남 방정식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 남 방정식
- 2.2. 경계 조건
  - 2.2.1. 자기 홀극의 경계 조건
  - 2.2.2. 칼로론의 경계 조건
3. 성질
4. 추가 조건 (영어 문서)
5. 남-히친 모노폴 기술
6. 역사
참조

1. 개요

남 방정식은 실수 리 대수와 1차원 리만 다양체에 대한 함수를 다루는 방정식으로, 4차원 양-밀스 순간자의 차원 축소 버전으로 볼 수 있다. 이 방정식은 자기 홀극, 칼로론, 끈 이론 등 다양한 분야와 연관되어 연구되고 있으며, 1981년 베르너 남에 의해 처음 도입되었다.

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남 방정식

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

실수 리 대수 $\mathfrak g$
1차원 리만 다양체 (즉, 부피 형식이 주어진 선분 또는 원) $C$ . 보통 $C = (0,2)$ (길이 2의 열린 선분) 또는 $C = \mathbb R / \ell \mathbb Z$ (길이 $\ell$ 의 원)으로 잡는다.

그렇다면, '''남 방정식'''의 변수는

C

위의 3개의 함수

:

\vec T \in \mathcal C^\infty(C,\mathfrak g \otimes \mathbb R^3)

및

C

위의 (자명한)

\operatorname U(n)

-주다발의 주접속

:

T_0 \in \mathcal C^\infty(C,\mathfrak u(n))

이다.

(하위 섹션 "남 방정식"에서 남 방정식과 공변미분(

D = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} + [T_0,-]

)에 대한 내용을 다루고 있으므로, 이 단락에서는 공변미분에 대한 정의를 생략한다.)

2. 1. 남 방정식

남 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:

DT_i=\frac12\epsilon_{ijk}[T_j,T_k]

여기서

$\epsilon_{ijk}$ 는 레비치비타 기호이다.
$[-,-]$ 는 $\mathfrak g$ 의 리 괄호이다.
$D = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} + [T_0,-]$ 는 공변 미분이다.

이를 풀어 쓰면 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_1 + [T_0,T_1] = [T_2,T_3]

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_2 + [T_0,T_2] = [T_3,T_1]

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_3 + [T_0,T_3] = [T_1,T_2]

이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자의 방정식을 1차원으로 차원 축소를 가한 것이다.

T_1(z), T_2(z), T_3(z)

를 복소 변수

z

의 세 행렬 값 메로모픽 함수라고 할 때, 남 방정식은 다음과 같은 행렬 미분 방정식 시스템이다.

:

\begin{align}\frac{dT_1}{dz}&=[T_2,T_3]\\[3pt]\frac{dT_2}{dz}&=[T_3,T_1]\\[3pt]\frac{dT_3}{dz}&=[T_1,T_2],\end{align}

이 세 방정식은 레비치비타 기호를 사용하여 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다.

:

\frac{dT_i}{dz}=\frac{1}{2}\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}[T_j,T_k]=\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}T_j T_k.

일반적으로,

N

by

N

행렬을 고려하는 대신, 리 대수

g

값을 갖는 남 방정식을 고려할 수 있다. (특정 해석적 성질, 현실 조건 및 경계 조건과 함께.)

2. 2. 경계 조건

남 방정식은 자기 홀극, 칼로론 등 다양한 해를 구하기 위해 특정한 경계 조건과 함께 사용된다. 자기 홀극과 칼로론의 경계 조건에 대한 자세한 내용은 각각의 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

2. 2. 1. 자기 홀극의 경계 조건

자기 홀극 해를 구성하기 위한 경계 조건은 다음과 같다.

$\mathfrak g = \mathfrak u(n)$ 은 $n\times n$ 반(反)에르미트 행렬의 리 대수이며, 그 리 괄호는 $n\times n$ 행렬의 교환자이다.
$C = (0,2)$ 는 길이 2의 열린구간이다.
$T$ 는 해석 함수이다.
$z\to 0$ 또는 $z\to 2$ 에서, $T_i$ 는 1차 극을 가지며, 그 유수는 리 대수 $\mathfrak{su}(2)$ 의 $n$ 차원 표현을 이룬다. 즉, 로랑 급수

::

T_i(z) = T_i^{(-1)}z^{-1} + T_i^{(0)} + T_i^{(1)}z+\dotsb=T_i^{\prime(-1)}(z-2)^{-1} + T_i^{\prime(0)} + T_i^{\prime(1)}(z-2)+\dotsb

: 에서,

::

[T_i^{(-1)},T_j^{(-1)}]=\frac12\epsilon_{ijk}T_k^{(-1)}

::

[T_i^{\prime(-1)},T_j^{\prime(-1)}]=\frac12\epsilon_{ijk}T_k^{\prime(-1)}

: 이다.

변수 $z$ 는 열린 구간 $(0,2)$ 로 제한되며, 다음 조건이 부과된다.
# $T^*_i = -T_i;$
# $T_i(2-z)=T_i(z)^{T};\,$
# $T_iN$ 은 닫힌 구간 $[0,2]$ 의 근방에서 $z$ 의 유사해석적 함수로 연속될 수 있으며, $0$ 과 $2$ 를 제외하고 해석적이며, $z = 0$ 과 $z = 2$ 에서 단순 극점을 갖는다.
# 극점에서 $T_1, T_2, T_3$ 의 잔류물은 SU(2) 군의 기약 표현을 형성한다.

2. 2. 2. 칼로론의 경계 조건

남 방정식을 통해 칼로론을 구성할 수 있다.^[1]^[2] 이 경우 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.

$C = \mathbb R / \ell \mathbb Z$ 는 둘레 $\ell$ 의 원이다.
$C$ 에는 특별한 점 $z_1,z_2,\dotsc,z_p \in C$ 이 주어진다.
$[z_a,z_{a+1}]$ 에서, $\mathfrak g = \mathfrak u(n_i)$ 이다.
$T_i$ 들이 작용하는 복소수 $n$ 차원 에르미트 벡터 다발 $E$ 는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. $[z_a,z_{a+1}]$ 에서의 다발을 $E^a$ 라고 하자. 특별한 점 $k_a$ 에서, $E^{a-1}$ 과 $E^a$ 의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다.
* 만약 $n_{a-1} < n_a$ 라면, 단사 사상 $E^{a-1}|_{z_a} \to E^a|_{z_a}$
* 만약 $n_{a-1} > n_a$ 라면, 단사 사상 $E^a|_{z_a} \to E^{a-1}|_{z_a}$
* 만약 $n_{a-1} = n_a$ 라면, 전단사 사상 $E^{a-1}|_{z_a} \to E^a|_{z_a}$
$T^a_i$ 는 해석 함수이며, 각 특별한 점 $z_a$ 에서 $T_i$ 는 다음과 같은 경계 조건을 따른다.
* $n_{a-1} < n_a$ 일 때: $z \approx z_a$ 에서 다음이 성립한다.
*: $T^a(z) = \begin{pmatrix}$

T^{a-1}(z) & \mathcal O((z-z_i)^{(n_a-n_{a-1}-1)/2})\\\mathcal O((z-z_a)^{(n_a-n_{a-1}-1)/2}) & (z-z_a)^{-1}R_i + \mathcal O(1)\end{pmatrix}

** 여기서 유수 $R^a$ 는 $\mathfrak{su}(2)$ 의 기약 표현을 이룬다.
* $n_{a-1} > n_a$ 일 때: 위와 마찬가지로 정의한다.
* $n_{a-1} = n_a$ 일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다.
변수 $z$ 는 열린 구간 $(0,2)$ 로 제한되며, 다음 조건이 부과된다.

#

T^*_i = -T_i;

#

T_i(2-z)=T_i(z)^{T};\,

#

T_iN

은 닫힌 구간

[0,2]

의 근방에서

z

의 유사해석적 함수로 연속될 수 있으며,

0

과

2

를 제외하고 해석적이며,

z = 0

과

z = 2

에서 단순 극점을 갖는다.

# 극점에서

T_1, T_2, T_3

의 잔류물은 SU(2) 군의 기약 표현을 형성한다.

3. 성질

남 방정식은 여러 가지 흥미로운 성질을 가지며, 수학과 물리학의 다양한 분야와 깊은 관련을 맺고 있다.

남 방정식은 레비-치비타 기호를 사용하여 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.^[3]^[4]

: $\frac{dT_i}{dz}=\frac{1}{2}\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}[T_j,T_k]=\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}T_j T_k.$

여기서 $T_i$ 는 $z$ 의 함수인 $N \times N$ 행렬이거나, 더 일반적으로 리 대수 값을 가질 수 있다.

3차원 자기 홀극 방정식은 미니트위스터 공간을 통해 작도할 수 있으며, 이 때 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 보여준다.

3. 1. 게이지 대칭

남 방정식은

\mathcal C^\infty(C,G)

의 게이지 변환을 갖는다.

만약

C

가 선분인 경우, 게이지 대칭을 사용하여

T_0 = 0

으로 놓을 수 있다. 그렇다면 이 게이지 변환에서

\operatorname O(n)

만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 켤레 작용

:

T(z) \mapsto OT(z)O^{-1}\qquad(O\in\operatorname O(n))

에 대하여 불변이다.

T_0=0

게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은

4n+n(n-1)/2

이며, 남은 게이지 변환

\operatorname O(n)

에 대한 몫공간의 차원은

4n

이다. 이는 ''n''개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다.

3. 2. 럭스 쌍

남 방정식은 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 즉, 다음과 같이 정의한다.

:

A_0=-\mathrm iT_1+T_2, \quad A_1=-2T_3, \quad A_2=-\mathrm iT_1-T_2

:

A(t)=A_0+t A_1+t^2 A_2

:

B(t)=\frac12\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac12A_1+t A_2 \equiv B_0 + tB_1

여기서

t

는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다.

:

\frac{\partial A(t)}{\partial z} = [A(t),B(t)]

양변을

t

에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면 다음과 같다.

:

\frac{\partial}{\partial z}A_0 = [A_0,B_0] = \frac12[A_0,A_1]

:

\frac{\partial}{\partial z}A_1 = [A_1,B_0]+[A_0,B_1]=[A_0,A_2]

:

\frac{\partial}{\partial z}A_2 = [A_1,B_1] + [A_2,B_0]=[A_1,A_2]+\frac12[A_2,A_0]

:

0 = [A_2,B_1]

이에 따라, 방정식

:

\det(x-A(t,z)) = 0

으로 정의되는 스펙트럼 곡선은

\partial/\partial z

에 대하여 불변이다. 이 방정식은

x

에 대한

n

차 방정식이다. 여기서,

t

는 자연스럽게 사영 직선

\mathbb P^1

의 좌표로 생각할 수 있으며,

(x,t)

는 그 접공간

\mathrm T\mathbb P^1

위의 좌표를 이룬다. 이는 미니트위스터 공간과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 대수 곡선이다.

3. 3. 자기 홀극과의 관계

남 방정식은 유클리드 3차원 SU(2) 게이지 이론에서 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 포함하는 상태를 작도하는 데 사용될 수 있다. 이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.^[3]^[4]

남 방정식의 해

T^i(z)

가 주어졌다고 하면, 다음과 같은 디랙 연산자를 정의할 수 있다.

:

\Delta=\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\otimes\sigma_i

이는

(z,\mathbf x)

를 매개 변수로 갖는

(n,1)\otimes(2\times 2)=2n\times n

행렬

U^a{}_i{}^j(z,\mathbf x)

에 작용한다.

만약

U

가

\Delta

의 여핵에 속한다면, 즉 그 수반 작용소

\Delta^\dagger

에 대하여

:

\Delta^\dagger=-\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\sigma_i

:

\Delta^\dagger U=0

을 만족하는

U

를 찾으면, 스칼라장

\phi

와 게이지장

A

는 다음과 같이 주어진다.

:

\phi(\mathbf x)=\int_0^2z(U^a)^\dagger(z;\mathbf x)U^a(z;\mathbf x)\,dz

:

\mathrm iA_i(\mathbf x)=\int_0^2z(U^a)^\dagger(z;\mathbf x)\partial_\mu U^a(z;\mathbf x)\,dz

다음과 같은 동치 관계가 성립한다.

게이지 변환을 제외한 $SU(2)$ 군에 대한 전하 $K$ 의 모노폴
위에 주어진 추가 조건을 만족하는 남 방정식의 해 (단, $O(k,R)$ 군에 의한 $T_1, T_2, T_3$ 의 동시 공액은 제외)

3. 4. 끈 이론과의 관계

초끈 이론에서, ⅡB 초끈 이론의 D-막 배열을 통해 남 방정식을 해석할 수 있다. D3-막과 D1-막이 특정 방식으로 배열된 상태를 고려한다.

	0	1	2	3	4	…
D3-막	×	×	×	×
D1-막	×				×

D1-막은 D3-막에 붙어 있으며, D3-막의 수는 $k$ , D1-막의 수는 $n$ 이다. 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 가정하면, 다음과 같이 묘사할 수 있다.

D3-막 위의 이론은 $\operatorname{SU}(k)$ 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론이며, 시간 불변의 경우 보고몰니 방정식으로 나타난다. D1-막은 D3-막 위의 $n$ 개의 자기 홀극에 해당한다.
D1-막 위의 이론은 시간 불변의 경우 남 방정식으로 나타난다. (1차원 공간에서 게이지장을 0으로 게이지 고정할 수 있다.)

남 방정식의

\mathfrak{su}(2)

지표는 1, 2, 3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다. 남 방정식의 장

(T_1, T_2, T_3)

는 D1-막의 1, 2, 3 방향의 위치를 나타낸다. 만약 각

T_i

가 대각 행렬이라면, 그

n

개의 대각 성분은

n

개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 비가환 기하학에 의한 효과이다.

따라서 남 방정식과 보고몰니 방정식은 10차원 초끈 이론의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다.

4. 추가 조건 (영어 문서)

# T^*_i^영어 = -T_i^영어^[1]

# T_i(2-z)=T_i(z)^T^영어^[1]

# T_iN^영어은 닫힌 구간 [0,2]의 근방에서 z^영어의 유사해석적 함수로 연속될 수 있으며, 0과 2를 제외하고 해석적이며, z^영어 = 0과 z^영어 = 2에서 단순 극점을 갖는다.^[1]

# 극점에서 T_1^영어, T_2^영어, T_3^영어의 잔류물은 SU(2) 군의 기약 표현을 형성한다.^[1]

5. 남-히친 모노폴 기술

다음과 같은 자연스러운 동치 관계가 성립한다.

게이지 변환을 제외한 SU(2)|SU(2)^영어 군에 대한 전하 $K$ 의 모노폴
위에 주어진 추가 조건을 만족하는 남 방정식의 해는 $O(k,R)$ 군에 의한 $T_1, T_2, T_3$ 의 동시 공액을 제외하고 서로 동치이다.

6. 역사

남 방정식은 1981년 베르너 남(Werner Nahm^de)이 도입하였다.^[5] 이후 사이먼 도널드슨^[6]과 나이절 히친^[7] 등이 연구하였다. 허준이 고등과학원 교수가 필즈상을 수상하면서, 남 방정식과 관련된 연구가 더욱 주목받고 있다.

참조

_[1] 서적 Multi‐calorons and their moduli 레이던 대학교 2005
_[2] 서적 The geometry of calorons 에든버러 대학교 2001
_[3] 논문 Parameter counting for multi-monopole solutions 1979
_[4] 논문 Fundamental monopoles and multimonopole solutions for arbitrary simple gauge groups 1980-05-19
_[5] 서적 Structural Elements in Particle Physics and Statistical Mechanics Plenum Press 1983
_[6] 논문 Nahm’s equations and the classification of monopoles
_[7] 논문 On the construction of monopoles

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