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기준틀

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목차

1. 개요

기준틀은 관찰자와 관찰자의 운동 상태와 관련된 물리적 개념으로, 물리적 기준틀, 기준틀, 또는 단순히 틀이라고도 불린다. 기준틀은 관성 기준틀과 비관성 기준틀로 나뉘며, 좌표계는 관찰을 설명하는 데 사용되는 수학적 개념이다. 측정 장치는 관찰자의 운동 상태나 좌표계 선택과는 별개이며, 양자역학에서 중요한 역할을 한다. 지구 및 천체 관측, 유체 역학, 인지 심리학, 일반 상대성 이론, 언어학, 수학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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기준틀

2. 정의

"기준틀"은 다양한 의미로 사용되기 때문에 여러 용어가 생겨났다. 예를 들어, "데카르트 기준틀"처럼 좌표계 유형을 덧붙이기도 하고, "회전 기준틀"처럼 운동 상태를 강조하기도 한다. 또한, "갈릴레이 기준틀"과 같이 관련된 틀로 변환되는 방식을 강조하거나, "거시적", "미시적 기준틀"처럼 관측 규모에 따라 구분하기도 한다.[2]

이 문서에서는 좌표 선택이나 관측 장치보다는 "운동 상태"를 강조할 때 "관측 기준틀"이라는 용어를 사용한다. 관측 기준틀은 이 틀에 연결될 수 있는 전체 좌표계에 대한 운동의 영향을 연구하는 데 사용된다. 반면, "좌표계"는 운동 상태가 주된 관심사가 아닌 여러 목적으로 사용될 수 있다. 예를 들어, 좌표계는 시스템의 대칭성을 활용하기 위해 사용될 수도 있다. 더 넓게 보면, 물리학의 많은 문제는 공간 및 시간과 간접적으로만 관련된 "일반화 좌표", "노르말 모드", "고유 벡터"를 사용한다.

따라서 관측 기준틀, 좌표계, 관측 장비를 다음과 같이 분리된 개념으로 생각하는 것이 유용하다.


  • 관측 틀 (예: 관성 좌표계 또는 비관성 좌표계)은 운동 상태와 관련된 물리적 개념이다.
  • 좌표계는 관측을 설명하는 데 사용되는 언어 선택에 해당하는 수학적 개념이다.[3] 관측 기준틀의 관찰자는 해당 틀에서 수행된 관측을 설명하기 위해 모든 좌표계 (데카르트, 극좌표, 곡선 좌표, 일반화 등)를 사용할 수 있다. 좌표계 선택을 바꾸어도 관찰자의 운동 상태는 바뀌지 않으므로, 관찰자의 "관측" 기준틀이 바뀌는 것은 아니다. 어떤 좌표계가 다른 좌표계보다 특정 관측에 더 적합할 수 있다는 것은 당연하다.[4]
  • 무엇을 측정할지, 어떤 관측 장치를 사용할지는 관찰자의 운동 상태 및 좌표계 선택과는 별개의 문제이다.

2. 1. 관측 기준틀

관측 기준틀은 물리적 기준틀, 기준틀, 또는 단순히 틀이라고도 불리며, 관찰자와 관찰자의 운동 상태와 관련된 물리적 개념이다.[19] 관측 기준틀은 오직 운동 상태에 의해서만 특징지어진다는 관점이 있지만, 이에 대해서는 의견이 일치하지 않는다.

관측 기준틀에는 두 가지 유형이 있다.

  • 관성 기준틀: 모든 물리 법칙이 가장 간단한 형태로 나타나는 기준틀이다. 뉴턴의 제1법칙이 참인 경우로, 자유 입자가 일정한 속도로 직선을 따라 이동하거나 정지해 있는 기준틀이다.
  • 비관성 기준틀: 관측을 설명하기 위해 가상의 힘을 도입해야 하는 기준틀이다. 예를 들어 지구 표면의 한 지점을 중심으로 하는 관측 기준틀은 지구의 중심을 공전하며, 이는 코리올리 힘, 원심력, 중력과 같은 가상의 힘을 발생시킨다.

2. 2. 좌표계

지역 좌표 집합, 즉 기준틀 '''F'''의 원점에 위치한 관찰자 O. 이 틀의 관찰자는 (''x, y, z, t'') 좌표를 사용하여 별로 표시된 시공간 사건을 설명한다.


"좌표계"라는 용어는 (특히 물리학자들에 의해) 비기술적인 의미로 자주 사용되지만, 수학에서 "좌표계"는 정확한 의미를 가지며, 때로는 물리학자가 의미하는 바가 그 의미일 수도 있다.

수학에서 좌표계는 기하학 또는 대수학의 한 측면이며,[9][10] 특히 다양체의 속성이다(예: 물리학에서 구성 공간 또는 위상 공간).[11][12] ''n''차원 공간의 점 '''r'''의 좌표는 단순히 ''n''개의 숫자로 정렬된 집합이다.[13][14]

:\mathbf{r} = [x^1,\ x^2,\ \dots,\ x^n].

일반적인 바나흐 공간에서 이러한 숫자는 푸리에 급수와 같은 함수 전개의 계수일 수 있다. 물리적 문제에서 이는 시공간 좌표 또는 정규 모드 진폭일 수 있다. 로봇 설계에서 이는 상대적인 회전 각도, 선형 변위 또는 조인트의 변형일 수 있다.[15] 여기서는 이러한 좌표가 일련의 함수에 의해 데카르트 좌표계와 관련될 수 있다고 가정한다.

:x^j = x^j (x,\ y,\ z,\ \dots),\quad j = 1,\ \dots,\ n,

여기서 ''x'', ''y'', ''z'' 등은 점의 ''n''개의 데카르트 좌표이다. 이러한 함수가 주어지면 '''좌표 면'''은 다음 관계로 정의된다.

: x^j (x, y, z, \dots) = \mathrm{constant},\quad j = 1,\ \dots,\ n.

이러한 표면의 교차는 '''좌표선'''을 정의한다. 선택된 임의의 점에서 해당 점에서 교차하는 좌표선에 대한 접선은 해당 점에서 일련의 '''기저 벡터''' {'''e'''1, '''e'''2, ..., '''e'''n}을 정의한다. 즉:[16]

:\mathbf{e}_i(\mathbf{r}) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}\left(x^1,\ \dots,\ x^i + \epsilon,\ \dots,\ x^n\right) - \mathbf{r}\left(x^1,\ \dots,\ x^i,\ \dots ,\ x^n\right)}{\epsilon},\quad i = 1,\ \dots,\ n,

이는 단위 길이로 정규화될 수 있다. 자세한 내용은 곡선 좌표를 참조하라.

좌표 면, 좌표선 및 기저 벡터는 '''좌표계'''의 구성 요소이다.[17] 기저 벡터가 모든 점에서 직교하는 경우, 좌표계는 직교 좌표계이다.

좌표계의 중요한 측면은 계량 텐서 ''gik''이며, 이는 좌표를 기준으로 좌표계의 호 길이 ''ds''를 결정한다.[18]

:(ds)^2 = g_{ik}\ dx^i\ dx^k,

여기서 반복된 인덱스는 합산된다.

이러한 설명에서 알 수 있듯이 좌표계는 수학적 구조이며 공리적 시스템의 일부이다. 좌표계와 물리적 운동(또는 현실의 다른 측면) 사이에는 반드시 연결되어야 할 필요는 없다. 그러나 좌표계는 시간을 좌표로 포함할 수 있으며 운동을 설명하는 데 사용될 수 있다. 따라서 로렌츠 변환 및 갈릴레이 변환은 좌표 변환으로 볼 수 있다.

2. 3. 측정 장치

기준틀에 부착된 측정 장치(예: 시계와 막대)는 양자역학에서 중요한 역할을 한다(측정 문제 참조).[24] 현대 물리학에서 원자 시계를 사용하는 훨씬 더 복잡하고 간접적인 측정으로 대체된다.[24] 이들은 진공의 특성과 연결되어 있고 표준 모형에 따라 작동하며 중력 시간 팽창에 대해 보정되어야 한다.[24] (second|초영어, metre|미터영어, kilogram|킬로그램영어 참조).

실제로 아인슈타인은 시계와 막대가 단지 편리한 측정 장치일 뿐이며, 원자와 분자를 기반으로 하는 더 근본적인 실체로 대체되어야 한다고 생각했다.[25]

3. 특정 용도

지구 및 천체 관측에는 국제 지구 기준 좌표계(ITRF)와 국제 천문 기준 좌표계(ICRF)가 사용된다. 유체역학에서는 라그랑주 표현과 오일러 표현이 사용된다.

4. 다른 분야

브래딩과 카스텔라니는 논의를 단순한 시공간 좌표계를 넘어 확장했다.[26] 일반화된 좌표를 사용하는 좌표계로의 확장은 해밀턴 역학과 라그랑지 역학의 양자장론, 고전 상대성 역학, 그리고 양자 중력의 기초가 된다.[27][28][29][30][31][32]


  • 일반 상대성 이론의 틀장
  • 수학에서의 움직이는 틀
  • 준거틀 (인지 심리학)
  • 일반 상대성 이론에서의 틀장
  • 언어학에서의 기준계
  • 수학에서의 이동 기준계

참조

[1] 서적 Reference Frames Springer Netherlands
[2] 서적 Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 1: Spectral Representations in Temporally Dispersive Media https://books.google[...] Springer
[3] 서적 L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups https://books.google[...] Gordon and Breach
[4] 서적 Unification of Classical, Quantum and Relativistic Mechanics and of the Four Forces https://books.google[...] Nova Publishers
[5] 서적 Handbook of Continuum Mechanics: General Concepts, Thermoelasticity https://books.google[...] Springer
[6] 서적 Essays on the Formal Aspects of Electromagnetic Theory https://books.google[...] World Scientific
[7] 서적 What Spacetime Explains: Metaphysical essays on space and time https://books.google[...] Cambridge University Press
[8] 간행물 General covariance and the foundations of general relativity: eight decades of dispute http://www.pitt.edu/[...] Rep. Prog. Phys.
[9] 서적 Continuous symmetry: from Euclid to Klein https://books.google[...] American Mathematical Society
[10] 서적 Introduction to Hyperbolic Geometry https://archive.org/[...] Springer
[11] 서적 The Large Scale Structure of Space-Time https://books.google[...] Cambridge University Press
[12] 서적 Geometry of Differential Forms https://archive.org/[...] American Mathematical Society Bookstore
[13] 서적 Mathematical handbook for scientists and engineers : definitions, theorems, and formulas for reference and review https://books.google[...] Courier Dover Publications
[14] 웹사이트 Encarta definition http://encarta.msn.c[...]
[15] 서적 Simulating and Generating Motions of Human Figures https://books.google[...] Springer
[16] 서적 Lectures on General Relativity https://books.google[...] Springer
[17] 서적 Dynamics of the Atmosphere https://books.google[...] Cambridge University Press
[18] 서적 Vector and Tensor Analysis with Applications https://books.google[...] Courier Dover Publications
[19] 서적 How and Why in Basic Mechanics https://books.google[...] Orient Longman
[20] 서적 Geometric Algebra for Physicists http://www.worldcat.[...] Cambridge University Press
[21] 서적 The Theory of Relativity Oxford University Press
[22] 서적 Problem Book in Relativity and Gravitation https://archive.org/[...] Princeton University Press
[23] 서적 Differential Geometry and Relativity Theory: an introduction https://books.google[...] CRC Press
[24] 서적 Simply Einstein https://books.google[...] W W Norton & Co.
[25] 서적 Relativity in rotating frames https://books.google[...] Springer
[26] 서적 Symmetries in Physics: Philosophical Reflections https://books.google[...] Cambridge University Press
[27] 서적 Analytical Mechanics for Relativity and Quantum Mechanics https://books.google[...] Oxford University Press
[28] 서적 Classical dynamics https://books.google[...] Courier Dover Publications
[29] 서적 Classical Relativistic Many-Body Dynamics https://books.google[...] Springer
[30] 서적 Theoretical Physics https://books.google[...] Courier Dover Publications
[31] 서적 Quantum Field Theory https://books.google[...] Cambridge University Press
[32] 서적 Quantum Gravity https://books.google[...] Cambridge University Press
[33] 웹인용 상대성원리: 공간과 시간 http://www.pressian.[...] 프레시안 2018-12-23


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