페르마 다각수 정리

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1. 개요
2. 다각수
- 2.1. 다각수의 정의
- 2.2. 다각수의 종류
3. 다각수 정리의 역사
- 3.1. 페르마의 제안
- 3.2. 라그랑주, 가우스, 코시의 증명
4. 다각수 정리의 내용
- 4.1. 정밀화
5. 폴록의 추측
- 5.1. 폴록의 사면체수 추측
- 5.2. 폴록의 팔면체수 추측
6. 증명
7. 제곱수와 삼각수의 합
참조

1. 개요

페르마 다각수 정리는 모든 양의 정수가 특정 개수의 다각수의 합으로 표현될 수 있다는 정리이다. 다각수는 정삼각형, 정사각형 등 다각형 모양으로 배열할 수 있는 수를 의미하며, k번째 m각수는 P_m(k) = ((m-2)k²-(m-4)k)/2 공식으로 나타낼 수 있다. 이 정리는 페르마가 처음 언급했으나, 라그랑주, 가우스, 코시에 의해 차례로 증명되었다. 특히, 모든 양의 정수는 세 개의 삼각수, 네 개의 제곱수, 다섯 개의 오각수 등의 합으로 표현될 수 있다. 폴록은 이와 관련하여 임의의 자연수는 다섯 개의 사면체수 또는 일곱 개의 팔면체수의 합으로 표현될 수 있다는 추측을 제기했다.

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페르마 다각수 정리

2. 다각수

다각수는 특정 기하학적 형태를 이루는 점들의 개수를 나타내는 수이다. 예를 들어 17은 다음과 같이 세 가지 다각수로 표현할 수 있다.

17 = 10 + 6 + 1 (삼각수)
17 = 16 + 1 (제곱수)
17 = 12 + 5 (오각수)

이와 관련된 미해결 문제로 1850년 영국의 정치인 프레더릭 폴록이 제시한 폴록의 사면체수 추측과 폴록의 팔면체수 추측이 있다.

임의의 자연수는 많아야 다섯 개의 사면체수의 합으로 표현 가능하다.
임의의 자연수는 많아야 일곱 개의 팔면체수의 합으로 표현 가능하다.

2. 1. 다각수의 정의

''k''번째 ''m'' 각수는 다음 공식으로 주어진다.

:

P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}

이는 한 변에 ''k''개 있는 정 ''m''각형 모양으로 돌을 깔아 놓았을 때, 돌의 총 개수를 의미한다. 고대 그리스인들은 이 도형으로 배열할 수 없는 소수를 직선수라고 불렀다.

예를 들어 삼각수는 1, 3, 6, 10, 15, …이며, 사각수는 제곱수 1, 4, 9, 16, …와 같다. 첫 번째 ''m'' 각수는 1이고, 두 번째 ''m'' 각수는 ''m''이다.

2. 2. 다각수의 종류

''k''번째 ''m''각수란 다음 공식

:

P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}

로 주어지는 수를 말한다. 직관적으로 예를 들어, 돌을 한 변에 ''k''개 있는 정''m''각형 모양으로 깔아 놓을 수 있을 때 돌의 총 개수가 ''k''번째 ''m''각수가 된다.

이는 고대 그리스인들이 붙인 이름이며, 소수는 어떤 도형으로도 배열할 수 없기 때문에 직선수라고도 불렸다.

삼각수란 1, 3, 6, 10, 15, …를 말한다. 사각수는 제곱수 열 1, 4, 9, 16, …와 같다. 첫 번째 ''m''각수는 1이고, 두 번째 ''m''각수는 ''m''이다.

숫자 17의 세 가지 표현은 다음과 같다.

17 = 10 + 6 + 1 (''삼각수'')
17 = 16 + 1 (''제곱수'')
17 = 12 + 5 (''오각수'')

3. 다각수 정리의 역사

이 정리는 1638년 피에르 드 페르마가 처음 주장하였으나 증명은 하지 못했고, 이후 여러 수학자들에 의해 증명되었다. 조제프루이 라그랑주는 1770년에 제곱수 경우를 증명했고, 가우스는 1796년에 삼각수 경우를 증명하여 자신의 일기에 "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ"라고 기록했다.^[2] 가우스의 증명은 산술의 탐구에 발표되었으며, '''유레카 정리'''라고도 불린다.^[3] 1813년 코시가 완전한 다각수 정리를 증명했다.^[1]

코시의 보조 정리는 다음과 같다.

와 및 인 홀수 양의 정수 와 에 대해 다음과 같은 음이 아닌 정수 , , , 를 찾을 수 있다.

및 .

의 증명은 이 보조 정리를 기반으로 한다.

3. 1. 페르마의 제안

이 정리는 1638년 피에르 드 페르마가 증명 없이 처음 언급했으며, 별도의 저술을 통해 증명하겠다고 약속했지만, 결국 그 저술은 출판되지 않았다.^[1]

3. 2. 라그랑주, 가우스, 코시의 증명

조제프루이 라그랑주는 1770년에 제곱수 경우를 증명했는데, 이는 모든 양의 정수가 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있다는 것을 나타낸다. 예를 들어, 7 = 4 + 1 + 1 + 1이다.^[1] 가우스는 1796년에 삼각수 경우를 증명했으며, 자신의 일기에 "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ"라는 문구를 적어 이를 기념했다.^[2] 그는 산술의 탐구에서 이 증명을 발표했다. 이러한 이유로 가우스의 결과는 때때로 '''유레카 정리'''로 알려져 있다.^[3] 완전한 다각수 정리는 코시가 1813년에 증명했다.^[1]

4. 다각수 정리의 내용

폴록의 사면체수 추측과 폴록의 팔면체수 추측은 영국의 정치인 프레더릭 폴록이 1850년 제시한 미해결 문제이다. 이 추측들은 다음과 같다.

임의의 자연수는 많아야 다섯 개의 사면체수의 합으로 표현 가능하다.
임의의 자연수는 많아야 일곱 개의 팔면체수의 합으로 표현 가능하다.

4. 1. 정밀화

m^영어 ≥ 6인 경우, 충분히 큰 자연수는 m^영어-1개의 m^영어각수의 합으로 표현될 수 있다. 특정한 조건을 만족하는 경우, 더 적은 개수의 다각수 합으로 표현 가능하다.

m^영어 ≥ 5가 홀수일 때, 충분히 큰 자연수 $N\ge\tfrac{4(m-2)^3}{14-4\sqrt{3}}$ 는 네 개의 m^영어각수의 합으로 나타낼 수 있다.
m^영어 ≥ 6이 짝수일 때, 충분히 큰 홀수인 자연수 $N\ge\tfrac{(m-2)^3}{14-4\sqrt{3}}$ 는 네 개의 m^영어각수의 합으로 나타낼 수 있다.

5. 폴록의 추측

1850년 영국의 정치인 프레더릭 폴록(Frederick Pollock)은 폴록의 사면체수 추측과 폴록의 팔면체수 추측을 제시하였다. 이들은 다각수 정리와 관련된 미해결 문제이다.

5. 1. 폴록의 사면체수 추측

1850년 영국의 정치인 프레더릭 폴록(Frederick Pollock)이 제시한 폴록의 사면체수 추측에 따르면, 임의의 자연수는 많아야 다섯 개의 사면체수의 합으로 표현 가능하다.^[1]

5. 2. 폴록의 팔면체수 추측

임의의 자연수는 많아야 일곱 개의 팔면체수의 합으로 표현 가능하다.

6. 증명

페르마 다각수 정리는 모든 자연수가 주어진 각형수에 대해 그 각형수의 해당 숫자만큼의 합으로 표현될 수 있다는 정리이다. 이 정리는 여러 수학자들에 의해 다양한 방법으로 증명되었다.

삼각수의 경우: 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합으로 표현 가능하다. 이는 세 제곱수의 합 정리를 통해 증명할 수 있다.
사각수의 경우: 라그랑주의 네 제곱수 정리와 같다.
오각수 이상의 경우: N ≥ 108(m^영어 - 2)일 때, 특정 부등식을 만족하는 두 홀수를 찾아 N을 m^영어개의 m^영어각수의 합으로 나타낼 수 있다.

6. 1. 삼각수의 경우

세 제곱수의 합 정리에 따라

:8N+3=(2x+1)²+(2y+1)²+(2z+1)²

으로 표현되므로

:N=(x(x+1))/2+(y(y+1))/2+(z(z+1))/2

가 되는 x, y, z가 존재한다. 따라서 모든 자연수는 많아도 세 개의 삼각수의 합으로 나타낼 수 있다.

6. 2. 사각수의 경우

라그랑주의 네 제곱수 정리와 같다.

6. 3. 오각수 이상의 경우

m^영어 ≥ 5, N ≥ 108(m^영어 - 2)라 하면, 다음이 성립한다.

:

\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}-\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>3.86>\frac{23}{6}

따라서 다음을 만족하는 두 홀수 2d^영어 ± 1이 존재한다.

:

0<\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}<2d\pm1<\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}

N ≡ b^영어 + r^영어 (mod m^영어 - 2)가 되도록

:

b\in\{2d\pm1\},\ r\in\{e\in\mathbb{Z}|0\le{e}\le{m-4}\}

를 선택하고, 다음과 같이 정의한다.

:

a=2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b

a^영어, b^영어는 모두 홀수이므로, 4a^영어 - b² ≡ 4 - 1 ≡ 3 (mod 8)이다. 세 제곱수의 합 정리에 의해, 다음을 만족하는 세 홀수 x^영어 ≥ y^영어 ≥ z^영어'≥ 0가 존재한다.

:

4a-b^2=x^2+y^2+z'^2 \,

b^영어 + x^영어 + y^영어 - z^영어 ≡ 0 (mod 4)가 되도록 z^영어 = ± z^영어'의 부호를 정하고, 다음과 같이 정의한다.

:

w_1=\frac{b+x+y-z}{4}

:

w_2=w_1-\frac{y-z}{2}=\frac{b+x-y+z}{4}

:

w_3=w_1-\frac{x-z}{2}=\frac{b-x+y+z}{4}

:

w_4=w_1-\frac{x+y}{2}=\frac{b-x-y-z}{4}

그러면 다음이 성립한다.

:

w_1+w_2+w_3+w_4=b \,

:

w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=\frac{b^2+x^2+y^2+z^2}{4}=a

:

\begin{align}N&=\frac{(m-2)a-(m-4)b}{2}+r\\&=\frac{(m-2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2)-(m-4)(w_1+w_2+w_3+w_4)}{2}+r\\&=P_m(w_1)+P_m(w_2)+P_m(w_3)+P_m(w_4)+rP_m(1)\end{align}

여기서,

:

P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}

이다. 0 ≤ r^영어 ≤ m^영어 - 4이므로, w^영어_n^영어 ≥ 0이면 N ≥ 108(m^영어 - 2)가 m^영어개의 m^영어각수로 표현됨을 의미한다.

이제 w^영어_n^영어 ≥ 0임을 보이자.

:

b<\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}<2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)+\sqrt{\frac{8N-8r}{m-2}}=b'\qquad(\Leftarrow{m\ge5,r\le{m-4}})

이므로 다음이 성립한다.

:

\begin{align}b^2-4a&=b^2-4\left(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b\right)\\&=\left(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-4\left(\frac{m-4}{m-2}\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\&<\left(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\&<\left(b'-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)=0\\\end{align}

동시에

:

b>\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)+\sqrt{\frac{6N-6r}{m-2}-3}=b''\qquad(\Leftarrow{m\ge5})

이므로 다음이 성립한다.

:

\begin{align}b^2+2b+4-3a&=b^2+2b+4-3\left(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b\right)\\&=\left(b-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+4\\&>\left(b-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3\\&>\left(b''-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3=0\\\end{align}

4a^영어 - b^영어² = x^영어² + y^영어² + z^영어²에서 x^영어 + y^영어 + z^영어가 최대가 되는 경우는 x^영어 = y^영어 = z^영어일 때이므로, 다음이 성립한다.

:

x+y+z\le\sqrt{3(4a-b^2)}<\sqrt{4(b^2+2b+4)-3b^2}=b+4

:

b-x-y-z>-4 \,

w^영어₄는 정수이므로,

:

w_4=\frac{b-x-y-z}{4}\ge0

x^영어 ≥ y^영어 ≥ |z^영어|에 의해

:

{w_1}\ge{w_2}\ge{w_3}\ge{w_4}\ge{0}

가 성립한다.

7. 제곱수와 삼각수의 합

세 제곱수 합 정리에 따라 8''N'' + 1은 많아야 세 제곱수의 합으로 표시되지만, 법 8을 고려하면 한 개의 홀수 제곱수와 두 개의 짝수 제곱수의 합이다. 따라서,

: $8N+1=(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2 \,$

: $N=\frac{x(x+1)}{2}+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2+\left(\frac{y-z}{2}\right)^2$

가 되는 ''x'', ''y'', ''z''가 존재한다. 법 8을 고려하면, ''y'', ''z''는 모두 짝수이거나 모두 홀수이다. 따라서 모든 자연수는 많아야 한 개의 삼각수와 두 개의 제곱수의 합으로 표시된다. 마찬가지로 세 제곱수 합 정리에 따라 4''N'' + 1은 많아야 세 제곱수의 합으로 표시되지만, 법 8을 고려하면 한 개의 홀수 제곱수와 두 개의 짝수 제곱수의 합이다. 따라서,

: $4N+1=(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2 \,$

: $N=\frac{(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2-1}{4}=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+\frac{(x-y)(x-y+1)}{2}+z^2$

가 되는 ''x'', ''y'', ''z''가 존재한다. 따라서 모든 자연수는 많아야 두 개의 삼각수와 한 개의 제곱수의 합으로 표시된다.

2008년 4월 23일, 오선 등은 "모든 양의 정수는 제곱수와 홀수 제곱수, 삼각수의 합으로 나타낼 수 있다"는 것을 발표했다^[4].

참조

_[1] 서적
_[2] 서적 The World of Mathematics Simon & Schuster
_[3] 간행물 On the representation of integers as sums of triangular numbers
_[4] 논문 Mixed sums of squares and triangular numbers (Ⅲ)
_[5] 서적 Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra Cambridge University Press
_[6] 서적 Gauss, the Prince of Mathematicians Simon & Schuster

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