귀진 완전열

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
5. 대수기하학에서의 귀진 준동형
참조

1. 개요

귀진 완전열은 올이 k차원 초구인 세르 올뭉치에 대해 정의되는 긴 완전열이다. 이 열은 코호몰로지 환 위에 작용하는 기본군을 가지는 CW 복합체인 밑 공간 B를 갖는다. 귀진 완전열은 다음과 같은 형태를 가진다. $\cdots\to\operatorname H^n(E)\to\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{d^{n-k,k}_{k+1}}\operatorname H^{n+1}(B)\to \operatorname H^{n+1}(E)\to\cdots$ 여기서 $E$ 는 전체 공간, $B$ 는 밑 공간을 나타낸다. 귀진 완전열은 귀진 준동형, 오일러 특성류와의 합곱, 코호몰로지에 의한 당김 등의 준동형 사상으로 구성된다. 이 개념은 베르너 귀진에 의해 1941년에 처음 소개되었으며, 대수기하학에서 정제된 귀진 준동형 사상으로 확장되어 교차 이론에 활용된다.

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귀진 완전열
개요
유형	수학의 완전열
분야	대수적 위상수학 미분위상수학
설명	올뭉치(fiber bundle)의 호몰로지 군에 대한 완전열
역사적 정보
창시자	베르너 귀진(Werner Gysin)
발표년도	1942년

2. 정의

올이 $k$ 차원 초구(또는 호몰로지 초구)인 세르 올뭉치

: $\mathbb S^k\hookrightarrow E\stackrel\pi\twoheadrightarrow B$

를 생각하자. $B$ 가 경로 연결 CW 복합체이며 기본군 $\pi_1(B)$ 는 코호몰로지 환 $\operatorname H^\bullet(B)$ 위에 자명하게 작용한다고 하자. 이는 세르 스펙트럼 열이 존재하기 위한 충분조건이다. 초구는 0차 및 $k$ 차 코호몰로지만을 가지므로, 세르 스펙트럼 열의 둘째 쪽은 다음과 같다.

: $E^{\bullet,\bullet}_2=\cdots=E^{\bullet,\bullet}_{k+1}=\left|\underline{\begin{matrix}\operatorname H^0(B)&\operatorname H^1(B)&\cdots\\0&0&\cdots\\\vdots&\vdots\\0&0&\cdots\\\operatorname H^0(B)&\operatorname H^1(B)&\cdots\end{matrix}}\right.$

이 스펙트럼 열은 2번째 쪽부터 $k+1$ 번째 쪽까지는 그대로이며, $k+2$ 번째 쪽에서 퇴화한다.

: $E^{\bullet,\bullet}_{k+2}=\cdots=E^{\bullet,\bullet}_\infty=\left|\underline{\begin{matrix}\ker d^{0,k}_{k+1}&\ker d^{1,k}_{k+1}&\cdots\\0&0&\cdots\\\vdots&\vdots\\0&0&\cdots\\\operatorname H^0(B)&\operatorname H^1(B)&\cdots&\operatorname H^k(B)&\operatorname{coker}d^{0,k}_{k+1}&\operatorname{coker}d^{1,k}_{k+1}&\cdots\end{matrix}}\right.$

이 스펙트럼 열은 $\operatorname H^{p+q}(E)$ 로 수렴한다. 따라서,

: $\frac{\operatorname H^n(E)}{F^n\operatorname H^n(E)}=\ker d^{n-k,k}_{k+1}$

: $F^{n+1}\operatorname H^{n+1}(E)=\operatorname{coker}d^{n-k,k}_{k+1}$

가 되고, 완전열

: $0\to\frac{\operatorname H^n(E)}{F^n\operatorname H^n(E)}\to\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{d^{n-k,k}_{k+1}}\operatorname H^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname H^{n+1}(E)\to0$

이 존재한다. 이들을 다음과 같이 잇는다.

: $\cdots\to\operatorname H^n(E)\twoheadrightarrow\frac{\operatorname H^n(E)}{F^n\operatorname H^n(E)}\to\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{d^{n-k,k}_{k+1}}\operatorname H^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname H^{n+1}(E)\hookrightarrow\operatorname H^{n+1}(E)\to\cdots$

이제 $\operatorname H^\bullet(E)/F^\bullet\operatorname H^\bullet(E)$ 및 $F^\bullet\operatorname H^\bullet(E)$ 를 생략하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

: $\cdots\to\operatorname H^n(E)\to\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{d^{n-k,k}_{k+1}}\operatorname H^{n+1}(B)\to \operatorname H^{n+1}(E)\to\cdots$

이를 '''귀진 완전열'''이라고 한다.

섬유 지향 구 번들(fiber-oriented sphere bundle)에서 전체 공간(total space)은 ''E'', 밑 공간(base space)은 ''M'', 올(fiber)은 ''S''^''k''이며 사영 사상(projection map)은 다음과 같다.

: $S^k \hookrightarrow E \stackrel{\pi}{\longrightarrow} M$

이러한 번들은 차수(degree)가 ''k'' + 1인 코호몰로지류(cohomology class) ''e''를 정의하며, 이는 번들의 오일러류(Euler class)라고 불린다.

3. 성질

귀진 완전열

: $\cdots\to\operatorname H^n(E)\xrightarrow{\pi_*}\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{e(E)\smile}\operatorname H^{n+1}(B)\xrightarrow{\pi^*}\operatorname H^{n+1}(E)\to\cdots$

에서 각 준동형은 다음과 같이 해석할 수 있다.

$e(E)\smile\colon\operatorname H^\bullet(B)\to\operatorname H^{\bullet+k+1}(B)$ 은 초구 올뭉치 $E$ 의 오일러 특성류와의 합곱이다. 구체적으로, $\mathbb S^k$ 올다발 $E$ 가 주어졌다면, 그 연관 다발, 즉 각 올의 (임의의 내적에 대한) 단위 초구가 $E$ 가 되는 $k+1$ 차원 실수 벡터 다발 $\tilde E\twoheadrightarrow B$ 을 정의할 수 있다. $E$ 의 오일러 특성류는 $\tilde E$ 의 오일러 특성류 $e(\tilde E)\in\operatorname H^{k+1}(B;\mathbb Z)$ 와 같다.
$\pi^*\colon\operatorname H^\bullet(B)\to H^\bullet(E)$ 는 코호몰로지에 의한 $\pi\colon E\twoheadrightarrow B$ 의 당김이다.
$\pi_*\colon\operatorname H^{\bullet+k}(E)\to\operatorname H^\bullet(B)$ 는 '''귀진 준동형'''(Gysin準同型, Gysin homomorphism^영어)이라고 한다. 실수 계수 코호몰로지의 경우, 드람 코호몰로지를 사용한다면 이는 $E$ 위의 미분 형식을 $E$ 의 올 $\mathbb S^k$ 에 대하여 적분한 것이다.

드람 코호몰로지를 통해 수열에 대한 논의를 명확히 할 수 있다. 코호몰로지 클래스는 미분 형식으로 표현되므로 ''e''는 (''k'' + 1) 형식으로 표현될 수 있다.

사영 사상

\pi

는 코호몰로지

H^\ast

에서 당김

\pi^\ast

라고 하는 사상을 유도한다.

:

\pi^*:H^*(M)\longrightarrow H^*(E). \,

올다발의 경우, 섬유 적분 사상

\pi_\ast

도 정의할 수 있다.

:

\pi_*:H^*(E)\longrightarrow H^{*-k}(M)

이 사상은 섬유를 따라 적분을 통해 배향된 구체에서 미분 형식을 적분하는 방식으로 작동한다. – 이 사상은 방향이 반대라는 점에 유의해야 한다. 즉, 반변 공변자를 사용하여 연관된 객체 간의 공변 사상이다.

귀진은 다음이 긴 완전 수열임을 증명했다.

:

\cdots \longrightarrow H^n(E) \stackrel{\pi_*}{\longrightarrow} H^{n-k}(M) \stackrel{e_\wedge}{\longrightarrow} H^{n+1}(M) \stackrel{\pi^*}{\longrightarrow} H^{n+1}(E) \longrightarrow \cdots

여기서

e_\wedge

는 오일러 클래스 ''e''에 대한 미분 형식의 쐐기곱이다.

4. 역사

스위스의 수학자 베르너 귀진(1915~?)이 1941년 박사 학위 논문에서 도입하였다.^[1] 이는 귀진이 출판한 유일한 논문이다.

5. 대수기하학에서의 귀진 준동형

i^영어: X^영어 → Y^영어를 코드 d^영어의 (닫힌) 정칙 매입이라 하고, ''Y'' → ''Y''를 사상, i'^영어: X'^영어 = X^영어 ×_''Y'' ''Y'' → ''Y''를 유도된 사상이라고 하자. ''N''을 i^영어의 법선 다발을 ''X''로 당겨온 것으로 하자. 그러면 '''정제된 기신 준동형 사상''' i^영어^!는 다음과 같은 합성을 가리킨다.

: $i^!: A_k(Y') \overset{\sigma}\longrightarrow A_k(N) \overset{\text{Gysin}} \longrightarrow A_{k-d}(X')$

여기서,

σ는 특수화 준동형 사상으로, ''k''차원 부분다양체 V^영어를 V^영어와 ''X''의 교차점의 법선뿔로 V^영어로 보낸다. 결과는 $C_{X'/Y'} \hookrightarrow N$ 을 통해 ''N''에 있다.
두 번째 사상은 영 단면 매입 $X' \hookrightarrow N$ 에 의해 유도된 (일반적인) 기신 준동형 사상이다.

준동형 사상 i^영어^!는 교차 이론에서 교차 곱을 "인코딩"하며, ''X''와 V^영어의 교차 곱이

X \cdot V = i^![V]

로 주어진다는 것을 보이거나, 이 공식을 정의로 사용한다.

'''예시''': 벡터 다발 ''E''가 주어졌을 때, s^영어: X^영어 → E^영어를 ''E''의 단면이라고 하자. 그러면, s^영어가 정칙 단면일 때,

s^{!}[X]

는 s^영어의 영 궤적의 클래스이며, 여기서 [''X'']는 ''X''의 기본 클래스이다.^[1]

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