함수 방정식

3. 예시

• $f(x+P)\; =\; f(x)$는 주기함수를 정의한다.
• $f(x)\; =\; f(-x)$는 우함수를, $f(x)\; =\; -f(-x)$는 기함수를 정의한다.
• $f(x+y)\; =\; f(x)\; +\; f(y)$는 선형함수에 의해 만족된다 (코시 함수 방정식). 다만 선택 공리에 따라 병리적인 비선형 해의 존재도 증명될 수 있다.
• $f(x+y)\; =\; f(x)\; f(y)$는 지수함수에 의해 만족된다. 코시 함수 방정식과 마찬가지로 병리적인 불연속 함수가 해로서 존재할 수 있다.
• $f(xy)\; =\; f(x)\; +\; f(y)$는 로그함수에 의해 만족된다. 서로소인 변수에 대해서 덧셈적 함수를 정의한다.
• $f(xy)\; =\; f(x)\; f(y)$는 거듭제곱함수에 의해 만족된다. 서로소인 변수에 대해서 곱셈적 함수를 정의한다.
• $f(f(x))\; =\; x$는 대합을 정의한다.
• 점화 관계는 정수 또는 자연수에 대한 함수에서 함수 방정식으로 볼 수 있다.
• 교환 법칙과 결합 법칙은 함수 방정식이다.
• 리만 제타 함수는 다음 함수 방정식을 만족한다.

• 감마 함수는 다음 세 가지 방정식의 유일한 해이다.
• * $f(x)=\{f(x+1)\; \backslash over\; x\}$
• * $f(y)f\backslash left(y+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)=\backslash frac\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\{2^\{2y-1\}\}f(2y)$
• * $f(z)f(1-z)=\{\backslash pi\; \backslash over\; \backslash sin(\backslash pi\; z)\}$ (오일러의 반사 공식)
• $$f\backslash left(\{az+b\backslash over\; cz+d\}\backslash right)\; =\; (cz+d)^k\; f(z)$$ 는 $ad\; -\; bc\; =\; 1$을 만족하는 정수 a, b, c, d에 대해, f를 차수 k의 모듈러 형식으로 정의한다.
• $f(x\; +\; y)\; +\; f(x\; -\; y)\; =\; 2[f(x)\; +\; f(y)]$ (평행사변형 법칙)
• $f((x\; +\; y)/2)\; =\; (f(x)\; +\; f(y))/2$ (옌센의 함수 방정식)
• $g(x\; +\; y)\; +\; g(x\; -\; y)\; =\; 2[g(x)\; g(y)]$ (달랑베르의 함수 방정식)
• $f(h(x))\; =\; cf(x)$ (슈뢰더 방정식)
• $f(h(x))\; =\; f(x)\; +\; 1$ (아벨 방정식)
• $f(xy)\; =\; \backslash sum\; g\_l(x)\; h\_l(y)$ (레비-치비타)
• $f(x+y)\; =\; f(x)g(y)+f(y)g(x)$(사인 덧셈 공식 및 쌍곡선 사인 덧셈 공식)
• $g(x+y)\; =\; g(x)g(y)-f(y)f(x)$(코사인 덧셈 공식)
• $g(x+y)\; =\; g(x)g(y)+f(y)f(x)$(쌍곡선 코사인 덧셈 공식).

3. 1. 주기 함수

4. 풀이

함수 방정식의 해를 찾는 방법은 다양하며, 몇 가지 해법이 알려져 있다. 초등적인 경우 대입을 통해 풀릴 수 있으며, 함수가 전사, 단사, 우함수, 기함수라는 성질 등을 이용하기도 한다. 가설 풀이나 수학적 귀납법을 통해 푸는 경우도 있다.

일부 종류의 함수 방정식은 컴퓨터를 이용해 자동으로 풀 수 있다.

4. 1. 일반적인 풀이 방법

• $f(x)\; =\; a-x\backslash ,\; ,$
• $f(x)\; =\; \backslash frac\{a\}\{x\}\backslash ,\; ,$ 및
• $f(x)\; =\; \backslash frac\{b-x\}\{1+cx\}\; ~\; ,$

• 대합을 고려하는 해법

4. 2. 미분 방정식을 이용한 풀이

• $f(x+y)=f(x)+f(y)$・・・※

4. 3. 동적 계획법

5. 추가 정보

리만 제타 함수와 감마 함수 등 특수 함수들도 함수 방정식을 만족한다. 예를 들어, 리만 제타 함수는 다음 함수 방정식을 만족한다.^[1]

:$\backslash zeta(s)\; =\; 2^s\backslash pi^\{s-1\}\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\; s\}\{2\}\backslash right)\backslash Gamma(1-s)\backslash zeta(1-s)$

여기서 Γ는 감마 함수를 나타낸다. 감마 함수는 다음 세 가지 방정식을 모두 만족하는 유일한 함수이다.^[1]

:$\backslash begin\{cases\}$

f(x)=\dfrac{f(x+1)}{x} \\

f(y)f\left(y+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y) \\

f(z)f(1-z)= \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}

\end{cases}

결합 법칙, 교환 법칙 등 연산 법칙도 함수 방정식의 일종으로 볼 수 있다.^[1] 예를 들어 결합 법칙은 이항 연산 *에 대해 (a*b)*c = a*(b*c) 와 같이 표현되는데, a*b 대신 f|에프^영어(a, b)를 사용하면 f(f(a, b),c) = f(a, f(b, c)) 와 같이 함수 방정식 형태로 나타낼 수 있다.^[1]

보어-몰레럽 정리는 함수 방정식의 해가 특정 조건을 만족하는 유일한 함수임을 보여주는 예시이다.^[1]

참조

_[1] 서적 Functional Equations and Inequalities https://books.google[...] Kluwer Academic Publishers
_[2] 서적 Functional Equations and Inequalities in Several Variables https://archive.org/[...] World Scientific Publishing Co.
_[3] 논문 On Certain Real Solutions of Babbage's Functional Equation
_[4] 논문 Solving linear two variable functional equations with computer 2004-03-01
_[5] 서적 Dynamic Programming Princeton University Press
_[6] 서적 Dynamic Programming: Foundations and Principles Taylor & Francis