결맞는 상태

3. 정의

양자 조화 진동자의 소멸 연산자 $a$의 고유 상태가 결맞는 상태로 정의된다. 임의의 복소수 $\backslash alpha$에 대해, 결맞는 상태 $|\backslash alpha\backslash rangle$는 다음을 만족한다.^[1]

:$a|\backslash alpha\backslash rangle=\backslash alpha|\backslash alpha\backslash rangle$

즉, 결맞는 상태는 소멸연산자 $a$에 대해 고윳값 $\backslash alpha$를 갖는 고유상태이다.

결맞는 상태는 진공 상태에 변위 연산자 $D(\backslash alpha)\; =\; \backslash exp(\backslash alpha\; a^\backslash dagger\; -\; \backslash alpha^*\; a)$를 작용하여 얻을 수 있다.^[1]

:$|\backslash alpha\backslash rangle=D(\backslash alpha)|0\backslash rangle$

4. 성질

결맞는 상태는 양자역학에서 여러 가지 흥미로운 성질을 갖는다.

결맞는 상태는 다음을 만족한다.^[5]

여기서 $\backslash alpha$는 결맞는 상태를 나타내는 복소수이며, $\backslash Re(\backslash alpha)$와 $\backslash Im(\backslash alpha)$는 각각 $\backslash alpha$의 실수부와 허수부를 나타낸다.

입자 수 $n$은 푸아송 분포를 따르며, 이는 다음과 같이 표현된다.

:$P(n)=\backslash exp(-|\backslash alpha|^2)|\backslash alpha|^\{2n\}/n!$

이는 $n$개의 입자를 측정할 확률을 나타낸다.

양자 광학에서 결맞는 상태는 양자화된 전자기장의 상태를 나타내며, 이는 최대 종류의 결맞음과 고전적인 동작을 설명한다.^[2][6][7] 에르빈 슈뢰딩거는 1926년에 대응 원리를 만족하는 슈뢰딩거 방정식의 해를 찾으면서 "최소 불확정성" 가우스 파동 묶음으로 결맞는 상태를 유도했다.^[1]

로이 J. 글라우버는 1963년에 전자기장의 결맞음에 대한 완전한 양자 이론적 설명을 제공하면서 결맞는 상태에 대한 연구를 확장했다.^[8]

고전 광학에서 빛은 전자기파로 생각되지만, 양자 이론에서는 광자라는 입자의 흐름으로 설명된다. 레이저 빛은 공진 공동에서 생성되며, 매우 결맞는 특성을 갖는다. 따라서 레이저 빛은 결맞는 상태로 이상화될 수 있다.

결맞는 상태는 빔 분할기의 양자 작용을 설명하는 데에도 유용하다.^[11]

결맞는 상태는 소멸 연산자의 고유 상태로 정의되며, 이는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash hat\{a\}|\backslash alpha\backslash rangle=\backslash alpha|\backslash alpha\backslash rangle$

여기서 $\backslash alpha$는 복소수이다.

thumb에 필요한 것처럼 평균 광자 수는 광자 수 분포의 분산과 같다.]]

서로 다른 결맞는 상태는 직교하지 않지만,^[22] 과잉 완전성(Overcompleteness)을 만족하여, 임의의 양자 상태를 결맞는 상태의 중첩으로 표현할 수 있다.

:$\backslash langle\backslash beta|\backslash alpha\backslash rangle=\backslash exp\backslash bigg[-\backslash frac\{1\}\{2\}(|\backslash alpha|^2+|\backslash beta|^2)+\backslash beta^*\backslash alpha\backslash bigg]$

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; \backslash int\; |\backslash alpha\backslash rangle\backslash langle\backslash alpha|\; d^2\backslash alpha\; =\; I$

\qquad d^2\alpha \equiv d\Re(\alpha) \, d\Im(\alpha) ~.

4. 1. 최소 불확정성

4. 2. 광자 수 분포

4. 3. 위상과 광자 수의 불확정성

4. 4. 과잉 완전성

5. 표현

결맞는 상태는 포크 기저와 위치 기저로 전개하여 표현할 수 있다.

5. 1. 포크 기저 표현

5. 2. 위치 기저 표현

6. 양자 광학에서의 결맞는 상태

양자 광학에서 결맞는 상태는 양자화된 전자기장의 상태를 의미하며, 이는 최대 종류의 결맞음과 고전적인 종류의 동작을 설명한다.^[2][6][7] 결맞는 상태는 레이저 빛과 같이 결맞음이 큰 빛을 설명하는 데 사용된다.

결맞는 상태는 빔 분할기의 양자 작용을 설명하는 데 유용하다.^[11] 두 개의 결맞는 상태 입력 빔은 고전적인 전자기파 공식에 의해 주어진 새로운 진폭을 가진 두 개의 결맞는 상태 빔으로 출력에서 변환된다.^[11]

7. 응집물질물리학에서의 결맞는 상태

보스-아인슈타인 응축(BEC)은 모두 동일한 양자 상태에 있는 보손 원자들의 모임이다.^[25] 액체 헬륨-4의 초유동성은 이상 기체에서의 보스-아인슈타인 응축과 관련이 있는 것으로 여겨지지만, ⁴He는 강한 상호 작용을 가지며 액체 구조 인자가 중요한 역할을 한다. ⁴He의 초유동 구성 요소를 나타내기 위해 결맞는 상태를 사용한 것은 느린 중성자 산란 결과와 일치하는 초유동성에서 응축/비응축 분율을 잘 추정할 수 있었다.^{[26][27][28] 4}He의 초유동 구성 요소는 전이 온도에서 0에서 절대 영도에서 100%로 증가하지만, 응축 분율은 절대 영도(T=0K)에서 약 6%이다.^[29]

초유동성 연구 초기에 펜로즈와 온사거는 초유동성에 대한 지표("차수 매개변수")를 제안했다.^[30] 이는 1차 축소 밀도 행렬에서 거시적 인수 구성 요소(거시적 고유값)로 표현되었다. 이후 C. N. 양은 페르미온과 보손 시스템을 모두 포함하는 "비대각선 장거리 순서"(ODLRO)라는 거시적 양자 결맞음에 대한 보다 일반화된 척도를 제안했다.^[31] 초전도성은 2차 (쿠퍼 전자 쌍) 축소 밀도 행렬에서 큰 인수 구성 요소를 포함한다.

초유동체에서 거시적 양자 결맞음을 설명하는 데 사용되는 축소 밀도 행렬은 복사에서 결맞음 차수를 설명하는 데 사용되는 상관 함수와 형식적으로 동일하다.

전자는 페르미온이지만, 쿠퍼쌍을 이루면 보존처럼 행동하며, 낮은 온도에서 집단적으로 결맞는 상태를 형성할 수 있다. 이러한 짝짓기는 실제로 전자 사이에서 일어나는 것이 아니라, 전자가 해당 상태로 드나들 수 있는 상태에서 발생한다.^[32] 쿠퍼 짝짓기는 초전도 현상에 대한 최초의 모델이다.^[33]

이러한 결맞는 상태는 저온 초전도 반도체에서 나타나는 양자 홀 효과와 같은 현상을 설명하는 데 기여한다.

8. 일반화

질모어(Gilmore)와 페렐로모프(Perelomov)는 결맞는 상태의 구성이 군론의 문제로 간주될 수 있으며, 따라서 결맞는 상태가 하이젠베르크 군뿐만 아니라 다른 군과도 연관될 수 있음을 독립적으로 증명했다.^{[34][35][36][37]} 이러한 결맞는 상태는 양자군으로 일반화될 수도 있다. 이 주제는 수리물리학에서의 결맞는 상태에 자세히 설명되어 있다.

양자장론과 끈 이론에서 결맞는 상태의 일반화는 무한히 많은 자유도를 가진 진공 상태를 정의하는 데 사용된다. 이 진공 상태는 원래의 진공과 다른 진공 기댓값을 가진다.

페르미온 자유도를 가진 1차원 다체 양자 시스템에서, 저에너지 여기 상태는 입자-홀 여기를 생성하는 보존장 연산자의 결맞는 상태로 근사될 수 있다. 이러한 접근 방식을 보존화라고 한다.

비상대론적 양자 역학의 가우시안 결맞는 상태는 클라인-고든(Klein-Gordon) 입자와 디랙(Dirac) 입자의 ''상대론적 결맞는 상태''로 일반화될 수 있다.^[38][39][40]

결맞는 상태는 루프 양자 중력 연구나 (반)고전적 정준 양자 일반 상대성이론 구성에도 나타났다.^[41][42]

참조

_[1] 논문 Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik Springer Science and Business Media LLC
_[2] 서적 Coherent States World Scientific
_[3] 서적 Quantum Mechanics McGraw Hill
_[4] 논문 The action option and a Feynman quantization of spinor fields in terms of ordinary c-numbers Elsevier BV
_[5] 논문 Measurement of the quantum states of squeezed light http://gerdbreitenba[...] Springer Nature
_[6] 논문 Coherent states: Theory and some applications American Physical Society (APS) 1990-10-01
_[7] 서적 Coherent States in Quantum Physics Wiley-VCH
_[8] 논문 Coherent and Incoherent States of the Radiation Field American Physical Society (APS) 1963-09-15
_[9] 논문 Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams American Physical Society (APS) 1963-04-01
_[10] 논문 The Theory of Quantized Fields. III American Physical Society (APS) 1953-08-01
_[11] 서적 Measuring the Quantum State of Light Cambridge University Press 1997
_[12] 웹사이트 The Energy Density of Fields https://www.sjsu.edu[...]
_[13] 서적 "Quantum Photonics, 2nd ed." Springer Nature
_[14] 간행물 Quantum mechanical phase and time operator
_[15] 논문 Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics American Physical Society (APS) 1968-04-01
_[16] 논문 On the Hermitian Optical Phase Operator Informa UK Limited
_[17] 논문 Who Is Afraid of POV Measures? Unified Approach to Quantum Phase Observables Elsevier BV
_[18] 논문 'Nonclassical' states in quantum optics: a 'squeezed' review of the first 75 years IOP Publishing 2002-01-08
_[19] 서적 Theory of Nonclassical States of Light Taylor \& Francis
_[20] 논문 Analytic representations in quantum mechanics IOP Publishing 2006-02-01
_[21] 서적 Coherent States in Quantum Physics Wiley-VCH
_[22] 서적 Quantum Optics Cambridge University Press 1997
_[23] 논문 Nonclassical properties of states generated by the excitations on a coherent state 1991-01-01
_[24] 논문 Thermal Coherent States and Thermal Squeezed States Informa UK Limited
_[25] 간행물 Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor
_[26] 논문 A proposal for an experimental determination of the equilibrium condensate fraction in superfluid helium Elsevier BV
_[27] 논문 Bose–Einstein Condensation, Phase Coherence, and Two-Fluid Behavior in ⁴He American Physical Society (APS) 2004-04-01
_[28] 논문 Bose–Einstein condensation and two fluid behavior in ⁴He American Physical Society (APS) 2006-07-26
_[29] 논문 Condensate fraction in superfluidHe4 American Physical Society (APS) 1987-04-01
_[30] 논문 Bose–Einstein Condensation and Liquid Helium American Physical Society (APS) 1956-11-01
_[31] 논문 Concept of Off-Diagonal Long-Range Order and the Quantum Phases of Liquid He and of Superconductors American Physical Society (APS) 1962-10-01
_[32] 간행물 see [[John Bardeen]]'s chapter in: Cooperative Phenomena, eds. H. Haken and M. Wagner (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973)
_[33] 논문 Theory of Superconductivity American Physical Society (APS) 1957-12-01
_[34] 간행물 Coherent states for arbitrary Lie groups https://arxiv.org/ab[...]
_[35] 서적 Generalized coherent states and their applications Springer
_[36] 논문 Geometry of symmetrized states Elsevier BV
_[37] 논문 On properties of coherent states https://rmf.smf.mx/p[...]
_[38] 서적 Quantum Physics, Relativity, and Complex Spacetime: Towards a New Synthesis North-Holland
_[39] 서적 Coherent States, Wavelets and Their Generalizations Springer-Verlag
_[40] 논문 Generalized coherent states for spinning relativistic particles 2004-08-25
_[41] 논문 Coherent State Transforms for Spaces of Connections
_[42] 논문 Coherent states for canonical quantum general relativity and the infinite tensor product extension Elsevier BV
_[43] 저널
_[44] 저널