합곱
"오늘의AI위키" 는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다."오늘의AI위키" 의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차 보기/숨기기
2. 정의
특이 코호몰로지에서 컵곱(cup product)은 위상 공간 ''X''의 코호몰로지 환 ''H''∗ (''X'')에 곱을 부여하는 구성이다. 컵곱은 쌍대사슬의 합곱, 코호몰로지류의 합곱, 텐서곱으로 정의된다.
2. 1. 쌍대사슬의 합곱
위상 공간 X 와 가환환 R 가 주어졌을 때, 특이 쌍대사슬의 '''합곱'''(cup product)은 다음과 같은 R -선형 변환 이다.\smile\colon C^p(X;R)\times C^q(X;R)\to C^{p+q}(X;R) p 차 특이 쌍대사슬 c\in C^p(X;R) 및 q 차 특이 쌍대사슬 d\in C^q(X;R) 및 (p+q) 차 특이 단체 \sigma\colon\triangle^{p+q}\to X 에 대하여,c \smile d\colon\sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q}) \iota_S\colon\triangle^2. 2. 코호몰로지류의 합곱
쌍대사슬의 합곱은 쌍대경계 \delta 와 다음과 같은 관계를 가진다.\delta(c \smile d) = \delta c \smile d + (-1)^{\deg c}(c \smile \delta d) \smile\colon H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R) H^\bullet(X;R) 는 등급환을 이룬다.위상 공간 ''X''의 등급 코호몰로지 환 ''H''∗ (''X'')에 곱을 부여한다.\alpha^p 가 ''p''-코체인이고 \beta^q 가 ''q''-코체인일 때 다음과 같이 정의된다.(\alpha^p \smile \beta^q)(\sigma) = \alpha^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot \beta^q(\sigma \circ \iota_{p,p+1, ..., p + q}) 특이 (''p'' + ''q'') -단순체이고, \iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} 는 S에 의해 생성된 단순체를 (p+q) -단순체에 정규적으로 매장 하며, 정점은 \{0,...,p+q \} 로 인덱싱된다. \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p} 는 ''p''번째 '''앞면'''이고, \sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q} 는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다.\alpha^p 와 \beta^q 의 컵곱의 코경계는 다음과 같다.\delta(\alpha^p \smile \beta^q) = \delta{\alpha^p} \smile \beta^q + (-1)^p(\alpha^p \smile \delta{\beta^q}). H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). 을 유도한다.2. 3. 텐서곱
두 위상 공간 X,Y 및 가환환 R 위의 가군 M , N 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.\otimes_R\colon C^p(X;M)\times C^q(Y;N)\to C^{p+q}(X\times Y;M\otimes_R N) c \otimes_R d\colon\sigma \mapsto c\left(\operatorname{proj}^{X\times Y}_X\circ\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}\right) \otimes_R d\left(\operatorname{proj}^{X\times Y}_Y\circ\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q}\right) \in M\otimes_RN \operatorname{proj}^{X\times Y}_X\colon X\times Y\to X \operatorname{proj}^{X\times Y}_Y\colon X\times Y\to Y \otimes_R\colon \operatorname H^p(X;M)\times\operatorname H^q(Y;N)\to\operatorname H^{p+q}(X\times Y;M\otimes_RN) M=N=R 라면, R\otimes_R=R 이므로 이는\otimes_R\colon \operatorname H^p(X;R)\times\operatorname H^q(Y;R)\to\operatorname H^{p+q}(X\times Y;R) 퀴네트 정리 에 등장하는 사상과 같다.
3. 성질
코호몰로지류의 합곱은 다음 등급 교환 법칙을 따른다.\alpha \smile \beta = (-1)^{\deg\alpha\deg\beta}(\beta \smile \alpha) 함자 성질을 갖는다. 임의의 연속 함수 f\colon X\to Y 에 대하여, 코호몰로지로 인한 당김 f^*\colon H^\bullet(Y)\to H^\bullet(X) 을 정의하면, 임의의 \alpha,\beta\in H^\bullet(Y) 에 대하여,f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta), f^* 는 등급환의 준동형 을 이룬다.
3. 1. 합곱과 텐서곱의 관계
위상 공간 X 와 가환환 R 위의 가군 M , N 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상\operatorname{diag}_X\colon X\to X^2 \operatorname{diag}_X^*(-\otimes_R-)\colon \operatorname H^p(X;M)\times\operatorname H^q(X;N)\to\operatorname H^{p+q}(X;M\otimes_RN) M=N=R 라면, 이는 합곱 \smile 과 일치한다.
4. 다른 정의
드람 코호몰로지에서 미분 형식 의 컵 곱은 쐐기곱으로 유도된다. 두 개의 닫힌 미분 형식의 쐐기곱은 원래 두 드람 코호몰로지류의 컵 곱의 드람 코호몰로지류에 속한다.매끄러운 다양체 의 두 부분 다양체가 횡단적으로 교차할 때, 그 교차는 다시 부분 다양체가 된다. 이러한 다양체의 기본 호몰로지 류는 호몰로지에 쌍선형인 곱을 가져온다. 이 곱은 컵 곱에 쌍대이다. 즉, 두 부분 다양체의 교차의 호몰로지류는 그들의 푸앵카레 쌍대 의 컵 곱의 푸앵카레 쌍대이다.연결수는 꼬인 매듭의 여집합 위의 소멸하지 않는 컵 곱으로 정의할 수 있다. 이 두 개의 꼬인 원의 여집합은 소멸하지 않는 컵 곱을 갖는 토러스로 변위 리트랙트한다.
4. 1. 컵곱과 미분 형식
드람 코호몰로지에서 미분 형식 의 컵 곱은 쐐기곱으로 유도된다. 즉, 두 개의 닫힌 미분 형식의 쐐기곱은 원래 두 드람 코호몰로지류의 컵 곱의 드람 코호몰로지류에 속한다.4. 2. 컵곱과 기하학적 교차
방향 다양체에서 컵 곱은 교차점에 이중적이라는 기하학적 직관(휴리스틱)이 있다.M 을 n 차원 매끄러운 다양체 라고 할 때, 공차원이 i 와 j 인 두 부분 다양체 A,B 가 횡단적으로 교차하면, 그 교차점 A \cap B 는 공차원이 i+j 인 부분 다양체가 된다. 이러한 다양체의 기본 호몰로지 류를 통해 호몰로지에서 양선형 곱을 얻을 수 있다. 이 곱은 컵 곱에 푸앵카레 쌍대 이다. 즉, 다음 등식이 성립한다.[A]^* \smile [B]^*=[A \cap B]^* \in H^{i+j}(X, \mathbb Z) .매끄러운 다양체 의 두 부분 다양체가 횡단적으로 교차할 때, 그 교차는 다시 부분 다양체이다. 이러한 다양체의 기본 호몰로지류는 호몰로지에 쌍선형인 곱을 가져온다. 이 곱은 컵 곱에 쌍대이다. 즉, 두 부분 다양체의 교차의 호몰로지류는 그들의 푸앵카레 쌍대의 컵 곱의 푸앵카레 쌍대이다.
5. 매시 곱
매시 곱 은 컵 곱을 일반화하여 "고차 결합수", 밀너 불변량을 정의할 수 있게 해준다.매시 곱 (매시 곱)이라 불리는 삼항 이상 연산을 정의할 수 있다. 이는 고차 코호몰로지 연산 이며, 부분적으로만 정의된다(어떤 세 개체에 대해서만 정의된다).
6. 역사
1935년 9월 4일~10일 동안 모스크바 에서 열린 제1차 세계 위상 수학 학회(International Topological Conference영어 )에서 제임스 워델 알렉산더 와 안드레이 콜모고로프 는 독자적으로 코호몰로지류의 개념 및 코호몰로지류의 곱셈을 도입하였다.에두아르트 체흐 해슬러 휘트니 사무엘 에일렌베르크 는 그 정의를 일반화하였다.\smile 는 휘트니가 고안하였다.
CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.help@durumis.com