미분동형사상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 부분 집합의 미분동형사상
3. 국소적 성질
4. 예시
5. 미분동형사상군
- 5.1. 리 대수
- 5.2. 예시
6. 추이성
7. 미분동형사상의 확장
8. 연결성
9. 호모토피형
10. 위상동형사상과 미분동형사상
참조

1. 개요

미분동형사상은 미분다양체 사이의 위상동형사상으로, 국소적으로 유클리드 공간의 미분 가능한 함수로 표현되며, 그 역함수 또한 미분 가능하다. 두 다양체가 미분동형사상이 존재하면 미분동형이라고 하며, 이는 동치 관계를 이룬다. 부분 집합 사이의 미분동형사상과 국소적 성질, 예시, 미분동형사상군, 미분동형사상의 확장, 연결성, 호모토피형 등 다양한 특징을 갖는다. 모든 미분동형사상은 위상동형사상이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않으며, 차원에 따라 위상동형이지만 미분동형이 아닌 다양체 쌍이 존재한다.

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미분동형사상
정의
정의	미분기하학에서 미분가능 다양체 사이의 함수이며, 미분가능하고 미분가능한 역함수를 갖는 함수이다.
용어
다른 이름	매끄러운 동형사상 미분동형사상
영어	Diffeomorphism
일본어	微分同相写像 (Bibusho Dōsō Shazō)
한자	微分同相寫像
로마자 표기	Mibun Dōsō Shazō
성질
성질	미분동형사상은 미분가능 다양체의 범주에서 동형사상이다. 두 미분가능 다양체 사이의 미분동형사상의 존재는 그들이 미분동형사상이라고 말하기에 충분하다.
특성	미분동형사상은 반드시 전단사여야 한다. 주어진 점에서 미분동형사상의 미분은 선형 동형사상이다. 역함수의 미분은 역 선형 동형사상이다.
관련 개념
관련 개념	위상동형사상 미분가능 다양체 미분기하학

2. 정의

미분다양체 $M,N$ 사이의 '''미분동형사상''' $\phi\colon M\to N$ 은 다음 조건을 만족하는 위상동형사상이다.

각 $x\in M$ 에 대하여, $x\in M$ 주위에 국소 좌표계를 잡고, $\phi(x)\in N$ 주위에 국소 좌표계를 잡으면, $\phi$ 는 국소적으로 $\tilde\phi\colon U\subset\mathbb R^n\to V\subset\mathbb R^n$ 의 꼴로 나타내어진다. 이때, $\tilde\phi$ 는 유클리드 공간에서의 정의로 미분가능하여야 하고, 그 역 $\tilde\phi^{-1}\colon\tilde\phi(U)\to U$ 가 존재하고, $\tilde\phi^{-1}$ 도 미분 가능해야 한다.

위에서 미분 가능성 대신, 더 엄격한

C^n

매끈함을 요구할 수도 있다. 이를 ''Cⁿ'' 미분동형사상이라고 부른다.

가변 사상

f \colon M \rightarrow N

이 미분동형사상이 되려면, 이 사상이 전단사이고, 그 역함수

f^{-1} \colon N \rightarrow M

또한 가변이어야 한다. 만약 이러한 함수들이

r

번 연속 미분 가능하다면,

f

를

C^r

-미분동형사상이라고 부른다.

두 다양체 사이에 적어도 하나의 미분동형사상이 존재한다면, 두 다양체를 '''미분동형'''(diffeomorphic^영어)이라고 부르며, 이는 동치 관계를 이룬다. 두 다양체

M

과

N

은

M

에서

N

으로의 미분동형사상

f

가 존재할 경우 미분동형이라고 하며, 보통

M \simeq N

으로 표기한다.

C^r

-가변다양체는, 그들 사이에

r

번 연속 미분 가능한 전단사 사상이 존재하고 그 역함수 또한

r

번 연속 미분 가능하다면

C^r

-미분동형이다.

2. 1. 부분 집합의 미분동형사상

다양체 ''M''의 부분 집합 ''X''와 다양체 ''N''의 부분 집합 ''Y''가 주어졌을 때, 함수 ''f'': ''X'' → ''Y''가 ''X''의 모든 점 ''p''에 대해, ''p''의 근방 ''U'' ⊂ ''M''과 매끄러운 함수 ''g'': ''U'' → ''N''가 존재하여

g_{|U \cap X} = f_

3. 국소적 성질

미분다양체 사이의 미분 가능한 사상이 미분동형사상인지 여부는 몇 가지 제한 조건 하에서 국소적으로 결정될 수 있다. 이는 다음의 아다마르-카초폴리 정리이다:^[1]만약

U

,

V

가 '''R'''^''n''의 연결된 열린 부분 집합이고

V

가 단일 연결이라면, 미분 가능한 사상

f:U\to V

는

f

가 proper하고, 미분

Df_x:\R^n\to\R^n

이

U

의 각 점

x

에서 전단사 (따라서 선형 동형 사상)일 경우에 미분동형사상이다.

몇 가지 주목할 사항은 다음과 같다.

함수 $f$ 가 전역적으로 가역적이 되려면 (도함수가 각 점에서 전단사 사상이라는 단일 조건 하에서) $V$ 가 단일 연결이어야 한다는 점이 중요하다. 예를 들어, 복소수 제곱 함수의 "실수화"를 고려해 보면, 이 함수는 전사 함수이고 미분 $Df_x$ 가 각 점에서 전단사임에도 불구하고, 단사 함수가 아니기 때문에 가역적이지 않다.
어떤 점에서의 미분

:

Df_x : T_xU \to T_{f(x)}V

는 선형 사상이므로,

Df_x

가 전단사일 경우에만 잘 정의된 역함수를 갖는다.

Df_x

의 행렬 표현은

i

번째 행과

j

번째 열의 항목이

\partial f_i / \partial x_j

인 1차 편미분의

n\times n

행렬이다. 이른바 야코비 행렬은 명시적인 계산에 자주 사용된다.

미분동형사상은 반드시 동일한 차원의 매니폴드 사이에서 존재한다.
만약 $Df_x$ 가 $x$ 에서 전단사라면, $f$ 는 국소 미분동형사상이라고 한다.

4. 예시

미분다양체는 국소적으로 매개변수화될 수 있으므로, $\mathbb{R}^2$ 에서 $\mathbb{R}^2$ 로의 사상을 통해 미분동형사상의 예를 살펴볼 수 있다.

사상 $f(x,y) = \left (x^2 + y^3, x^2 - y^3 \right )$ 의 야코비 행렬은 다음과 같다.

::

J_f = \begin{pmatrix} 2x & 3y^2 \\ 2x & -3y^2 \end{pmatrix} .

: 야코비 행렬의 행렬식은

xy=0

일 때만 0이다. 즉,

f

는 x축과 y축을 제외한 곳에서 국소적으로 미분동형사상이 될 수 있다. 하지만

f(x,y)=f(-x,y)

이므로

f

는 단사 함수가 아니고, 따라서 미분동형사상이 아니다.

사상 $g(x,y) = \left (a_0 + a_{1,0}x + a_{0,1}y + \cdots, \ b_0 + b_{1,0}x + b_{0,1}y + \cdots \right )$ (여기서 $a_{i,j}$ 와 $b_{i,j}$ 는 임의의 실수이고, 생략된 항들은 ''x''와 ''y''에 대해 2차 이상이다)의 '''0'''에서의 야코비 행렬은 다음과 같다.

::

J_g(0,0) = \begin{pmatrix} a_{1,0} & a_{0,1} \\ b_{1,0} & b_{0,1} \end{pmatrix}.

: ''g''가 '''0'''에서 국소적 미분동형사상이 되기 위한 필요충분조건은

a_{1,0}b_{0,1} - a_{0,1}b_{1,0} \neq 0

이다. 즉, ''g''의 성분에서 선형 항이 선형 독립이어야 한다.

사상 $h(x,y) = \left (\sin(x^2 + y^2), \cos(x^2 + y^2) \right )$ 의 야코비 행렬은 다음과 같다.

::

J_h = \begin{pmatrix} 2x\cos(x^2 + y^2) & 2y\cos(x^2 + y^2) \\ -2x\sin(x^2+y^2) & -2y\sin(x^2 + y^2) \end{pmatrix} .

: 야코비 행렬의 행렬식은 모든 곳에서 0이다. 실제로 ''h''의 상(image)은 단위 원이다.

역학에서 응력으로 유발된 변환을 변형이라고 하며, 이는 미분동형사상으로 설명할 수 있다.

두 곡면

U

와

V

사이의 미분동형사상

f:U\to V

는 역행렬인 야코비 행렬

Df

를 가진다.

U

의 점

p

에 대해, 야코비 행렬

Df

가 비특이 행렬로 유지되는

p

의 근방이 존재한다.

f(x,y) = (u,v)

라고 할 때, ''u''의 전미분은

du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +  \frac{\partial u}{\partial y} dy

이며, ''v''도 마찬가지이다.

이미지

(du, dv) = (dx, dy) Df

는 원점을 고정하는 선형 변환이며, 특정 유형의 복소수의 작용으로 표현될 수 있다. (''dx'', ''dy'')도 해당 유형의 복소수로 해석될 때, 작용은 복소수 곱셈이다. 이 곱셈에서 보존되는 각도 유형(유클리드, 쌍곡선, 또는 기울기)이 있다. ''Df''가 가역적이므로 복소수 유형은 곡면 전체에서 균일하다. 결과적으로, 곡면의 변형 또는 미분동형사상은 각도를 보존하는 '''등각성'''을 갖는다.

5. 미분동형사상군

미분 가능 다양체 $M$ 의 미분동형사상군은 $M$ 에서 자신으로의 모든 $C^r$ 미분동형사상들의 군이며, $\text{Diff}^r(M)$ 또는 $r$ 이 문맥상 명확할 때는 $\text{Diff}(M)$ 으로 표기한다. $M$ 이 0차원이 아닌 경우, 국소 콤팩트가 아니라는 점에서 이 군은 "크다"고 할 수 있다.

미분동형사상군은 약위상과 강위상이라는 두 가지 자연스러운 위상 공간을 갖는다.^[1] 다양체가 콤팩트 공간일 때, 이 두 위상은 일치한다. 약위상은 항상 거리화 가능 공간이다. 다양체가 콤팩트가 아닐 때, 강위상은 "무한대"에서의 함수의 행동을 포착하며 거리화 가능하지 않다. 하지만, 여전히 베어 공간이다.

$M$ 에 리만 계량을 고정하면, 약위상은 다음과 같은 거리들의 모임에 의해 유도되는 위상이다.

: $d_K(f,g) = \sup\nolimits_{x\in K} d(f(x),g(x)) + \sum\nolimits_{1\le p\le r} \sup\nolimits_{x\in K} \left \|D^pf(x) - D^pg(x) \right \|$

여기서 $K$ 는 $M$ 의 콤팩트 부분 집합이다. $M$ 이 σ-콤팩트이면, $M$ 전체를 덮는 콤팩트 부분 집합들의 열 $K_n$ 이 존재한다. 이때,

: $d(f,g) = \sum\nolimits_n 2^{-n}\frac{d_{K_n}(f,g)}{1+d_{K_n}(f,g)}$

로 거리를 정의할 수 있다.

약위상을 갖춘 미분동형사상군은 $C^r$ 벡터장의 공간과 국소적으로 위상 동형이다.^[2] $M$ 의 콤팩트 부분 집합 위에서, 이는 $M$ 에 리만 계량을 고정하고 해당 계량에 대한 지수 사상을 사용함으로써 얻어진다. $r$ 이 유한하고 다양체가 콤팩트인 경우, 벡터장의 공간은 바나흐 공간이 된다. 더 나아가 이 아틀라스의 한 좌표계에서 다른 좌표계로의 변환 사상은 매끄러우므로, 미분동형사상군은 매끄러운 오른쪽 이동을 갖는 바나흐 다양체가 된다.^[2]

5. 1. 리 대수

미분동형사상군의 리 대수는

M

위의 모든 벡터장으로 구성되며, 이는 벡터장의 리 괄호를 갖는다. 다소 형식적으로, 이는 공간의 각 점에서 좌표

x

에 작은 변화를 줌으로써 알 수 있다.

:

x^{\mu} \mapsto x^{\mu} + \varepsilon h^{\mu}(x)

따라서 무한소 생성자는 다음과 같은 벡터장이다.

:

L_{h} = h^{\mu}(x)\frac{\partial}{\partial x^\mu}.

5. 2. 예시

M^영어 = G^영어가 리 군일 때, 왼쪽 이동을 통해 G^영어를 자체 미분동형사상 군에 자연스럽게 포함시킬 수 있다. Diff^영어(G)를 G^영어의 미분동형사상 군이라고 하면, Diff^영어(G) ≃ G^영어 × Diff^영어(G, e^영어)로 분리되는데, 여기서 Diff^영어(G, e^영어)는 군의 항등원을 고정하는 Diff^영어(G)의 부분군이다.
유클리드 공간 R^영어^{n^영어}의 미분동형사상 군은 방향을 보존하는 미분동형사상과 방향을 반전시키는 미분동형사상으로 구성된 두 개의 성분으로 이루어져 있다. 실제로, 일반 선형 군은 맵 f^영어(x^영어) ↦ f^영어(tx^영어)/t^영어, t^영어 ∈ (0,1] 하에서 원점을 고정하는 미분동형사상 군의 부분군 Diff^영어(R^영어^{n^영어}, 0)의 변형 수축이다. 특히, 일반 선형 군은 전체 미분동형사상 군의 변형 수축이기도 하다.
유한한 집합의 점들에 대해, 미분동형사상 군은 단순히 대칭군이다. 유사하게, M^영어이 임의의 다양체인 경우, 군 확장 0 → Diff^영어₀(M^영어) → Diff^영어(M^영어) → Σ(π^영어₀(M^영어))이 존재한다. 여기서 Diff^영어₀(M^영어)는 M^영어의 모든 성분을 보존하는 Diff^영어(M^영어)의 부분군이고, Σ(π^영어₀(M^영어))는 집합 π^영어₀(M^영어)(M^영어의 성분)의 순열군이다. 게다가, 맵 Diff^영어(M^영어) → Σ(π^영어₀(M^영어))의 이미지는 미분동형사상 클래스를 보존하는 π^영어₀(M^영어)의 전단사 함수이다.

6. 추이성

연결된 매끄러운 다양체 $M$ 에서 미분동형사상군은 $M$ 에서 추이적으로 작용한다. 더 일반적으로, 미분동형사상군은 배치 공간 $C_k M$ 에서 추이적으로 작용한다. 만약 $M$ 이 2차원 이상이면, 미분동형사상군은 배치 공간 $F_k M$ 에서 추이적으로 작용하며, $M$ 에서의 작용은 다중 추이적이다.

7. 미분동형사상의 확장

티보르 라도는 1926년에 단위 원의 임의의 위상동형사상 또는 미분동형사상을 단위 원판으로 조화 확장했을 때 열린 원판에 대한 미분동형사상이 되는지 질문했다. 헬무트 크네저가 곧 우아한 증명을 제공했고, 1945년에는 귀스타브 쇼케가 이 결과를 알지 못한 채 완전히 다른 증명을 제시했다.

원의 (방향을 보존하는) 미분동형사상 그룹은 경로 연결되어 있다. 이는 모든 그러한 미분동형사상이 $f(x+1)=f(x)+1$ 를 만족하는 실수에 대한 미분동형사상으로 리프팅될 수 있다는 점을 통해 알 수 있다. 이 공간은 볼록하므로 경로 연결되어 있다. 항등 사상으로의 부드럽고 결국에는 상수 경로를 사용하면 원의 미분동형사상을 열린 단위 원판으로 확장하는, 알렉산더 트릭의 특별한 경우인, 더 기본적인 방법이 제공된다. 더욱이, 원의 미분동형사상 그룹은 직교군 $O(2)$ 의 호모토피 타입을 갖는다.^[1]

고차원 구 $S^{n-1}$ 의 미분동형사상에 대한 해당 확장 문제는 1950년대와 1960년대에 르네 톰, 존 밀너, 스티븐 스메일의 주목할 만한 기여로 많이 연구되었다. 이러한 확장에 대한 장애는 유한 아벨 군 $\Gamma_n$ 에 의해 주어지며, 이는 미분동형사상 그룹의 아벨 연결 요소의 몫군을 공 $B^n$ 의 미분동형사상으로 확장되는 클래스의 부분군으로 정의된 "꼬인 구 그룹"이다.^[2]

8. 연결성

미분동형사상군은 일반적으로 연결되어 있지 않다. 이 군의 연결 성분군은 매핑 클래스 군(사상류군)이라고 불린다. 2차원(즉, 곡면)에서 매핑 클래스 군은 유한 생성 군이며, 데른 비틀림에 의해 생성된다. 이는 막스 데른, W. B. R. 리코리시, 앨런 해처가 증명하였다. 막스 데른과 야코프 닐센은 이를 곡면의 기본군의 외부 자기 동형 군과 동일시할 수 있음을 보였다.

윌리엄 서스턴은 이러한 분석을 개선하여 매핑 클래스 군의 원소들을 분류했다. 주기적인 미분동형사상과 동치인 것, 단순 폐곡선을 불변으로 남기는 미분동형사상과 동치인 것, 유사 아노소프 사상과 동치인 것으로 분류했다. 토러스 $S^1\times S^1=\R^2/\Z^2$ 의 경우, 매핑 클래스 군은 단순히 모듈러 군 $\text{SL}(2,\Z)$ 이며, 이 분류는 타원형, 포물선형, 쌍곡선형 행렬의 관점에서 고전적으로 나타난다. 서스턴은 매핑 클래스 군이 테히뮐러 공간의 콤팩트화에 자연스럽게 작용한다는 것을 관찰하여 그의 분류를 수행했다. 이 확장된 공간이 닫힌 공과 위상 동형이므로, 브라우어 고정점 정리가 적용 가능하게 되었다.

9. 호모토피형

$S^2$ 의 미분동형사상군은 부분군 $O(3)$ 의 호모토피형을 갖는다. 이는 스티브 스메일에 의해 증명되었다.^[2] 토러스의 미분동형사상군은 그 선형 자기 동형 사상 $S^1 \times S^1 \times \text{GL}(2, \mathbb{Z})$ 의 호모토피형을 갖는다. 종수 $g>1$ 인 방향성을 갖는 곡면의 미분동형사상군은 매핑 클래스 군의 호모토피형을 갖는다(즉, 연결 요소는 수축 가능하다). 3차원 다양체의 미분동형사상군의 호모토피형은 이바노프, 해처, 가바이 및 루빈스타인의 연구를 통해 상당히 잘 이해되고 있지만, 몇 가지 미해결 과제(주로 유한 기본군을 가진 3차원 다양체)가 남아있다. $n>3$ 인 $n$ 차원 다양체의 미분동형사상군의 호모토피형은 거의 이해되지 않고 있다. 예를 들어, $\text{Diff}(S^4)$ 가 두 개 이상의 연결 요소를 갖는지 여부는 미해결 문제이다. 그러나 밀너, 칸 및 안토넬리에 의해 $n>6$ 인 경우 $\text{Diff}(S^n)$ 는 유한 CW 복합체의 호모토피형을 갖지 않는 것으로 알려져 있다.

10. 위상동형사상과 미분동형사상

모든 미분동형사상은 위상동형사상이므로, 서로 미분동형인 다양체 쌍은 특히 서로 위상동형이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

미분동형사상이 아닌 위상동형사상을 찾는 것은 쉽지만, 위상동형이지만 미분동형이 아닌 다양체 쌍을 찾는 것은 더 어렵다. 1, 2, 3차원에서는 위상동형인 매끄러운 다양체 쌍은 미분동형이다. 4차원 이상에서는 위상동형이지만 미분동형이 아닌 쌍의 예가 존재한다. 최초의 예는 존 밀너가 7차원에서 구성했다. 그는 표준 7-구와 위상동형이지만 미분동형이 아닌 매끄러운 7차원 다양체(현재는 밀너 구라고 불림)를 구성했다. 실제로 7-구와 위상동형인 다양체의 28개의 배향된 미분동형사상 클래스가 있다(각각은 3-구를 올로 하는 섬유 다발의 전 공간이다).

4-다양체의 경우 더 특이한 현상이 발생한다. 1980년대 초, 사이먼 던슨과 마이클 프리드먼의 결과가 결합되어 특이한 R⁴가 발견되었다. 즉, R⁴와 위상동형인 R⁴의 쌍별로 미분동형이 아닌 무한 집합이 무수히 많고, 또한 R⁴에 매끄럽게 임베딩되지 않는 R⁴와 위상동형인 쌍별로 미분동형이 아닌 미분 가능한 다양체가 무수히 많다.

참조

_[1] 서적 The implicit function theorem: history, theory, and applications Springer 2013
_[2] 논문 Diffeomorphisms of the 2-sphere
_[3] 문서 Diffeomorphisms of the 2-sphere 1959

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