구부러진 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 간단한 2차원 예
3. 매장
- 3.1. 좌표 변환
4. 매장없이
5. 열림, 평평함, 닫힘
참조

1. 개요

구부러진 공간은 유클리드 기하학의 기본 원리가 성립하지 않는 공간을 의미한다. 구의 표면과 같이 2차원 공간에서도 나타날 수 있으며, 피타고라스 정리가 성립하지 않는 특징을 갖는다. 구부러진 공간을 설명하기 위해 추가 차원을 도입하여 공간을 매장하거나, 리만 기하학을 사용하여 추가 차원 없이 기하학을 설명할 수 있다. 등방적이고 균질한 공간은 곡률 상수 $\kappa$ 에 따라 열린 공간, 평평한 공간, 닫힌 공간으로 분류되며, 삼각형의 각의 합이 180°와 다르다.

더 읽어볼만한 페이지

리만 기하학 - 등각 사상
등각 사상은 각도를 보존하는 사상으로, 2차원에서는 도함수가 0이 아닌 정칙 함수인 복소 함수가 해당되며, 3차원 이상에서는 상사 변환, 등거리 변환, 특수 등각 변환 등으로 분류되어 지도 제작, 항공우주 공학 등 다양한 분야에 응용된다.
리만 기하학 - 편평도
편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.
일반 상대성이론 - 양자 중력
양자 중력은 양자역학과 일반 상대성이론을 통합하여 중력이 강한 극한 조건에서 발생하는 이론적 모순을 해결하려는 시도로, 재규격화 불능성과 시공간 배경 의존성 차이 등의 난제 해결을 위해 끈 이론, 루프 양자 중력 등 다양한 접근 방식이 연구되고 있으며, 우주 마이크로파 배경 데이터 등을 이용한 실험적 검증이 시도되고 있다.
일반 상대성이론 - 중력 특이점
중력 특이점은 일반 상대성이론에서 시공간이 정의되지 않고 물리량이 무한대로 발산하는 지점으로, 다양한 형태로 나타나며 이론에 따라 존재가 부정되거나 사건 지평선 뒤에 숨겨져 있다고 여겨지기도 하고 블랙홀의 엔트로피와 관련된 호킹 복사 이론과도 관련된다.
물리우주론 - 암흑 에너지
암흑 에너지는 우주 팽창을 가속하는 미지의 에너지 형태로, 우주 에너지의 약 68%를 차지하며 우주의 미래를 결정하는 중요한 요소이다.
물리우주론 - 티마이오스 (대화편)
플라톤의 대화편 《티마이오스》는 소크라테스, 티마이오스, 크리티아스, 헤르모크라테스의 대화를 통해 우주와 인간의 기원과 본성을 탐구하며, 데미우르고스에 의한 우주 창조, 4원소의 수학적 구조, 그리고 《크리티아스》와의 연관성으로 플라톤 철학의 중요한 위치를 차지한다.

구부러진 공간
일반 정보
주제	공간의 기하학적 속성
관련 분야	기하학 물리학
곡률과의 관계
관련 개념	시공간
설명	중력과 관련됨

2. 간단한 2차원 예

구부러진 공간의 매우 친숙한 예는 구의 표면이다. 우리에게 친숙한 관점에서 볼 때 구체는 3차원으로 보이지만, 물체가 표면에 놓이도록 제한되어 있으면 이동할 수 있는 두 개의 차원만 있다. 구의 표면은 표면이 아무리 거칠게 보일지라도 부피의 2차원 외부 경계인 표면일 뿐이므로 2차원으로 완전히 설명할 수 있다. 복잡한 프랙탈인 지구 표면조차도 부피 외부를 따라 있는 2차원 경계일 뿐이다.^[3]

3. 매장

평평한 공간에서 직각 삼각형의 한 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다. 이 관계는 구부러진 공간에서는 적용되지 않는다.

피타고라스 정리에 따르면 평평한 공간에서는 빗변의 길이의 제곱(

dl^2

)은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합(

dx^2 + dy^2

)과 같다. 그러나 굽은 공간에서는 이 관계가 성립하지 않는다. 즉,

:

dx^2 + dy^2 \neq dl^2

이다.

이러한 문제를 해결하기 위해 추가 차원을 도입하여 굽은 공간을 매장(embedding)하는 방법을 사용할 수 있다. 예를 들어, 좌표

(x', y', z')

를 갖는 3차원 비유클리드 공간을 생각해보자. 이 공간은 평평하지 않기 때문에

:

dx'^2 + dy'^2 + dz'^2 \ne dl'^2

이다.

하지만 3차원 공간을 4차원 좌표

(x, y, z, w)

로 묘사하면,

:

dx^2 + dy^2 + dz^2 + dw^2 = dl^2

를 만족하는 좌표를 선택할 수 있다. 여기서

x

는

x'

와 같지 '''않다'''.

4차원 좌표가 원래 3차원 공간을 설명하려면 자유도가 같아야 한다. 4개의 좌표는 4개의 자유도를 가지므로, 하나의 제약 조건이 필요하다. 이 제약 조건은 4차원 공간에서 피타고라스 정리가 성립하도록 선택할 수 있다. 즉,

:

x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = \textrm{constant}

이다.

상수는 양수 또는 음수가 될 수 있으며, 편의상

\kappa^{-1}R^2

(여기서

R^2

은 양수이고

\kappa \equiv \pm 1

)로 선택할 수 있다.

이제 이 제약 조건을 사용하여 네 번째 좌표

w

를 제거할 수 있다. 제약 방정식의 미분은

:

xdx + ydy + zdz + wdw = 0

이므로

:

dw = -w^{-1}(xdx + ydy + zdz)

이다.

dw

를 원래 방정식에 대입하면,

:

dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + \frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{\kappa^{-1}R^2 - x^2 - y^2 - z^2}

를 얻는다.

3. 1. 좌표 변환

매장 방법을 통해 얻은 복잡한 형식의 계량을 간단하게 표현하기 위해 좌표 변환을 사용한다. 일반적으로 다음의 수식은 그다지 매력적이지 않다.

:

dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + \frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{\kappa^{-1}R^2 - x^2 - y^2 - z^2}

따라서, 이를 간단하게 만들기 위해

x = r\sin\theta\cos\phi

,

y = r\sin\theta\sin\phi

,

z = r\cos\theta

와 같은 좌표 변환이 종종 적용된다. 이 좌표 변환을 적용하면, 다음과 같이 좀 더 간단한 형태를 얻을 수 있다.

:

dl^2 = \frac{dr^2}{1-\kappa\frac{r^2}{R^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2

4. 매장없이

리만 기하학을 이용하면 추가 차원을 도입하지 않고도 n차원 굽은 공간의 기하학을 설명할 수 있다. 등방성이고 균질한 공간은 다음 계량으로 표현될 수 있다.

: $dl^2 = e^{-\lambda(r)}{dr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2 \,$

$\lambda = 0$ 인 경우 이 공간은 유클리드 공간으로 축소된다. 그러나 바일 텐서의 성분이 모두 0이면 공간이 "평평하다"고 할 수 있다. 3차원에서 이 조건은 리치 텐서 $R_{ab}$ 는 계량 곱하기 리치 스칼라 ( $R$ 을 이전 절의 R과 혼동하지 말 것)이다. 즉, $R_{ab} = g_{ab} R$ 이다. 계량에서 이러한 성분을 계산하면

: $\lambda = -\frac{1}{2}\ln \left( 1 - k r^2 \right)$ 여기서 $k \equiv \frac{R}{2}$ .

이는 계량

: $dl^2 = \frac{dr^2}{1-k{r^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$

을 제공한다. 여기서 $k$ 는 0, 양수 또는 음수일 수 있으며 ±1로 제한되지 않는다.

5. 열림, 평평함, 닫힘

등방적이고 균질한 공간은 다음 계량으로 설명할 수 있다.

: $dl^2 = \frac{dr^2}{1-\kappa\frac{r^2}{R^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$

곡률 상수 $R$ 가 무한대로 커지면 평평한 유클리드 공간으로 수렴한다. 이는 본질적으로 $\kappa$ 를 0으로 설정하는 것과 동일하다. $\kappa$ 가 0이 아닌 공간은 유클리드가 아니다. $\kappa = +1$ 일 때 그 공간은 '닫혀 있다' 또는 타원형이라고 한다. $\kappa = -1$ 일 때 공간은 '열려 있다' 또는 쌍곡형이라고 한다.

열린 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 작다. 닫힌 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 크다. 하지만 부피는 $(4/3)\pi r^3$ 가 아니다.

참조

_[1] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space https://www.feynmanl[...] 2024-01-18
_[2] 웹사이트 Curved Space https://www.math.bro[...] 2024-01-18
_[3] 웹사이트 Curved Space - Special and General Relativity - The Physics of the Universe https://www.physicso[...] 2024-01-18

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com