푸앵카레 쌍대성

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1. 개요

푸앵카레 쌍대성은 닫힌 유향 n-다양체의 호몰로지와 코호몰로지 사이의 관계를 설명하는 정리이다. 1893년 앙리 푸앵카레에 의해 처음 제시되었으며, 1930년대 코호몰로지 개념이 도입되면서 현대적인 형태로 발전했다. 이 정리는 다양체의 위상적 불변량을 계산하는 데 중요한 역할을 하며, 톰 동형 정리, 푸앵카레-레프셰츠 쌍대성, 베르디에 쌍대성 등 다양한 형태로 일반화된다. 푸앵카레 쌍대성은 교차 형식, 오일러 지표, 쌍선형 형식 등과 같은 개념과도 연결되어 있으며, 대수적 위상수학에서 다양한 쌍대성의 기초가 된다.

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푸앵카레 쌍대성
서론
유형	대수적 위상수학
설명	방향을 부여할 수 있는 닫힌 다양체 M의 호몰로지와 코호몰로지 군 사이의 관계
기호	''
관련 개념	쌍대성
개요
대상	방향을 부여할 수 있는 닫힌 다양체
연관	의 호몰로지 군과 코호몰로지 군
구체적인 내용	차 코호몰로지 군은 ()차 호몰로지 군과 동형

2. 역사

앙리 푸앵카레는 1893년에 베티 수에 대한 관계로 푸앵카레 쌍대성을 처음 제시하였다.^[4] 1895년에 푸앵카레는 이 정리에 대한 증명을 발표하였으나, 포울 헤이가르((Poul Heegaard^da)가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이후 이 논문의 속편에서 수정된 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 호몰로지와 코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

2. 1. 초기 역사

앙리 푸앵카레는 1893년에 닫힌(즉, 콤팩트하고 경계가 없는) 가향 ''n''-다양체의 ''k''번째와 (''n'' - ''k'')번째 베티 수가 같다는 명제를 증명 없이 제시하였다.^[4] 당시에는 코호몰로지 개념이 정립되기까지 약 40년이 남아 있었다. 1895년 논문 ''Analysis Situs''에서 푸앵카레는 자신이 발명한 위상적 교차 이론을 사용하여 이 정리를 증명하려 했다. 그러나 포울 헤이가르((Poul Heegaard^da)의 비판으로 인해 자신의 증명에 심각한 결함이 있음을 깨달았다. 푸앵카레는 ''Analysis Situs''의 처음 두 보충 논문에서 쌍대 삼각화를 사용하여 새로운 증명을 제시하였다.

2. 2. 현대적 발전

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성은 베티 수를 넘어 호몰로지와 코호몰로지 사이의 더 깊은 관계를 나타낸다는 사실이 밝혀졌다. 에두아르트 체흐와 해슬러 휘트니는 컵 곱과 캡 곱을 도입하여, 푸앵카레 쌍대성을 현대적인 형태로 정식화하였다.^[4]

3. 정의

$M$ 이 닫힌 유향 n차원 다양체일 때, 푸앵카레 쌍대성은 k차 코호몰로지 군 H^k(M; ℤ)과 (n-k)차 호몰로지 군 H_n-k(M; ℤ) 사이의 동형 사상을 정의한다. 이 동형 사상은 $\alpha \in H^k(M)$ 인 원소를 캡 곱 $[M]\frown \alpha$ 에 매핑하여 정의하는데, 여기서 [M]은 M의 기본류이다.^[1]

호몰로지와 코호몰로지 군은 음의 차수에 대해 0으로 정의되므로, 푸앵카레 쌍대성은 특히 유향 닫힌 n-다양체의 호몰로지 및 코호몰로지 군이 n보다 큰 차수에서 0임을 의미한다.

이는 정수 계수뿐만 아니라 임의의 계수 환 위에서도 성립한다. 다양체가 콤팩트하지 않다면, 보렐-무어 호몰로지나 콤팩트 지지 코호몰로지를 사용하여 푸앵카레 쌍대성을 적용할 수 있다.

3. 1. 정수 계수

M

이 경계가 없는 콤팩트

n

차원 유향 다양체라면, 그 방향은 기본류

:

[M] \in \operatorname H_n(M;\mathbb Z)

를 정의한다.

그러면 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

:

\operatorname H^k(M;\mathbb Z)\to H_{n-k}(M;\mathbb Z)

:

[\alpha] \mapsto[M]\smile [\alpha]

여기서

\smile

은 호몰로지류와 코호몰로지류의 합곱이다.

이 사상은 아벨 군의 동형 사상이며, 이를 '''푸앵카레 쌍대성'''이라고 한다.

베티 수

b_k

는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.

:

b_k=b_{n-k}

정수 계수에서 성립하므로, 위의 푸앵카레 쌍대성은 임의의 아벨 군 계수에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

3. 2. F₂ 계수

M이 닫힌 n차원 다양체일 때 (유향일 필요 없음), F₂ 계수에서의 기본류 math\left[M\right] \in \operatorname H_n(M;\mathbb F_2)/math를 사용하여 다음과 같은 동형 사상을 정의할 수 있다.

:math\operatorname H^k(M;\mathbb F_2) \to \operatorname H_{n-k}(M;\mathbb F_2)/math

:math[\alpha]\mapsto[M]\smile[\alpha]/math

4. 성질

푸앵카레 쌍대성은 다양체의 위상적 불변량을 계산하는 데 중요한 역할을 한다. 특히, 짝수 차원 콤팩트 다양체에서 정의되는 교차 형식은 중요한 위상적 불변량이다. 또한, 푸앵카레 쌍대성에 따르면 닫힌 홀수 차원 다양체의 오일러 지표는 0이다.^[1]

푸앵카레 쌍대성은 호몰로지는 공변 함자이고, 코호몰로지는 반변 함자간의 자연 변환을 통해 나타낼 수 있다. 즉, 배향과 호환되는 두 배향된 n-다양체 사이의 연속 함수에 대해 특정 관계식을 만족한다.

다양체가 콤팩트하고 경계가 없으며 가향 가능하다면, 푸앵카레 쌍대성은 쌍선형 맵을 정의하는데, 이를 통해 교차 곱과 꼬임 연결 형식을 계산할 수 있다. 이러한 계산은 횡단 교차 숫자나 꼬임 부분군을 이용하여 이루어진다.

푸앵카레 쌍대성은 또한 중간 차원 호몰로지 군에 대한 쌍선형 ''형식''을 유도하며, 이는 위상적 불변량인 교차 형식으로 나타난다. 홀수 차원 다양체의 경우 꼬임 부분에 대한 형식이, 짝수 차원 다양체의 경우 자유 부분에 대한 형식이 나타난다. 이러한 접근 방식은 요제프 프시티츠키와 야스하라 아키라에 의해 3차원 렌즈 공간의 초등적인 호모토피 및 미분 동형 사상 분류를 제공하는 데 사용되었다.^[2]

4. 1. 교차 형식

짝수

2k

차원 콤팩트 다양체

M

이 주어졌다고 하자. 다음과 같은 두 경우를 생각할 수 있다.

$K=\mathbb Z$ 이며, $M$ 은 유향 다양체인 경우
$K=\mathbb F_2$ 인 경우

두 경우 모두 기본류

[M] \in \operatorname H_{2k}(M;K)

가 존재한다. 이 때, 푸앵카레 쌍대성에 의하여,

K

-가군

\operatorname H_k(M;K)

위에 다음과 같은 이차 형식이 존재한다.

:

\operatorname H_k(M;K) \otimes \operatorname H_k(M;K) \to K

:

([M]\smile [\alpha]) \otimes ([M]\smile[\beta]) \mapsto [M]\smile([\alpha]\frown[\beta])

이를

M

의 '''교차 형식'''(intersection form^영어)이라고 한다.

4. 2. 오일러 지표

푸앵카레 쌍대성에 따르면, 닫힌 홀수 차원 다양체 ''M''은 오일러 지표가 0이다.^[1] 이는 경계를 이루는 모든 다양체가 짝수 오일러 지표를 갖는다는 것을 의미한다.^[1]

4. 3. 자연성

호몰로지는 공변 함자이고, 코호몰로지는 반변 함자이다. 동형 사상의 집합

:

D_M\colon H^k(M) \to H_{n-k}(M)

는 자연 변환이다. 만약

:

f\colon M\to N

가 배향과 호환되는 두 배향된 ''n''-다양체 사이의 연속 함수라면, 즉 ''M''의 기본류를 ''N''의 기본류로 사상하는 연속 함수라면,

:

D_N = f_{*} \circ D_M \circ f^{*} ,

여기서

f_{*}

와

f^{*}

는 각각

f

에 의해 유도된 호몰로지와 코호몰로지에서의 사상이다.

f

가 ''M''의 기본류를 ''N''의 기본류로 사상한다는 것은 매우 강력하고 중요한 가설이다. 자연성은 임의의 연속 함수

f

에 대해서는 성립하지 않는데, 일반적으로

f^{*}

가 코호몰로지에서 단사 함수가 아니기 때문이다. 예를 들어,

f

가 피복 사상이라면, ''M''의 기본류를 ''N''의 기본류의 배수로 사상한다. 이 배수는 사상

f

의 차수이다.

4. 4. 쌍선형 형식

다양체 ''M''이 콤팩트하고, 경계가 없으며, 가향 가능하다고 가정하면, 푸앵카레 쌍대성은 다음과 같은 쌍선형 맵을 정의한다. 이 맵들은 쌍대성 페어링이다.

:

fH_i M \otimes fH_{n-i} M \to \Z

:

\tau H_i M \otimes \tau H_{n-i-1} M \to \Q/\Z

여기서,

$\tau H_i M$ 는 $H_i M$ 의 꼬임 부분군을 나타낸다.
$fH_i M = H_i M / \tau H_i M$ 는 자유 부분을 나타낸다.
$\Q/\Z$ 는 정수를 기준으로 한 유리수의 몫으로, 덧셈 군으로 간주된다.

꼬임 연결 형식에서는 차원에 -1이 있으므로, 짝을 이루는 차원이

n-1

이 되고, ''n''이 되지 않는다.

첫 번째 형식은 일반적으로 ''교차 곱''이라고 불리며, 두 번째는 ''꼬임 연결 형식''이라고 불린다.

다양체 ''M''이 매끄럽다고 가정하면, 교차 곱은 호몰로지 클래스를 횡단하도록 섭동하고 그들의 가향 교차 숫자를 계산하여 계산된다. 꼬임 연결 형식의 경우, ''x''와 ''y''의 페어링은 ''nx''를 어떤 클래스 ''z''의 경계로 실현하여 계산한다. 그러면 형식은 분자와 ''z''와 ''y''의 횡단 교차 숫자를, 분모를 ''n''으로 하는 분수와 같은 값을 가진다.

페어링이 쌍대성 페어링이라는 것은 인접 맵

:

fH_i M \to \mathrm{Hom}_{\Z}(fH_{n-i} M,\Z)

:

\tau H_i M \to \mathrm{Hom}_{\Z}(\tau H_{n-i-1} M, \Q/\Z)

이 군의 동형 사상임을 의미한다.

이것은 푸앵카레 쌍대성

H_i M \simeq H^{n-i} M

과 범용 계수 정리를 사용한 결과이다. 범용 계수 정리는 다음을 식별한다.

:

fH^{n-i} M \equiv \mathrm{Hom}(H_{n-i} M; \Z)

:

\tau H^{n-i} M \equiv \mathrm{Ext}(H_{n-i-1} M; \Z) \equiv \mathrm{Hom}(\tau H_{n-i-1} M; \Q/\Z)

.

따라서, 푸앵카레 쌍대성은

fH_i M

과

fH_{n-i} M

이 동형이지만, 동형 사상을 제공하는 자연스러운 맵은 없으며, 마찬가지로

\tau H_i M

과

\tau H_{n-i-1} M

도 동형이지만, 자연스럽게 동형은 아니다.

대부분의 차원의 경우, 푸앵카레 쌍대성은 서로 다른 호몰로지 군 사이에 쌍선형 ''페어링''을 유도하지만, 중간 차원에서는 단일 호몰로지 군에 대한 쌍선형 ''형식''을 유도한다. 결과적인 교차 형식은 매우 중요한 위상적 불변량이다.

"중간 차원"의 의미는 짝수 차원 (

n=2k

)의 경우, 이것은 문자 그대로 중간 차원 ''k''이며, 중간 호몰로지의 자유 부분에 대한 형식이 있다.

:

fH_k M \otimes fH_k M \to \Z

홀수 차원 (

n=2k+1

)의 경우, 이것은 가장 간단하게 낮은 중간 차원 ''k''이며, 해당 차원의 호몰로지의 꼬임 부분에 대한 형식이 있다.

:

\tau H_k M \otimes \tau H_k M \to \Q/\Z.

그러나, 낮은 중간 차원 ''k''와 상위 중간 차원 (

k+1

)의 호몰로지의 자유 부분 간에도 페어링이 있다.

:

fH_k M \otimes fH_{k+1} M \to \Z.

이러한 푸앵카레 쌍대성에 대한 접근 방식은 요제프 프시티츠키와 야스하라 아키라에 의해 3차원 렌즈 공간의 초등적인 호모토피 및 미분 동형 사상 분류를 제공하는 데 사용되었다.^[2]

5. 현대적 표현과 확장

푸앵카레 쌍대성 정리의 현대적 표현은 호몰로지와 코호몰로지를 사용하여 나타낸다. 닫힌 유향 ''n''-다양체 ''M''이 주어지면, 임의의 정수 ''k''에 대해 $H^k(M, \Z) \to H_{n-k}(M, \Z)$ 의 표준적으로 정의된 동형 사상이 존재한다. 이 동형 사상은 ''M''의 기본류 [''M'']을 이용하여, 원소 $\alpha \in H^k(M)$ 을 캡 곱 $[M]\frown \alpha$ 에 매핑하는 방식으로 정의된다.^[1]

호몰로지와 코호몰로지 군은 음의 차수에 대해 0이 되므로, 푸앵카레 쌍대성은 유향 닫힌 ''n''-다양체의 호몰로지 및 코호몰로지 군이 ''n''보다 큰 차수에서 0이 됨을 의미한다.

이 동형 사상은 정수 계수뿐만 아니라 임의의 계수 환 위에서도 유효하다. 콤팩트하지 않은 유향 다양체의 경우, 보렐-무어 호몰로지나 콤팩트 지지 코호몰로지를 이용하여 푸앵카레 쌍대성을 적용할 수 있다.

: $H^i(X) \stackrel{\cong}{\to} H_{n-i}^{BM}(X),$

: $H^i_c(X) \stackrel{\cong}{\to} H_{n-i}(X).$

5. 1. 톰 동형 정리

푸앵카레 쌍대성은 톰 동형 정리와 밀접하게 관련되어 있다. ''M''^영어을 경계가 없는 콤팩트한 방향성을 가진 ''n''-다양체라고 하고, ''M'' × ''M''^영어를 ''M''^영어과 자기 자신의 곱으로 정의한다. ''V''를 ''M'' × ''M''^영어에서 대각선의 열린 관형 근방이라고 할 때, 다음 사상들을 고려한다.

$H_* M \otimes H_* M \to H_* (M \times M)$ : 호몰로지 곱
$H_* (M \times M) \to H_* \left(M \times M, (M \times M) \setminus V\right)$ : 포함 사상
$H_* \left(M \times M, (M \times M) \setminus V\right) \to H_* (\nu M, \partial \nu M)$ : $\nu M$ 이 $M \times M$ 에서 대각선의 법원반다발인 경우의 절단 사상
$H_* (\nu M, \partial \nu M) \to H_{*-n} M$ : 톰 동형. 이 사상은 $\nu M \equiv TM$ 의 표준적인 동일시가 존재하며, 이는 방향성을 가진 다발이므로 톰 동형이 적용되므로 잘 정의된다.

이들을 결합하면

H_i M \otimes H_j M \to H_{i+j-n} M

의 사상을 얻게 되는데, 이는 위에 논의된 교차곱을 일반화한 ''교차곱''이다. 퀴네스 정리를 사용한 유사한 논의는 ''꼬임 연결 형식''을 제공한다.

이러한 푸앵카레 쌍대성의 공식화는 퀴네스 정리와 해당 호몰로지 이론에 대한 톰 동형이 주어지면, 어떤 일반화된 호몰로지 이론에 대해서도 푸앵카레 쌍대성을 정의하기 때문에 널리 사용되게 되었다.^[3] 호몰로지 이론에 대한 톰 동형 정리는 이제 해당 이론에 대한 가향성의 일반화된 개념으로 간주된다. 예를 들어, 다양체에 대한 스핀^'''C'''-구조는 복소 위상 K-이론 내에서 가향성의 정확한 유사체이다.

5. 2. 쌍대 다면체 분해

주어진 삼각 분할에 대해 쌍대 다면체 분해를 정의할 수 있다. 쌍대 다면체 분해는 다양체의 세포 분해로, 쌍대 다면체 분해의 ''k''-세포가 삼각 분할의 (

n-k

)-세포와 일대일 대응을 이루며, 이는 쌍대 다면체의 개념을 일반화한다.

$\cup_{S \in T} \Delta \cap DS$ – 최고 차원 단체에서 쌍대 세포의 부분 그림

n

-다양체

M

의 삼각 분할

T

와

T

의 단체(simplex)

S

가 주어졌을 때,

S

를 포함하는

T

의 최고 차원 단체

\Delta

를 생각하면,

S

는

\Delta

의 꼭짓점의 부분 집합으로 볼 수 있다. 이때

S

에 해당하는 쌍대 세포

DS

는

\Delta \cap DS

가

S

를 포함하는

\Delta

의 꼭짓점의 모든 부분 집합의 무게 중심의 볼록 폐포가 되도록 정의한다.

S

가

i

차원이면

DS

는

(n-i)

차원 세포가 된다.

T

의 쌍대 세포는

M

의 CW-분해를 형성하고,

i

-세포

S

와 교차하는 유일한 (

n-i

)-차원 쌍대 세포는

DS

이다. 따라서 교차를 통해 얻는

C_i M \otimes C_{n-i} M \to \Z

쌍은

C_i M \to C^{\, n-i} M

동형사상을 유도한다. 여기서

C_i

는 삼각 분할

T

의 세포 호몰로지이고,

C_{n-i} M

및

C^{\, n-i} M

는 다양체의 쌍대 다면체/CW 분해의 세포 호몰로지 및 코호몰로지이다.

이것이 사슬 복합체의 동형사상이라는 사실은 푸앵카레 쌍대성의 증명으로 이어진다. 이는 삼각 분할

T

에 대한 경계 관계가

S \longmapsto DS

에 의해 쌍대 다면체 분해에 대한 사상 관계로 대응된다는 것을 의미한다.^[1]

6. 일반화 및 관련 결과

푸앵카레-레프셰츠 쌍대성은 경계가 있는 다양체에 대한 푸앵카레 쌍대성의 일반화이다. 비가향적인 경우에는 국소 배향의 층을 고려하여 가향성에 의존하지 않는 진술을 할 수 있다.

'''블란치필드 쌍대성'''(Blanchfield duality)은 다양체의 아벨 덮개 공간의 호몰로지와 컴팩트 지지체를 갖는 해당 코호몰로지 사이의 동형성을 제공한다. 이는 알렉산더 가군에 대한 기본적인 구조적 결과를 얻는 데 사용되며, 매듭의 시그니처를 정의하는 데 사용될 수 있다.

1955년경부터 K-이론 및 기타 '특이한' 이론을 포함하도록 호몰로지 이론이 발전하면서, 다양체에 대한 곱이 구성되면 호몰로지 $H'_*$ 를 다른 이론으로 대체할 수 있다는 것이 인식되었다. 더 구체적으로, 일반화 호몰로지 이론에 대한 일반적인 푸앵카레 쌍대성 정리가 있는데, 이는 호몰로지 이론에 대한 배향 개념을 필요로 하며, 일반화된 톰 동형 정리의 관점에서 공식화된다. 톰 동형 정리는 일반화된 호몰로지 이론에 대한 푸앵카레 쌍대성의 씨앗으로 간주될 수 있다.

베르디에 쌍대성은 특이점을 포함하는 해석 공간 또는 스킴과 같은 기하학적 대상에 대한 적절한 일반화이다. 교차 호몰로지는 로버트 맥퍼슨과 마크 고레스키에 의해 실수 또는 복소 대수적 다양체와 같은 층화 공간에 대해 개발되었으며, 푸앵카레 쌍대성을 이러한 층화 공간으로 일반화하기 위한 것이다.

더 대수적으로, 푸앵카레 복합체의 개념을 추상화할 수 있는데, 이는 다양체의 특이 체인 복합체처럼 동작하는 대수적 대상이며, 특히 구별되는 원소(기본류에 해당)에 대해 호몰로지 군에서 푸앵카레 쌍대성을 만족한다. 이는 수술 이론에서 다양체에 대한 문제를 대수화하는 데 사용된다. 푸앵카레 공간은 그 특이 체인 복합체가 푸앵카레 복합체인 공간이다. 이들이 모두 다양체인 것은 아니지만, 다양체가 아닌 정도는 장애 이론으로 측정할 수 있다.

대수적 위상수학에는 레프셰츠 쌍대성, 알렉산더 쌍대성, 호지 쌍대성, S-쌍대성 등 여러 종류의 기하학적 쌍대성이 존재한다.

6. 1. 푸앵카레-레프셰츠 쌍대성

푸앵카레-레프셰츠 쌍대성 정리는 경계가 있는 다양체에 대한 일반화이다. 비가향적인 경우, 국소 배향의 층을 고려하여 가향성에 의존하지 않는 진술을 할 수 있다. 꼬인 푸앵카레 쌍대성을 참조하라.

6. 2. 베르디에 쌍대성

베르디에 쌍대성은 특이점을 포함하는 해석 공간 또는 스킴과 같은 기하학적 대상에 대한 적절한 일반화이며, 교차 호몰로지는 로버트 맥퍼슨과 마크 고레스키에 의해 실수 또는 복소 대수적 다양체와 같은 층화 공간에 대해 개발되었으며, 푸앵카레 쌍대성을 이러한 층화 공간으로 일반화하기 위한 것이다.

6. 3. 기타 쌍대성

대수적 위상수학에는 레프셰츠 쌍대성, 알렉산더 쌍대성, 호지 쌍대성, S-쌍대성 등 여러 종류의 기하학적 쌍대성이 존재한다.

참조

_[1] 서적 Algebraic Topology https://pi.math.corn[...] Cambridge University Press 2002
_[2] 논문 Symmetry of links and classification of lens spaces
_[3] 서적 On Thom spectra, orientability, and cobordism Springer-Verlag
_[4] 간행물 Analysis Situs http://gallica.bnf.f[...] 1895

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