사면체수

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1. 개요

사면체수는 정사면체 모양으로 구를 쌓는 데 필요한 구의 개수를 나타내는 수로, n번째 사면체수는 1부터 n까지의 삼각수의 합으로 계산된다. 사면체수는 이항 계수를 사용하여 나타낼 수 있으며, 파스칼의 삼각형에서 네 번째 열에 위치한다. 사면체수는 삼각수 및 제곱 피라미드수와 밀접한 관련이 있으며, 재귀적 관계와 일반화된 공식을 통해 다양한 수학적 성질을 갖는다. 또한, 사면체수는 기하학적 해석과 대중문화에서도 활용되며, 특히 크리스마스 캐롤 "크리스마스 열두 날"과 카드 게임 "키포지"와 연관되어 있다.

사면체수

개요

종류	다면체
면의 모양	삼각형
변의 개수	6
꼭짓점의 개수	4
쌍대다면체	자기 자신
성질	볼록

수열

수열 이름	삼각뿔수, 사면체수
수식	$inom{n+2}{3} = rac{n(n+1)(n+2)}{6}$
생성 함수	$rac{x}{(1-x)^4}$
속성	모든 사면체수의 역수의 합은 3/2이다.
처음 10개의 사면체수	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220 (A000292)

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세제곱수는 정수를 세 번 곱한 수로, 단위 길이 변을 가진 정육면체를 쌓아 더 큰 정육면체를 만들 수 있는 수이며, 모든 정수는 9개 이하의 세제곱수의 합으로 표현 가능하다는 특징이 있다.
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삼각수는 1부터 n까지의 자연수 합으로, n(n+1)/2로 계산되며, 삼각형 모양으로 표현되고 조합론적 문제 해결에 활용되는 수이다.

1. 개요
2. 공식
- 2.1. 공식 증명
- 2.2. 재귀적 관계
3. 일반화
4. 기하학적 해석
5. 사면체근
6. 성질
7. 파스칼의 삼각형
8. 대중 문화

2. 공식

n번째 사면체수 Te_n의 공식은 n의 3번째 상승 계승을 3의 계승으로 나눈 것으로 나타낸다.
:

Te_n= \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i=1}^k i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n^{\overline 3}}{3!}

사면체수는 또한 이항 계수로 나타낼 수 있다.
:

Te_n=\binom{n+2}{3}.

따라서 사면체수는 파스칼의 삼각형에서 왼쪽 또는 오른쪽에서 네 번째 위치에서 찾을 수 있다.

2.1. 공식 증명

이 증명은 n번째 삼각수가 다음 식으로 주어진다는 사실을 사용한다.
: $T_n=\frac{n(n+1)}{2}.$
증명은 수학적 귀납법으로 진행한다.

기저 사례
: $Te_1 = 1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.$

귀납 단계
: $\begin{align}Te_{n+1} \quad&= Te_n + T_{n+1} \\&= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} + \frac{(n+1)(n+2)}{2} \\&= (n+1)(n+2)\left(\frac{n}{6}+\frac{1}{2}\right) \\&= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}.\end{align}$

이 공식은 고스퍼 알고리즘으로도 증명할 수 있다.

2.2. 재귀적 관계

사면체수와 삼각수는 다음의 재귀식을 통해 연관된다.

: $\begin{align}& Te_n = Te_{n-1} + T_n &(1)\\& T_n = T_{n-1} + n &(2)\end{align}$

식 $(2)$ 를 이용하면 식 $(1)$ 은 다음과 같이 변형된다.

: $\begin{align}& Te_n = Te_{n-1} + T_{n-1} + n\end{align}$

또한, 식 $(1)$ 에서 $n$ 대신 $n-1$ 을 대입하면 다음 식을 얻는다.

: $\begin{align}& Te_{n-1} = Te_{n-2} + T_{n-1}\end{align}$

위 두 식( $Te_n = Te_{n-1} + T_{n-1} + n$ 와 $Te_{n-1} = Te_{n-2} + T_{n-1}$ )으로부터 $T_{n-1}$ 을 소거하면, $n$ 번째 사면체수는 다음의 재귀 방정식을 만족함을 알 수 있다.

: $\begin{align}& Te_{n} = 2Te_{n-1} - Te_{n-2} + n\end{align}$

3. 일반화

삼각수의 패턴 $\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_2+1}{2}$ 와 사면체수의 패턴 $\sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_3+2}{3}$ 는 더 높은 차원으로 일반화될 수 있다. 이를 통해 다음과 같은 일반화된 공식을 얻을 수 있다.
$\sum_{n_{k-1}=1}^{n_k}\sum_{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots\sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_k+k-1}{k}$

4. 기하학적 해석

사면체수는 구(sphere)를 쌓아 정사면체 모형으로 만들 때 필요한 구의 개수로 해석할 수 있다. 예를 들어, 다섯 번째 사면체수 Te₅ = 35는 35개의 당구공을 이용해 모형을 만들 수 있다. 먼저 15개의 공을 삼각형 모양으로 배열하고(표준 삼각 당구공 프레임 사용 가능), 그 위에 10개의 공, 다시 그 위에 6개, 3개, 마지막으로 맨 위에 하나의 공을 올려 정사면체 형태를 완성한다.

또한, Te_n개의 구로 만들어진 차수-n 사면체를 단위로 사용할 때, n ≤ 4인 경우에는 이러한 단위를 이용한 공간 타일링이 가장 조밀한 구 쌓기를 달성할 수 있다고 알려져 있다.

5. 사면체근

세제곱근과 마찬가지로, x의 (실수) 사면체근은 Te_n = x를 만족하는 수 n으로 정의할 수 있다.
$n = \sqrt[3]{3x+\sqrt{9{x^2}-\frac{1}{27}}} +\sqrt[3]{3x-\sqrt{9{x^2}-\frac{1}{27}}} -1$
이는 카르다노 공식에서 유도된다. 동등하게, x의 실수 사면체근 n이 정수이면, x는 n번째 사면체수이다.

6. 성질

* 두 개의 연속하는 사면체수의 합은 제곱 피라미드 수이다. 즉, $Te_n + Te_{n-1} = \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$ 이다.
* 홀수 번째 사면체수는 홀수의 제곱합으로, 짝수 번째 사면체수는 짝수의 제곱합으로 나타낼 수 있다.
* 홀수: $Te_{2n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^2 = 1^2 + 3^2 + \dots + (2n+1)^2$
* 짝수: $Te_{2n} = \sum_{k=1}^n (2k)^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + (2n)^2$
* 제곱수이면서 사면체수인 수는 1, 4, 19600 세 개뿐이다. 이는 1878년 A. J. Meyl이 증명했다.
* $Te_1 = 1^2 = 1$
* $Te_2 = 2^2 = 4$
* $Te_{48} = 140^2 = 19600$
* 프레데릭 폴록 경은 모든 양의 정수는 최대 5개의 사면체수의 합으로 표현될 수 있다고 추측했다. 이를 폴록 사면체수 추측이라 한다.
* 사면체수이면서 제곱 피라미드 수(사각뿔수)인 수는 1뿐이다. (Beukers, 1988)
* 완전 세제곱수이면서 사면체수인 수는 1뿐이다.
* 사면체수의 역수의 무한 합은 $\frac{3}{2}$ 이며, 이는 텔레스코핑 급수를 이용하여 계산할 수 있다.
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{Te_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = 3 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} +\frac{1}{n+2}\right) = \frac{3}{2}$
* 사면체수의 패리티는 홀수-짝수-짝수-짝수 패턴으로 반복된다.
* 다섯 번째 사면체수는 앞의 네 사면체수의 합과 같다: $Te_5 = Te_4 + Te_3 + Te_2 + Te_1$ (35 = 20 + 10 + 4 + 1)
* 삼각수이면서 사면체수인 수는 다음 이항 계수 방정식을 만족하며, 5개만이 존재한다.
$T_n=\binom{n+1}{2}=\binom{m+2}{3}=Te_m$
* $Te_1 = T_1 = 1$
* $Te_3 = T_4 = 10$
* $Te_8 = T_{15} = 120$
* $Te_{20} = T_{55} = 1540$
* $Te_{34} = T_{119} = 7140$

세 번째 사면체수(10)는 네 번째 삼각수(10)와 같다. 이는 n번째 k-단순체 수가 k번째 n-단순체 수와 같다는 사실, 그리고 파스칼의 삼각형의 대칭성 및 대각선이 단순체 수라는 점에서 비롯된다. 비슷하게, 다섯 번째 사면체수(35)는 네 번째 오포체 수(35)와 같다.

Te_n

은 p + q = n + 1을 만족하는 모든 순서쌍 (p, q)의 곱 p × q의 합과 같다.
*

Te_n

은 이진법으로 표현했을 때 1을 두 개 포함하는 (n + 2)비트 수의 개수와 같다.
* 정수

a, b

에 대해

2^a+3^b+1

형태로 표현될 수 있는 가장 큰 사면체수는 8436이다. (

Te_{36} = 8436 = 2^2 + 3^8 + 1

)

--
* 파스칼의 삼각형에서 왼쪽 위(또는 오른쪽 위)에서 네 번째 대각선에 있는 수들이 사면체수 수열

1, 4, 10, 20, 35, \dots, \binom{n+2}{3} = Te_n

을 이룬다. 이는 세 번째 대각선에 있는 삼각수 수열

1, 3, 6, 10, 15, \dots, \binom{n+1}{2} = T_n

의 부분합이기도 하다.

7. 파스칼의 삼각형

--
사면체수는 이항 계수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $Te_n=\binom{n+2}{3}.$
이 식은 파스칼의 삼각형에서 각 행의 네 번째(k=3, 0부터 시작) 값에 해당한다. 따라서 사면체수는 파스칼의 삼각형에서 왼쪽 또는 오른쪽에서 네 번째 대각선 위에 배열된 수들과 같다.

파스칼의 삼각형에 있는 수열은 왼쪽 위(또는 오른쪽 위)에 있는 대각선부터 차례대로 다음과 같이 나타난다.
* 첫 번째 대각선 (k=0): 모나드(단수)의 수열: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, ${}_{n-1}{\rm C}_{0} \,$ ,…
* 두 번째 대각선 (k=1): 자연수의 수열: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, ${}_{n}{\rm C}_{1} \,$ ,…
* 세 번째 대각선 (k=2): 삼각수의 수열: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…, ${}_{n+1}{\rm C}_{2} \,$ ,…
* 네 번째 대각선 (k=3): 사면체수의 수열: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165,…, ${}_{n+2}{\rm C}_{3} \,$ ,…

왼쪽 위에 있는 대각선의 수열은 그 오른쪽 아래에 있는 대각선 수열의 계차수열이다. 즉, 모나드 수열은 자연수 수열의 계차수열이고, 자연수 수열은 삼각수 수열의 계차수열이며, 삼각수 수열은 사면체수 수열의 계차수열이 된다.

8. 대중 문화

Te₁₂ = 364는 캐롤 "크리스마스 열두 날"의 12절 전체에서 "나의 진실한 사랑이 나에게 보낸" 선물들의 총 개수이다. 각 절 이후의 누적 선물 총 개수 또한 절 n에 대한 Te_n이다.

가능한 키포지 세 가문의 조합 수는 또한 사면체수로, 여기서 n은 가문의 수를 나타내며 Te_n−2이다.