기하학 단위계

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 단위 변환
- 2.2. 기하학적 수량
3. 장점 및 활용
4. 한계 및 주의점
5. 같이 보기
참조

1. 개요

기하학 단위계는 광속, 중력 상수, 볼츠만 상수와 같은 물리 상수들을 1로 설정하여 시간, 질량, 에너지 등을 길이의 단위로 표현하는 단위계이다. 이 단위계는 특수 상대성 이론의 개념과 일치하며, 상대성 이론의 수식을 단순화하는 장점이 있다. 다른 단위계로의 변환을 위해 변환 계수를 사용하며, 아인슈타인 방정식과 같은 기하학적 수량의 차원을 정의하는 데 활용된다.

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기하학 단위계

2. 정의

기하학 단위계에서는 광속( $c$ ), 중력 상수( $G$ ), 볼츠만 상수( $k_B$ )를 포함한 여러 물리 상수들을 1로 설정한다.^[1] 이 단위계에서는 시간, 질량, 에너지, 운동량 등 다양한 물리량들이 길이의 단위(또는 길이의 멱수)로 표현된다.

기하학 단위계에서 시간 간격은 빛이 그 시간 간격 동안 이동한 거리로 해석된다. 즉, 1초는 1광초로 해석되어, 시간은 길이의 단위를 가진다. 이는 특수 상대성이론에서 시간과 공간이 동등하다는 개념과 일치한다.

에너지와 운동량은 사차원 운동량 벡터의 구성 요소로 해석되고, 질량은 이 벡터의 크기이므로 기하학적 단위에서는 이들 모두 길이의 단위를 가진다. 예를 들어, SI 단위계에서의 태양의 질량은 기하학 단위계에서 1.5km로 표현될 수 있는데, 이는 1 태양 질량 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름의 절반에 해당한다.

아인슈타인 텐서와 같은 곡률 텐서의 구성 요소는 기하학 단위계에서 단면 곡률(L^-2)의 차원을 갖는다. 에너지-운동량 텐서의 구성 요소도 마찬가지이다. 시공간의 계량 텐서는 무차원이므로, 아인슈타인의 장 방정식은 단면 곡률의 차원에서 차원적으로 일관성을 갖는다.

기하학 단위계로 표현하면, 상대성 이론의 많은 방정식이 단순한 형태가 된다. 예를 들어, 질량 ''m''의 비회전, 비전하 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름 ''r''은 ''r'' = 2''m''으로 나타낼 수 있다.

2. 1. 단위 변환

기하학 단위계에서 다른 단위계(예: SI 단위계)로 변환하려면, 변환 계수를 사용해야 한다. 질량의 경우, 킬로그램(kg)을 미터(m)로 변환하기 위해

c^2G^{-1}

를 곱한다. 시간은 초(s)에서 미터(m)로 변환하기 위해 광속 ''c''를 곱한다.

주요 물리량들의 기하학 단위와 SI 단위 간 변환 계수^[3]
물리량	기하학 단위계	계수
질량	m	$c^2G^{-1}$
길이	m	$1$
시간	m	$c^{-1}$
에너지	m	$c^4G^{-1}$
속도	1 (무차원량)	$c$
각운동량	m²	$c^3G^{-1}$
에너지 밀도	m^－2	$c^4G^{-1}$

2. 2. 기하학적 수량

아인슈타인 텐서와 같은 곡률 텐서의 구성 요소는 기하학 단위에서 단면 곡률의 차원(L^-2)을 갖는다. 에너지-운동량 텐서의 구성 요소 또한 단면 곡률의 차원을 갖는다. 경로 곡률은 곡선의 곡률 벡터 크기의 역수로, 길이의 역수 차원(L^-1)을 가지며, 이는 관찰자가 경험하는 가속도의 크기로 해석될 수 있다. 모든 속도는 곡선의 기울기로 해석되며, 무차원이다.^[3]

다음은 기하학 단위의 차원으로 중요한 물리량을 모아둔 표이다.^[3]

양	SI 차원	기하학 차원	곱셈 계수
길이	[L]	[L]	1
시간	[T]	[L]	c
질량	[M]	[L]	G c^-2
속도	[LT^-1]	1	c^-1
각속도	[T^-1]	[L^-1]	c^-1
가속도	[LT^-2]	[L^-1]	c^-2
에너지	[ML² T^-2]	[L]	G c^-4
에너지 밀도	[ML^-1 T^-2]	[L^-2]	G c^-4
각운동량	[ML² T^-1]	[L²]	G c^-3
힘	[MLT^-2]	1	G c^-4
일률	[ML² T^-3]	1	G c^-5
압력	[ML^-1 T^-2]	[L^-2]	G c^-4
밀도	[ML^-3]	[L^-2]	G c^-2
전하	[I T]	[L]	G^1/2 c⁻²(4πε₀)^-1/2
전위	[ML²T^-3I^-1]	1	G^1/2 c^-2 (4πε₀)^1/2
전기장	[MLT^-3I^-1]	[L^-1]	G^1/2 c^-2 (4πε₀)^1/2
자기장	[MT^-2I^-1]	[L^-1]	G^1/2c^-1(4πε₀)^1/2
퍼텐셜	[MLT^-2I^-1]	1	G^1/2c^-1(4πε₀)^1/2

3. 장점 및 활용

기하학 단위계로 표현하면 상대성 이론의 많은 방정식이 매우 단순한 형태가 된다. 예를 들어, 질량 ''m''의 비회전, 비전하 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름 ''r''은 간단히 ''r'' = 2''m''으로 나타낼 수 있다.^[1]

질량을 킬로그램에서 미터로 표현된 등가 질량으로 변환하려면 변환 계수 ''G''/''c''²을 곱하면 된다. 예를 들어, 태양의 SI 단위계에서의 질량은 에 해당한다. 이는 1태양 질량 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름의 절반이다.^[1] 에너지와 운동량은 4차원 운동량 벡터의 성분으로 해석되며, 질량은 이 벡터의 크기이므로 기하학 단위에서 이들은 모두 길이의 차원을 갖는다.^[1]

기하학 단위계는 찰스 W. 미스너, 킵 손, 존 A. 휠러의 저서 ''중력''에서 정의되었다.^[1]

4. 한계 및 주의점

기하학 단위계는 모든 물리량을 길이 단위로 표현하기 때문에, 일부 물리량 간의 관계가 직관적이지 않을 수 있다. 예를 들어, 전하, 전위, 전기장, 자기장 등 전자기학 관련 물리량들은 기하학 단위계에서 길이나 길이의 역수로 표현되지만, 국제단위계(SI 단위계)와 비교했을 때 그 의미가 직관적으로 와닿지 않을 수 있다.^[3] 따라서 전자기학을 다룰 때는 다른 단위계(예: 로렌츠-헤비사이드 단위계)를 함께 고려하는 것이 유용할 수 있다.

기하학 단위계는 이론 물리학, 특히 상대성 이론을 연구하는 학계에서는 널리 사용되지만, 일반 대중에게는 낯설 수 있다.

5. 같이 보기

자연 단위계에는 플랑크 단위계, 스토니 단위계 등이 있다.

참조

_[1] 서적 Gravitation Freeman 2008
_[2] 논문 Novel black-bounce spacetimes: Wormholes, regularity, energy conditions, and causal structure
_[3] Harvp 2016

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