그로모프-위튼 불변량

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 안정 사상의 모듈러스 공간
- 2.2. 그로모프-위튼 불변량
3. 계산 기법
- 3.1. 국소화
- 3.2. 심플렉틱 수술
4. 관련 불변량 및 다른 구성
5. 물리학에서의 응용
- 5.1. 끈 이론과의 연관성
6. 한국 수학계의 연구 동향
참조

1. 개요

그로모프-위튼 불변량은 심플렉틱 다양체의 불변량으로, 의사정칙 곡선의 "가상" 개수를 계산하여 기하학적 정보를 제공한다. 델리뉴-멈포드 곡선 모듈 공간과 안정 사상의 모듈 공간을 사용하여 정의되며, 끈 이론의 A-모델 등 물리학 분야에도 응용된다. 계산은 국소화 및 심플렉틱 수술 기법을 사용하며, 도널드슨 불변량, 자이베르그-위튼 불변량 등과 관련이 있다. 한국 수학계에서는 대수기하학적 방법으로 계산하고, 끈 이론과의 연관성을 연구하며, 새로운 불변량 개발 및 응용 연구를 진행하고 있다.

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그로모프-위튼 불변량
서론
분야	수학, 이론물리학
하위 분야	대수기하학 심플렉틱 기하학 끈 이론
관련 개념	모듈라이 공간 가상 기본류 심플렉틱 다양체 복소다양체 칼라비-야우 다양체 거울 대칭 (물리학) 위상 끈 이론 후쿠야마 범주 A-모형 B-모형 양자 코호몰로지
상세 정보
정의	심플렉틱 다양체 또는 복소다양체의 사상 수 세기
불변량 유형	수적 불변량
관련 이론	끈 이론, 대수기하학
중요성	칼라비-야우 다양체의 기하학적 특성 연구, 거울 대칭 (물리학) 예측 검증
역사
창시자	다비트 루엘 막심 콘체비치 빌렘 벤데르포르트만 갱 티안 얀 리 케네스 후이
창시 시기	1990년대
응용
활용 분야	칼라비-야우 다양체의 연구 거울 대칭 (물리학) 예측 검증 양자 코호몰로지 연구 끈 이론 연구
추가 정보
참고 문헌	McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2004), J-holomorphic curves and symplectic topology, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3693-1. Cox, David A.; Katz, Sheldon (1999), Mirror symmetry and algebraic geometry, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1059-6. Vakil, Ravi (2006). "Enumerative algebraic geometry"

2. 정의

$(M,\omega)$ 이 $2d$ 차원 콤팩트 심플렉틱 다양체이고, $\alpha\in\operatorname H_2(M;\mathbb Z)$ 가 주어졌다고 하자.

다음과 같은 경우를 생각해보자.

$X$ : 닫힌 심플렉틱 다양체로 차원은 $2k$ 이다.
$A$ : $X$ 의 2차원 호몰로지 클래스.
$g$ : 음이 아닌 정수.
$n$ : 음이 아닌 정수.

이제 4중항

(X,A,g,n)

에 관련된 그로모프-위튼 불변량을 정의한다.

\overline{\mathcal{M}}_{g, n}

을 종수

g

를 가지며

n

개의 표시된 점을 가진 델리뉴-멈포드 곡선 모듈 공간이라 하고,

\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)

는

X

로의 클래스

A

에 속하는 안정 사상들의 모듈라이 공간을 나타낸다.

\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)

의 원소는 다음 형태를 가진다.

:::

(C, x_1, \ldots, x_n, f)

,

여기서

C

는

n

개의 표시된 점

x_1,\dots ,x_n

을 가진 (반드시 안정적일 필요는 없는) 곡선이고,

f:C\to X

는 의사정칙이다. 이 모듈라이 공간의 실수 차원은 다음과 같다.

:::

d := 2 c_1^X (A) + (2k - 6) (1 - g) + 2 n.

\mathrm{st}(C, x_1, \ldots, x_n) \in \overline{\mathcal{M}}_{g, n}

는 곡선의 안정화를 나타낸다.

Y := \overline{\mathcal{M}}_{g, n} \times X^n

는 실수 차원이

6g- 6 + 2(k + 1)n

이다. 평가 사상은 다음과 같다.

:::

\begin{cases}\mathrm{ev}: \overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A) \to Y \\\mathrm{ev}(C, x_1, \ldots, x_n, f) = \left(\operatorname{st}(C, x_1, \ldots, x_n), f(x_1), \ldots, f(x_n) \right).\end{cases}

평가 사상은

\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)

의 기본 클래스를

Y

의

d

차원 유리 호몰로지 클래스로 보내며, 이는 다음과 같이 나타낸다.

:::

GW_{g, n}^{X, A} \in H_d(Y, \Q).

이 호몰로지 클래스는 자료

g

,

n

및

A

에 대한

X

의 '''그로모프-위튼 불변량'''이다. 이는 심플렉틱 다양체

X

의 심플렉틱 아이소토피 클래스의 불변량이다.

그로모프-위튼 불변량을 기하학적으로 이해하기 위해,

\beta

를

\overline{\mathcal{M}}_{g, n}

의 호몰로지 클래스,

\alpha_1, \ldots, \alpha_n

을

X

의 호몰로지 클래스라고 하고, 이들의 여차원의 합이

d

와 같다고 하자. 그러면 큄네스 공식에 의해

Y

의 호몰로지 클래스를 유도한다.

:

GW_{g, n}^{X, A}(\beta, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) := GW_{g, n}^{X, A} \cdot \beta \cdot \alpha_1 \cdots \alpha_n \in H_0(Y, \Q),

여기서

\cdot

는

Y

의 유리 호몰로지에서 교차 곱을 나타낸다. 이 값은 유리수이며, 주어진 클래스에 대한 '''그로모프-위튼 불변량'''이다. 이 숫자는

n

개의 표시된 점이

\alpha_i

를 나타내는 사이클로 매핑된 (종수

g

이고, 델리뉴-멈포드 공간의

\beta

부분에 있는 영역을 가진, 클래스

A

의) 의사정칙 곡선의 "가상" 개수를 제공한다.

간단히 말해서, GW 불변량은

X

의

n

개의 선택된 부분다양체와 교차하는 곡선이 몇 개인지 계산한다. 그러나 "가상" 계산의 특성상, 이 수는 자연수가 아닐 수도 있다. 오비폴드인 안정 사상의 공간에서, 그 등방성의 점은 불변량에 정수가 아닌 값을 기여할 수 있기 때문이다.

이 구성에는 여러 가지 변형이 있으며, 예를 들어 호몰로지 대신 코호몰로지를 사용하거나, 적분을 교차 대신 사용하는 경우가 있다. 또한, 천 류를 델리뉴-멈포드 공간에서 가져와 적분하는 경우도 있다.

2. 1. 안정 사상의 모듈러스 공간

\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)

는 안정 사상

f\colon\Sigma_g\to M

가운데

f(\Sigma_g)\simeq\alpha

인 것들의 모듈라이 공간이다. 여기서

\Sigma_g

는 종수

g

의 리만 곡면이고,

M

은 심플렉틱 다양체이며,

\alpha

는

M

의 2차 호몰로지류이다.

\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)

의 점들은

(\Sigma,z_1,\dots,z_n,f)

와 같은 꼴이다. 여기서 각 변수는 다음을 의미한다.

$\Sigma$ 는 종수 $g$ 의 리만 곡면이다.
$z_1,\dots,z_n\in\Sigma$ 은 리만 곡면 위의 서로 다른 $n$ 개의 점들이다.
$f\colon\Sigma\to M$ 은 $M$ 위에 주어진 개복소구조 $J$ 에 대하여 정칙 사상이다.

\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)

의 차원은 다음과 같다.

:

\dim\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)=2 c_1^M(\alpha) + (2d - 6)(1 - g) + 2 n

여기서

c_1^M(\alpha)

는

M

의 천 특성류이다.

2. 2. 그로모프-위튼 불변량

\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)

는

n

개의 점이 주어진 종수

g

의 리만 곡면에서, 심플렉틱 다양체

M

으로 가는 안정 사상

f\colon\Sigma_g\to M

(

f(\Sigma_g)\simeq\alpha

조건을 만족하는)들의 모듈라이 공간이다. 이 공간의 점들은

(\Sigma,z_1,\dots,z_n,f)

형태를 가지는데, 여기서

\Sigma

는 종수

g

의 리만 곡면,

z_1,\dots,z_n\in\Sigma

는 곡면 위의 점들,

f\colon\Sigma\to M

은

M

에 주어진 개복소구조

J

에 대한 정칙 사상이다.

이 모듈라이 공간에 대해 '''값매김 사상'''(evaluation map)

\operatorname{ev}\colon\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)\to \mathcal M_{g,n}\times M^n

은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{ev}\colon(\Sigma,z_1,\dots,z_n,f)\mapsto(\Sigma,f(z_1),\dots,f(z_n))

M

의 '''그로모프-위튼 호몰로지류'''

\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n}

은

M

의 기본류를 값매김 사상으로 보낸 상(image)이다. 즉,

:

\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n}=\operatorname{ev}([M])\in\operatorname H_{\dim\mathcal M_{g,n}(X,\alpha)}( \mathcal M_{g,n}\times M^n;\mathbb Q)

이다.

이제, 임의의 호몰로지류

\beta\in\mathcal M_{g,n}

와

\gamma_1,\dots,\gamma_n\in\operatorname H(M;\mathbb Z)

에 대해, '''그로모프-위튼 불변량'''은 다음과 같이 정의되는 유리수이다.

:

\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n}(\beta,\gamma_1,\dots,\gamma_n)=\operatorname{PD}(\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n})(\beta\times\gamma_1\times\cdots\times\gamma_n)\in\mathbb Q

여기서

\operatorname{PD}

는 푸앵카레 쌍대를 나타낸다.

이 불변량은 다음 조건을 만족하는 정칙 사상

f\colon\Sigma_g\to M

의 "가상적인" 개수를 세는 것으로 해석할 수 있다.

$f([\Sigma_g])\simeq \alpha$
$\Sigma_g\in\beta$
$f(z_i)\in\gamma_i$

이 수는 가상적인 개수이므로, 꼭 자연수일 필요는 없고 유리수 값을 가질 수 있다. 안정 사상의 공간이 오비폴드이기 때문에, 그 등방성의 점들이 불변량에 정수가 아닌 값을 기여할 수 있기 때문이다.

간단히 말해, 그로모프-위튼 불변량은

X

의

n

개의 선택된 부분다양체와 교차하는 곡선이 몇 개인지 계산하는 것이다.

이 구성에는 여러 가지 변형이 존재한다. 예를 들어, 호몰로지 대신 코호몰로지를 사용하거나, 적분을 교차 대신 사용하는 경우가 있다. 또한, 천 류를 델리뉴-멈포드 공간에서 가져와 적분하는 경우도 있다.

3. 계산 기법

그로모프-위튼 불변량은 일반적으로 계산하기 어렵다. 이 불변량은 일반적인 근복소구조 ''J''에 대해 정의되지만, 실제 계산에서는 대수기하학 기법을 사용하여 켈러 다양체에서 수행되는 경우가 많다.

특별한 ''J''를 선택하면 비전사 ''D''를 유도하여 예상보다 큰 유사정칙 곡선의 모듈라이 공간을 유발할 수 있다. 이를 보정하기 위해 ''D''의 여핵으로부터 '''장애 다발'''을 형성하고, GW 불변량을 장애 다발의 오일러 특성류의 적분으로 나타낸다. 이 과정에는 쿠라니시 구조를 사용하는 기술적 논증이 필요하다.

계산 기법으로는 국소화와 심플렉틱 수술 등이 사용된다.

3. 1. 국소화

''X''가 토릭인 경우, 즉 복소 토러스에 의한 작용을 받거나 적어도 국소적으로 토릭일 때 적용되는 주요 계산 기법은 '''국소화'''이다. 마이클 아티야(Michael Atiyah)와 라울 보트(Raoul Bott)의 아티야-보트 고정점 정리를 사용하면 GW 불변량 계산을 작용의 고정점 궤적에 대한 적분으로 축소하거나 국소화할 수 있다.

3. 2. 심플렉틱 수술

심플렉틱 수술은 그로모프-위튼 불변량(GW 불변량)을 계산하기 어려운 다양체 ''X''를, GW 불변량을 더 쉽게 계산할 수 있는 하나 이상의 다른 공간과 관련시키는 방법이다. 이를 위해서는 먼저 수술 과정에서 불변량이 어떻게 변화하는지 이해해야 한다. 이러한 응용을 위해 종종 더 정교한 '''상대적 GW 불변량'''이 사용되는데, 이는 실수 여차원 2의 ''X''의 심플렉틱 부분다양체를 따라 특정 접촉 조건을 갖는 곡선의 수를 센다.

4. 관련 불변량 및 다른 구성

도널드슨 불변량, 자이베르그-위튼 불변량, 도널드슨-토마스 이론 등 기하학의 여러 다른 개념과 그로모프-위튼 불변량(GW 불변량)은 밀접하게 관련되어 있다. 특히, 콤팩트 심플렉틱 4차원 다양체에서 클리포드 토브스는 GW 불변량의 변형(토브스의 그로모프 불변량)이 자이베르그-위튼 불변량과 동일함을 보였다. 대수 3차원에 대해서는 정수 값을 갖는 도널드슨-토마스 불변량과 동일한 정보를 포함하는 것으로 추측된다.

매끄러운 사영 대수 다양체의 그로모프-위튼 불변량은 대수 기하학 내에서 완전히 정의될 수 있다. 평면 곡선 및 균질 공간의 유리 곡선의 고전적인 열거 기하학은 모두 GW 불변량에 의해 포착된다. GW 불변량은 대상의 복소 구조의 변형에 대해 불변하며, 심플렉틱 또는 사영 다양체의 코호몰로지 환에서 곱 구조의 변형을 제공한다. 이는 다양체 ''X''의 양자 코호몰로지 환을 구성하는 데 사용될 수 있으며, 이는 일반 코호몰로지의 변형이다.

양자 코호몰로지 환은 바지 쌍 곱을 갖는 심플렉틱 플뢰어 호몰로지와 동형인 것으로 알려져 있다.

5. 물리학에서의 응용

그로모프-위튼 불변량은 일반 상대성 이론과 양자역학을 통합하려는 물리학 분야인 끈 이론에서 중요한 연구 대상이다.

5. 1. 끈 이론과의 연관성

끈 이론에서 기본 입자는 끈으로 표현되며, 이 끈들이 시공간에서 움직이면서 만드는 세계면(worldsheet)의 모듈라이 공간을 통해 그로모프-위튼 불변량이 나타난다. 끈이 시공간을 통과하면서 그리는 표면을 끈의 월드시트라고 한다. 불행하게도, 이러한 매개변수화된 표면의 모듈라이 공간은 무한 차원이며, 이 공간에 대한 적절한 측도가 알려져 있지 않으므로, 이론의 경로 적분은 엄밀한 정의가 부족하다.

닫힌 A-모델에서는 이 상황이 개선된다. 닫힌 A-모델에서는 6개의 시공간 차원이 심플렉틱 다양체를 구성하고, 세계면은 반드시 유사정칙 곡선으로 매개변수화되며, 그 모듈라이 공간은 유한 차원이 된다. 이러한 모듈라이 공간에 대한 적분인 GW 불변량은 이론의 경로 적분이다. 특히, 종수 ''g''에서의 A-모델의 자유 에너지는 종수 ''g'' GW 불변량의 생성 함수이다.

6. 한국 수학계의 연구 동향

대한민국 수학계에서는 대수기하학, 심플렉틱 기하학, 위상수학 등 다양한 분야의 연구자들이 그로모프-위튼 불변량과 관련된 연구에 참여하고 있으며, 국제적인 협력 연구도 활발하게 이루어지고 있다.

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