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기본류

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목차

1. 개요

기본류는 n차원 다양체의 최고차 호몰로지 군의 생성원이며, 다양체의 방향 선택과 관련된다. 유향 다양체의 경우 기본류는 [M]으로 표시되며, 비가향 다양체의 경우 \mathbb{Z}/2 계수 호몰로지를 사용하여 정의한다. 경계를 갖는 콤팩트 유향 다양체에서도 상대 호몰로지를 통해 기본류를 정의할 수 있다. 기본류는 푸앵카레 쌍대성을 통해 코호몰로지와 호몰로지를 연결하고, 슈티펠-휘트니 류를 정의하는 데 사용되며, 리 군의 깃발 다양체의 브뤼아 분해에도 나타난다.

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기본류

2. 정의

n차원 연결 가향 다양체 M의 최고차 호몰로지 군은 무한 순환군과 동형이다.

:H_n(M,\mathbb Z)\cong\mathbb Z

M의 방향 선택은 H_n(M)의 생성원(1 또는 -1)을 고르는 것과 같으며, 유향 다양체의 경우 이 생성원 [M]\in H_n(M,\mathbb Z)를 M의 '''기본류'''라고 한다.

연결 공간이지만 비가향공간인 M은 정수 계수 호몰로지를 정의할 수 없지만, \mathbb Z/2 계수 호몰로지는 정의할 수 있다. 이 경우

:H_n(M,\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2

이며, M의 기본류는 0이 아닌 원소 0\ne[M]\in H_n(M,\mathbb Z/2)이다.

경계 \partial M을 가진 콤팩트 유향 다양체 M의 경우, 상대 호몰로지

:H_n(M,\partial M,\mathbb Z)\cong\mathbb Z

이므로 마찬가지로 기본류를 정의할 수 있다.

2. 1. 닫힌 가향 다양체

M이 n차원 연결 가향 닫힌 다양체일 때, 최고차 호몰로지 군은 무한 순환군과 동형이다.

:H_n(M,\mathbb Z)\cong\mathbb Z

M의 방향은 H_n(M,\mathbb Z)의 생성원을 선택하는 것과 같으며, 이 생성원을 M의 '''기본류'''라고 한다.

만약 M이 비연결 다양체일 경우, 기본류는 각 연결 성분의 기본류의 직합이다.

드람 코호몰로지와 관련하여, 이는 M에 대한 적분을 나타낸다. 즉, M이 매끄러운 다양체일 때, ''n''-형식 ω는 기본류와 다음과 같이 쌍을 이룰 수 있다.

:\langle\omega, [M]\rangle = \int_M \omega

이는 M에 대한 ω의 적분이며, ω의 코호몰로지류에만 의존한다.

2. 2. 비가향 다양체

M이 가향 다양체가 아닐 경우, 정수 계수 호몰로지 군으로는 기본류를 정의할 수 없다. 하지만, \mathbb Z/2 계수 호몰로지를 사용하면 기본류를 정의할 수 있다. 이 경우

:H_n(M,\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2

이고, M의 기본류는 0이 아닌 원소 0\ne[M]\in H_n(M,\mathbb Z/2)이다.

모든 닫힌 다양체는 \mathbf{Z}_2-배향 가능하며, (M이 연결되어 있다면,) H_n(M;\mathbf{Z}_2)\cong\mathbf{Z}_2이다. 이와 같이, 모든 닫힌 다양체는 \mathbf{Z}_2-배향되며, (유일하게 배향이 결정되어) \mathbf{Z}_2-기본류를 가진다.

이 \mathbf{Z}_2-기본류는 슈티펠-휘트니 수를 정의하는 데 사용된다.

2. 3. 경계를 갖는 콤팩트 가향 다양체

M이 경계 \partial M을 갖는 콤팩트 유향 다양체라면, 상대 호몰로지 군은 무한 순환군과 동형이다.

:H_n(M,\partial M,\mathbb Z)\cong\mathbb Z

따라서, 이 경우에도 기본류를 정의할 수 있다.

3. 성질

기본류는 다양체의 여러 위상적 성질을 나타내는 데 중요한 역할을 한다.

3. 1. 푸앵카레 쌍대성

푸앵카레 쌍대성에 따르면, 주어진 M의 코호몰로지 동치류 \alpha\in H^k(M)에 대하여 M의 기본류와 \alpha 사이의 캡 곱은 \alpha와 동형이다.

:\alpha \cong [M]\frown\alpha\in H_{n-k}(M)

이 동형 사상은 다음과 같이 표기하기도 한다.

:[M]\frown \colon H^k(M) \to H_{n-k}(M)

푸앵카레 쌍대성 정리는 ''n''차원 유향 닫힌 다양체의 호몰로지 군과 코호몰로지 군을 관련시킨다. ''R''이 가환환이고 ''M''이 기본류 ''[M]''을 갖는 ''n''차원 ''R''-가향 닫힌 다양체라면, 모든 ''k''에 대해, 다음 사상은

: \alpha \mapsto [M] \frown \alpha

에 의해 주어지며 동형사상이다.[1]

: H^k(M;R) \to H_{n-k}(M;R)

경계가 있는 다양체의 기본류 개념을 사용하여 푸앵카레 쌍대성을 해당 경우로 확장할 수 있다.( 레프셰츠 쌍대성 참조). 실제로, 기본류와의 캡 곱은 A, B가 (n-1)차원 다양체이고 \partial A=\partial B= A\cap B 및 \partial M=A\cup B를 만족한다고 가정하면 H^q(M, A;R) \cong H_{n-q}(M, B;R)인 동형사상이 있다는 더 강력한 쌍대성 결과를 제공한다.[1]

임의의 아벨 군 G와 음이 아닌 정수 q \ge 0에 대해, 기본류와 q차 코호몰로지 군의 캡 곱을 취함으로써, 다음 동형을 얻는다.

:[M]\cap:H^q(M;G) \rightarrow H_{n-q}(M;G)

이 동형은 푸앵카레 쌍대성

:H^* (M, R) \to H_{n-*}(M, R)

을 낳는다. 또한, 푸앵카레 쌍대성은 상대적인 경우에도 확장된다.

3. 2. 슈티펠-휘트니류

모든 닫힌 다양체는 \mathbb{Z}/2-배향 가능하며, (''M''이 연결되어 있다면) H_n(M;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2이다. 이와 같이, 모든 닫힌 다양체는 \mathbb{Z}/2-배향되며, \mathbb{Z}/2-기본류를 가진다.

이 \mathbb{Z}/2-기본류는 슈티펠-휘트니 수를 정의하는 데 사용된다.

4. 응용

리 군의 깃발 다양체의 브루아 분해에서 기본류는 최고 차원 슈베르트 세포에 해당하며, 콕서터 군의 가장 긴 원소와 동등하다.

4. 1. 드람 코호몰로지

''M''이 매끄러운 다양체일 때, ''n''-형식 \omega는 기본류와 다음과 같이 쌍을 이룬다.

:\langle\omega, [M]\rangle = \int_M \omega\ ,

이는 ''M''에 대한 \omega의 적분이며, \omega의 코호몰로지류에만 의존한다.

4. 2. 브뤼아 분해

리 군의 깃발 다양체의 브뤼아 분해에서 기본류는 최고 차원 슈베르트 세포 또는 동등하게 콕서터 군의 가장 긴 원소에 해당한다.


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