatorname{B}(V^{\oplus n}, V^{\oplus n}) 의 부분 대수로 간주할 수 있다 (\operatorname{Mat}(n;A) \subseteq \operatorname{B}(V^{\oplus n}, V^{\oplus n}) ).n=0 이라면, 이는 자명환 이 된다.
5. 예시
C* 대수의 대표적인 예시는 다음과 같다.
'''비가환 C* 대수''': 유계 작용소 대수: 힐베르트 공간 H 위의 유계 선형 연산자 들의 대수 B(H) . 함수의 합성 을 곱으로, 수반 연산자를 대합으로, 작용소 노름 을 노름으로 갖춘다. 특히, H 가 n 차원 복소 벡터 공간일 경우, 이는 복소 행렬 대수 M_n(\mathbb{C}) 와 동형이다. '''구체적인 C* 대수''': B(H) 의 부분 *-대수 중 작용소 노름으로 닫혀 있는 대수 M . 콤팩트 작용소 대수 K(H) 가 대표적인 예이다. 겔판트-나이마르크 정리에 따르면 모든 C* 대수는 어떤 힐베르트 공간 위의 구체적인 C* 대수와 동형이다. 축약 군 환: 이산 군 또는 국소 콤팩트 군 G 로부터 구성되는 C* 대수 C^*_\lambda G . 5. 1. 자명한 C* 대수
한원소 집합 {•} 위의 유일한 환 구조인 자명환 은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.5. 2. 유한 차원 C* 대수
C* 대수 A 와 자연수 n \in \mathbb{N} 에 대해, A 의 원소를 성분으로 하는 n \times n 정사각 행렬들의 집합인 행렬 대수 \operatorname{Mat}(n, A) 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 V 에 대해 A 가 V 위의 유계 작용소 들의 대수 \mathcal{B}(V) 의 부분 대수라면 (A \subseteq \mathcal{B}(V) ), \operatorname{Mat}(n, A) 는 \mathcal{B}(V^{\oplus n}) 의 부분 대수로 생각할 수 있다 (\operatorname{Mat}(n, A) \subseteq \mathcal{B}(V^{\oplus n}) ). n=0 인 경우, 이는 자명환 이다.'''C''' 위의 n \times n 행렬의 대수 \operatorname{Mat}(n, \mathbb{C}) 는 행렬을 유클리드 공간 \mathbb{C}^n 에서의 선형 작용소 로 보고, 작용소 노름 \|\cdot\| 을 부여하면 C*-대수가 된다. 이때 인볼루션 연산(* -연산)은 켤레 전치 로 주어진다.A 는 행렬 대수들의 유한 직합 으로 표현될 수 있다. 이는 자기 수반 조건(A^* = A )이 유한 차원 C*-대수가 반단순 대수임을 의미하기 때문에 가능한 것이며, 아르틴-베더번 정리의 한 형태이다.'''정리.''' 유한 차원 C*-대수 A 는 다음과 같은 유한 직합과 표준적으로 동형이다. A \cong \bigoplus_{i=1}^k \operatorname{Mat}(n_i, \mathbb{C}) \operatorname{Mat}(n_i, \mathbb{C}) 는 복소수 성분의 n_i \times n_i 행렬 대수이다.A 의 중심에 속하는 최소 영사영들을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. A = \bigoplus_{e \in \min A } A e \min A 는 A 의 중심에 속하는 최소 영사영 들 중 0이 아닌 자기 수반 원소들의 집합이다. Ae 는 완전 행렬 대수 \operatorname{Mat}(\dim(e), \mathbb{C}) 와 동형이다 (단, 이 동형사상은 표준적이지 않을 수 있다). \min A 에 의해 인덱싱된 유한 수열 (\dim(e))_{e \in \min A} 를 A 의 '''차원 벡터'''라고 부른다. 이 벡터는 유한 차원 C*-대수의 동형류를 유일하게 결정한다. K-이론의 관점에서 보면, 이 벡터는 A 의 K_0 군의 양뿔(positive cone)에 해당한다.물리학 분야에서 유한 차원 C*-대수를 가리키는 용어로 가끔 사용된다.에르미트 수반 을 나타낼 때 이 기호를 사용하며, 무한 차원에서 발생할 수 있는 수학적 엄밀성을 덜 강조하기 때문에 사용된다. (수학에서는 보통 에르미트 수반을 별표(*)로 나타낸다.) †-대수는 양자역학 , 특히 양자 정보 과학 분야에서 중요하게 다뤄진다.5. 3. 가환 C* 대수
(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 ''A''의 '''스펙트럼'''(spectrum영어 ) \hat A 는 ''A''에서 복소수 집합 \mathbb{C} 로 가는 모든 *-준동형 사상들의 집합 \hom(A,\mathbb{C}) 으로 정의된다. 이 스펙트럼 \hat A 에 약한-* 위상을 부여하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의해 이는 콤팩트 하우스도르프 공간 이 된다.콤팩트 하우스도르프 공간 ''X''에 대해, ''X'' 위에서 정의된 모든 복소수 값 연속 함수 들의 공간 \mathcal{C}^0(X, \mathbb{C}) (또는 간단히 ''C''(''X''))를 생각할 수 있다. 여기에 함수 값의 상한으로 정의되는 노름(\|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f(x)| )과 점별 덧셈, 점별 곱셈, 점별 켤레 복소수 연산을 부여하면, ''C''(''X'')는 가환 C* 대수를 이룬다.영어 )는 이 두 개념 사이의 중요한 관계를 설명한다. 이 정리에 따르면, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 ''A''는 자신의 스펙트럼 \hat A 위의 연속 함수 공간 \mathcal{C}^0(\hat A, \mathbb{C}) 와 *-동형 이다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립한다.A \cong \mathcal{C}^0(\hat A, \mathbb{C}) \hat A 라는 위상 공간의 구조와 깊이 연관되어 있음을 보여준다. 이 대응 관계는 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수의 범주 와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 (사상은 반대 방향) 사이에 범주의 동치 관계를 제공한다.C_0(X) 를 정의할 수 있다. 이 공간 역시 점별 연산과 상한 노름 하에서 가환 C* 대수를 이룬다. ''X''가 콤팩트 공간이 아닐 경우 C_0(X) 는 곱셈 항등원을 갖지 않지만, 근사 항등원은 갖는다. 겔판트 표현은 더 나아가 모든 가환 C* 대수가 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''X''에 대한 C_0(X) 형태의 대수와 *-동형임을 보여준다.C_0(X) 와 C_0(Y) 가 C* 대수로서 동형이라면, 원래의 위상 공간 ''X''와 ''Y''는 서로 위상동형 이라는 중요한 결과가 따른다. 이는 위상 공간의 성질을 함수 대수의 대수적 성질로 연구할 수 있게 하며, 비가환 위상 수학이나 비가환 기하학 과 같은 분야의 중요한 동기가 된다.'''C(\Omega) ''': 콤팩트 하우스도르프 공간 \Omega 위의 복소수 값 연속 함수 공간. 예를 들어 실수 닫힌 구간 [0,1] 위의 연속 함수들이 있다. 점별 곱셈(fg(s) = f(s)g(s) ), 켤레 복소수(f^*(s) = \overline{f(s)} ), 균등 노름(\|f\| = \sup \{|f(s)| \mid s \in \Omega\} )을 갖추면 상수 함수 1 을 항등원 으로 갖는 가환 C* 대수가 된다. '''C_0(\Omega) ''': 국소 컴팩트 하우스도르프 공간 \Omega 위의 무한대에서 0으로 수렴하는 복소수 값 연속 함수 공간. 즉, 임의의 \epsilon > 0 에 대해 \{s \in \Omega \mid |f(s)| \ge \epsilon\} 이 콤팩트 집합인 함수 f 들의 공간이다. 예를 들어 실수 전체 \mathbb{R} 에서 \lim_ 5. 4. 유계 작용소 대수
복소수 힐베르트 공간 V 위의 모든 유계 작용소 들의 집합 \operatorname B(V,V) 는 함수의 합성 을 곱셈으로, 수반 연산자를 대합 연산(*)으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. 이는 C* 대수의 대표적인 예시 중 하나이다.힐베르트 공간 H 위의 유계 선형 연산자의 대수 B(H) 는 다음과 같은 구조를 가진다.곱셈 : 함수의 합성 대합 : 각 연산자 A \in B(H) 에 대해, 모든 x, y \in H 에 대해 (A^*x, y) = (x, Ay) 를 만족하는 수반 연산자 A^* .노름 : 작용소 노름 \|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\| .항등원 : H 위의 항등 작용소 I .B(H) 는 C* 대수가 된다.V=\mathbb C^n 인 경우, 유계 작용소 대수 \operatorname B(V,V) 는 n \times n 복소수 행렬들의 대수 M_n(\mathbb{C}) 와 동형이다. 이 경우, 대합 연산은 행렬의 켤레 전치 에 해당한다.A 는 어떤 적절한 힐베르트 공간 H 에 대해 B(H) 의 노름으로 닫힌 부분 *-대수(즉, 구체적인 C* 대수)와 *-동형이다. 이는 유계 작용소 대수가 C* 대수 이론에서 근본적인 역할을 한다는 것을 보여준다.B(H) 의 부분 *-대수 M 이 작용소 노름에 대해 닫혀 있다면, M 자체도 C* 대수가 된다. 이러한 대수를 구체적인 C* 대수 (concrete C*-algebra영어 )라고 부른다. 예를 들어, 콤팩트 작용소 들의 집합 K(H) 는 B(H) 의 닫힌 부분 *-대수이므로 구체적인 C* 대수이다.5. 5. 콤팩트 작용소 대수
''H''를 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간 이라고 하자. ''H'' 위의 컴팩트 연산자들의 대수 ''K''(''H'')는 ''B''(''H'') (''H'' 위의 유계 작용소 들의 대수)의 노름 닫힌 부분 대수이다. 또한 수반 연산에 대해서도 닫혀 있으므로 C*-대수 를 이룬다.아이디얼 이다. 특히, 분리 가능한 힐베르트 공간의 경우, ''K''(''H'')는 ''B''(''H'')의 유일한 (자명하지 않은) 닫힌 양쪽 아이디얼이다. 몫 대수 ''B''(''H'') / ''K''(''H'')는 칼킨 대수(Calkin algebra영어 )라고 불린다.항등원 을 갖지 않지만, 근사 항등원이라 불리는 수열을 가진다. 구체적으로, ''H''를 제곱 가합 수열의 공간 ''l''2 와 동형이라고 가정할 수 있다. 각 자연수 ''n''에 대해, ''Hn ''을 ''k'' ≥ ''n''인 성분이 0이 되는 ''l''2 의 수열들로 이루어진 부분 공간이라 하고, ''en ''을 ''Hn '' 위로의 직교 사영이라 하자. 이 사영들의 수열 {''en ''}''n'' 은 ''K''(''H'')의 근사 항등원을 이룬다.i ''}''i''∈''I'' 가 존재하여 다음이 성립한다. A \cong \bigoplus_{i \in I } K(H_i) i '')의 원소 (''Ti '') 중에서 노름이 0으로 수렴하는 것들(||''Ti ''|| → 0)로 구성된다.5. 6. 칼킨 대수
임의의 복소수 힐베르트 공간 V 위의 모든 유계 작용소 들의 모임 \operatorname B(V,V) 에서, 모든 콤팩트 작용소 들의 집합 \operatorname K(V,V) 는 \operatorname B(V,V) 의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이룬다.대수학 에서 아이디얼을 이용하여 몫환을 구성하는 것처럼, 유계 작용소 대수 \operatorname B(V,V) 를 콤팩트 작용소 아이디얼 \operatorname K(V,V) 로 나눈 몫환\frac{\operatorname B(V,V)}{\operatorname K(V,V)} 칼킨 대수 (Calkin algebra영어 )라고 한다.H 가 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간 이라면, 콤팩트 작용소 들의 대수 \operatorname K(H) 는 \operatorname B(H) 안의 유일한 닫힌 양쪽 아이디얼이다. 따라서 이 경우 칼킨 대수는 \operatorname B(H) 를 그 유일한 닫힌 아이디얼인 \operatorname K(H) 로 나눈 결과이다.5. 7. 축약 군 환
이산 군 ''G''가 주어졌을 때, 힐베르트 공간 ''l''2 ''G''와 그 위의 작용소 ''λ''''g'' : ''δ''''h'' → ''δ''''gh'' 가 얻어진다. ''l''2 ''G'' 위의 C*-환으로 ''λ''''g'' (''g'' ∈ ''G'')를 모두 포함하는 최소의 것은 ''G''의 '''축약 군 환''' ''C''\*''λ'' ''G''라고 불린다. 이산 군이 아닌 국소 콤팩트 군에 대해서도 이 정의는 일반화된다.
6. 분류
모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 따라, 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 로 이루어진 C* 대수의 부분 대수로 표현될 수 있다. 특히, 주어진 C* 대수를 포함하는 가장 작은 폰 노이만 대수 를 정의할 수 있으며, 원래의 C* 대수는 이 폰 노이만 대수 안에서 강한 연산자 위상에 대해 조밀 하다. 폰 노이만 대수 는 상대적으로 구조가 잘 연구되어 있어, 이를 이용해 C* 대수를 분류하는 데 도움을 받을 수 있다.
7. 다른 분야로의 응용
C* 대수는 수리물리 에서의 역학계, 대수적 관점에서의 양자장론 , 양자통계역학 , 양자 정보 이론 등에 응용된다.
7. 1. 비가환 기하학
겔판트 표현에 따르면, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간 과 대응 관계를 가진다. 만약 C* 대수가 항등원을 가져야 한다는 조건을 제외하면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대응된다. 이러한 대응 관계를 바탕으로, 일반적인 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘비가환 공간’으로 간주할 수 있는데, 이러한 아이디어를 연구하는 수학 분야를 비가환 기하학 이라고 한다.국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X 가 주어졌을 때, X 위에서 정의되고 '무한대에서 사라지는' 복소수 값 연속 함수들의 공간 C_0(X) 는 점별 곱셈과 덧셈 연산 하에서 가환 C*-대수를 형성한다. 여기서 * 연산은 점별 켤레이다. C_0(X) 는 X 가 콤팩트 공간일 경우에만 곱셈에 대한 항등원을 가진다. 하지만 모든 C*-대수와 마찬가지로 C_0(X) 는 근사 항등원을 갖는다. 이는 X 의 콤팩트 부분 집합들의 방향 집합을 생각하고, 각 콤팩트 집합 K 에 대해 K 에서는 값이 1이고 K 밖에서는 0으로 점차 감소하는 컴팩트 지지 함수 f_K 를 구성함으로써 보일 수 있다. 이러한 함수는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 적용되는 티체 확장 정리에 의해 존재하며, 함수들의 시퀀스 \{f_K\} 가 바로 근사 항등원이 된다.국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X 에 대한 함수 대수 C_0(X) 와 *-동형 사상 관계에 있음을 보여준다. 이때 X 는 해당 C*-대수의 지표들의 공간에 약한 위상을 부여한 것과 위상동형이다. 중요한 점은, 만약 두 공간 X 와 Y 에 대해 함수 대수 C_0(X) 와 C_0(Y) 가 C*-대수로서 동형 사상 이라면, 원래 공간 X 와 Y 역시 위상동형 이라는 것이다. 이러한 강력한 대응 관계는 공간의 성질을 대수의 성질로 번역할 수 있게 해주며, 비가환 위상 수학 및 비가환 기하학 연구의 중요한 동기가 된다. 즉, 비가환 C*-대수를 '비가환 공간'으로 여기고 그 기하학적 성질을 탐구하는 것이다.7. 2. 양자장론 및 양자역학
C* 대수 이론은 양자장론 을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다. 대표적으로 국소 양자장론의 하그-캐슬러 공리화에서는 민코프스키 시공간의 모든 열린 집합에 C*-대수를 연관시키는 방식으로 접근한다.양자역학 에서도 C*-대수는 중요한 역할을 한다. 일반적으로 물리적 시스템은 단위 원소를 갖는 C*-대수 ''A''로 기술한다. 이때 ''A''의 자기 수반 원소(x^* = x 를 만족하는 원소 ''x'')는 시스템에서 측정 가능한 물리량, 즉 '''관측 가능량'''으로 해석한다.\phi : A \rightarrow \mathbb{C} 로 나타낸다. 이 함수는 두 가지 조건을 만족해야 한다. 첫째, 모든 원소 ''u'' ∈ ''A''에 대해 \phi(u^*u) \geq 0 이어야 한다(양의 성질). 이는 C* 대수 ''A''의 원소 중 x^*x 형태로 쓸 수 있는 '''양의 원소'''를 항상 양의 실수 또는 0으로 보내는 것을 의미한다. 둘째, \phi(1) = 1 이어야 한다(규격화 조건). 단위적 C* 대수 ''A'' 위의 선형 범함수 \phi 가 상태가 될 필요충분조건은 \|\phi\| = \phi(1) = 1 이다.\phi 는 시스템이 특정 상태에 있을 확률 분포를 나타낸다고 볼 수 있다. 시스템이 상태 \phi 에 있을 때, 관측 가능량 ''x''를 측정했을 때 얻게 될 기댓값 은 \phi(x) 로 주어진다. 이처럼 C*-대수의 상태 개념은 양자역학의 수학적 공식화에서 특정 상태 하에서의 물리량 측정 기댓값을 계산하는 연산과 직접적으로 연결되며, 이것이 "상태"라는 용어의 기원이 되었다.7. 3. 양자통계역학 및 양자 정보 이론
C* 대수는 수리물리 에서의 역학계, 대수적 관점에서의 양자장론 , 양자통계역학 , 양자 정보 이론 등에 응용된다.
8. 역사
C* 대수에 대한 논의는 1943년 겔판트와 나이마르크가 제시한 추상적 특징에서 시작되었다.B*-조건 이다.힐베르트 공간 ''H'' 상의 유계 작용소 공간 ''B''(''H'')의 노름-닫힌 부분 대수를 설명하기 위해 처음 사용했다. 여기서 'C'는 'closed'(닫힌)를 의미했다.
참조
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