브뤼아 분해

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
3. 예시
- 3.1. 일반선형군 GL(n, k)
- 3.2. 특수선형군 SL(n, k)
4. 기하학적 의미
- 4.1. 슈베르트 세포
- 4.2. 푸앵카레 쌍대성
5. 계산
- 5.1. 드킨 다이어그램
- 5.2. 이중 브뤼아 세포
6. 역사
참조

1. 개요

브뤼아 분해는 대수적으로 닫힌 체 위에서 정의된 연결 환원군을 보렐 부분군과 바일 군을 사용하여 이중 잉여류의 서로소 합집합으로 분해하는 방법이다. 이는 가역 행렬을 상삼각행렬과 치환행렬의 곱으로 나타내는 일반선형군의 분해와 유사하며, 깃발 공간의 세포 분해를 정의하는 데 사용된다. 브뤼아 분해에서 나타나는 세포의 개수는 드킨 다이어그램의 q-다항식 계수와 일치하며, 프랑수아 브뤼아가 고전군에 대해 정의하고 클로드 슈발레가 일반 대수군으로 확장했다.

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브뤼아 분해

2. 정의

브뤼아 분해는 대수적으로 닫힌 체 위에서 정의된 연결 환원군 $G$ 를 구조적으로 이해하는 데 사용되는 중요한 방법이다. 이 분해는 군 $G$ 를 그 보렐 부분군 $B$ 와 바일 군 $W$ 를 이용하여, 바일 군의 각 원소 $w \in W$ 에 대응하는 $B$ 의 이중 잉여류 $BwB$ 들의 서로소 합집합으로 나타낸다. 즉, 군 전체를 바일 군의 원소를 기준으로 조각내어 분석하는 방식이라고 할 수 있다.

여기서 사용되는 주요 요소는 다음과 같다.

$G$ : 대수적으로 닫힌 체 위에서 정의된 연결 환원 대수적 군
$B$ : $G$ 의 보렐 부분군 (최대 연결 가해 부분군)
$W$ : $B$ 에 포함된 극대 원환면에 해당하는 $G$ 의 바일 군

2. 1. 기본 정의

G

를 대수적으로 닫힌 체 위에서 정의된 연결 환원 대수적 군이라고 하자.

B

를

G

의 보렐 부분군(최대 연결 가해 부분군)이라고 하고,

W

를

B

에 포함된 극대 원환면에 해당하는

G

의 바일 군이라고 하자.

G

의 '''브뤼아 분해'''는

G

를 바일 군

W

의 원소로 매개변수화된

B

의 이중 잉여류(양쪽 잉여류)들의 서로소 합집합으로 다음과 같이 나타내는 분해를 의미한다.

:

G = BWB = \bigsqcup_{w \in W} BwB

여기서

BwB = \{b_1wb_2 | b_1, b_2 \in B\}

는

b_1, b_2 \in B

에 대한 이중 잉여류이다.

이 분해에서

W

는 일반적으로

G

의 부분군이 아니지만,

B

가 그 극대 원환면을 포함하고 있기 때문에 잉여류

wB

는 잘 정의된다.

3. 예시

브뤼아 분해는 선형대수학에서 널리 사용되는 행렬 분해의 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 대표적인 예시로 일반선형군 $\operatorname{GL}(n;k)$ 과 특수선형군 $\operatorname{SL}(n;k)$ 에서의 분해를 들 수 있다.

일반선형군 $\operatorname{GL}(n;k)$ 의 경우, 대수적으로 닫힌 체 $k$ 상의 모든 가역행렬은 두 상삼각행렬과 하나의 치환행렬의 곱으로 분해될 수 있다. 이 분해는 행렬에 대한 특정 기본 행 연산 및 열 연산을 통해 이루어지며, 가우스 소거법과 밀접한 관련이 있다.

특수선형군 $\operatorname{SL}(n;k)$ 는 행렬식이 1인 가역행렬들로 구성된 군이다. 이 경우에도 브뤼아 분해가 적용되며, 일반선형군의 경우와 유사하게 해석될 수 있다. 다만, 바일 군의 원소를 표현할 때 행렬식이 1이 되도록 조정이 필요할 수 있다.

3. 1. 일반선형군 GL(n, k)

k

가 대수적으로 닫힌 체라고 하고,

G

가 일반선형군

\operatorname{GL}(n;k)

라고 하자.

\operatorname{GL}(n;k)

는 체

k

의 원소를 성분으로 갖는

n \times n

가역행렬들의 군이며, 이는 환원군이다.

이때 보렐 부분군

B

는 상삼각행렬들의 군

\operatorname{Upper}(n;k)

로 잡을 수 있다.

:

\operatorname{Upper}(n;k)=\{M\in\operatorname{GL}(n;k)|\forall i>j\colon M_{ij}=0\}

또한, 바일 군

W

는

n

개의 원소에 대한 대칭군

S_n

과 동형이며, 치환행렬들을 대표원소로 갖는다.

브뤼아 분해에 따르면, 임의의 가역 정사각행렬

M\in\operatorname{GL}(n;k)

은 다음과 같이 분해될 수 있다.

:

M=U_1 P U_2

여기서

U_1, U_2 \in B

(즉, 상삼각행렬)이고,

P \in W

(즉, 치환행렬)이다.

이것을

P = U_1^{-1} M U_2^{-1}

의 형태로 다시 쓰면, 모든 가역행렬은 양쪽에 적절한 상삼각행렬의 역행렬(이 역시 상삼각행렬)을 곱하여 치환행렬로 변환될 수 있다는 의미가 된다. 이는 행렬에 대한 기본 행 연산과 열 연산을 통해 해석할 수 있다. 구체적으로,

U_1^{-1}

에 해당하는 연산은 특정 종류의 행 연산(행

i

를 행

j

에 더하는 연산, 단

i>j

인 경우만 허용)에 해당하고,

U_2^{-1}

에 해당하는 연산은 특정 종류의 열 연산(열

i

를 열

j

에 더하는 연산, 단

i 인 경우만 허용)에 해당한다.

이러한 행렬 분해 과정은 연립일차방정식을 풀 때 사용하는 가우스 소거법과 밀접한 관련이 있다.

3. 2. 특수선형군 SL(n, k)

특수 선형군

\operatorname{SL}(n, k)

는 체

k

상에서 행렬식이

1

인

n \times n

가역 행렬들로 구성된 군이다.

\operatorname{SL}(n, k)

는 반단순 대수군이므로 환원군이다.

이 경우, 바일 군

W

는 여전히

n

개의 문자에 대한 대칭군

S_n

과 동형이다. 그러나 치환 행렬의 행렬식은 해당 치환의 부호와 같으므로,

\operatorname{SL}(n, k)

내에서 홀수인 치환에 대응하는 원소를 표현하기 위해서는, 대응하는 치환 행렬의 0이 아닌 성분 중 하나를

1

대신

-1

로 바꿔야 한다. 이는 행렬식이

1

이 되도록 만들기 위함이다.

보렐 부분군

B

는 행렬식이

1

인 상 삼각 행렬들로 이루어진 부분군이다.

\operatorname{SL}(n, k)

에서의 브뤼아 분해는 일반 선형군

\operatorname{GL}(n, k)

의 경우와 유사하게 해석될 수 있다. 즉,

\operatorname{SL}(n, k)

의 모든 원소

g

는

g = b_1 w b_2

형태로 유일하게 표현될 수 있으며, 여기서

b_1, b_2

는 보렐 부분군

B

의 원소이고,

w

는 바일 군

W

의 원소(적절히 수정된 치환 행렬)이다.

4. 기하학적 의미

브뤼아 분해는 리 군을 그 보렐 부분군으로 나눈 몫공간인 (일반화) '''깃발 공간'''(flag variety^영어) 또는 '''깃발 다양체'''의 기하학적 구조와 밀접하게 연관된다. 브뤼아 분해는 이 깃발 공간을 세포 분해하는 방법을 제공하는데, 이때 나타나는 각 세포는 바일 군의 원소에 대응하며 '''슈베르트 세포'''(Schubert cell^영어)라고 불린다. 즉, 브뤼아 분해는 깃발 다양체를 슈베르트 세포들로 분해하는 것으로 이해할 수 있다. 이 세포 분해 구조는 깃발 다양체의 위상적 특징과 관련이 깊다.

4. 1. 슈베르트 세포

리 군을 그 보렐 부분군에 대하여 잉여류 공간을 취한 몫공간을 (일반화) '''깃발 공간'''(flag variety^영어) 또는 '''깃발 다양체'''라고 한다. 브뤼아 분해는 이러한 깃발 공간(깃발 다양체)의 세포 분해를 정의한다.^[1]

이 세포 분해에서 바일 군의 각 원소 ''w''는 깃발 공간의 특정 세포에 대응하며, 이 세포 ''BwB'' (또는 그 폐포)를 '''슈베르트 세포'''(Schubert cell^영어)라고 부른다.^[1]^[2] 슈베르트 세포의 차원은 대응하는 바일 군 원소 ''w''의 (콕서터 군으로서의) 단어 길이(군의 원소를 반사들의 합성으로 표현했을 때 필요한 최소 반사 수)와 같다.^[1]^[2]

깃발 다양체의 슈베르트 세포 분해의 위상적 성질은 푸앵카레 쌍대성과 바일 군의 군환 구조와 관련이 있다.^[2] 예를 들어, 최고 차원의 슈베르트 세포는 유일하며, 이는 기본류를 나타내고 콕서터 군의 유일한 최장 원소에 대응한다.^[1]^[2]

4. 2. 푸앵카레 쌍대성

브뤼아 분해는 깃발 공간을 슈베르트 세포라고 하는 단위 공간들로 나누는 방법을 제공한다. 각 슈베르트 세포의 차원은 대응하는 바일 군 원소의 길이와 같다.

이러한 슈베르트 세포 분해의 위상적 구조는 푸앵카레 쌍대성에 의해 중요한 제약을 받는다. 구체적으로, 푸앵카레 쌍대성은 바일 군의 대수적 구조(군환)와 연관되어 세포 분해의 가능한 형태를 제한한다. 예를 들어, 푸앵카레 쌍대성에 따르면 가장 높은 차원을 가지는 슈베르트 세포는 유일하게 존재하며, 이는 다양체의 기본류를 나타낸다. 이 최고 차원 세포는 바일 군 내에서 콕서터 군의 최장 원소에 해당한다.

5. 계산

(내용 없음)

5. 1. 드킨 다이어그램

브뤼아 분해에서 특정 차원에 속하는 세포(cell)의 개수는 해당 드킨 다이어그램의

q

-다항식^[1]^[2] 계수와 같다.

5. 2. 이중 브뤼아 세포

두 개의 반대되는 보렐 부분군을 사용하여 각 부분군에 대한 브뤼아 세포를 교차시키면, 다음과 같은 추가적인 분해가 가능하다.

G=\bigsqcup_{w_1 , w_2\in W} ( Bw_1 B \cap B_- w_2 B_- ).

6. 역사

프랑수아 브뤼아(François Bruhat^fra)가 고전군에 대하여 정의하였으며,^[3] 이를 클로드 슈발레가 일반화하였다.^[4]

참조

_[1] 간행물 This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 186 http://math.ucr.edu/[...]
_[2] 간행물 This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 186 https://math.ucr.edu[...]
_[3] 저널 Sur les representations induites des groupes de Lie 1956
_[4] 서적 Classification des groupes de Lie algébriques 1958

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