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대역체

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목차

1. 개요

대역체는 유한체에 대한 대수 곡선의 함수체 또는 유한체 계수의 유리 함수체의 유한 확대와 동형인 체를 의미한다. 대수적 수체와 유사한 성질을 가지며, 곱 공식과 국소성을 만족하는 절댓값을 갖는다. 대수적 정수환은 비아르키메데스 절댓값에 대해 절댓값이 1 이하인 원소들의 집합으로, 데데킨트 정역이다. 대수적 수체와 대역 함수체 사이에는 다양한 형식적 유사성이 존재하며, 이는 대수적 정수론 발전에 기여했다. 하세-민코프스키 정리와 아르틴 상호 법칙은 대역체와 관련된 중요한 정리이다.

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대역체
정의
설명대역체(영어: global field)란 유리수체의 유한 확대 또는 유한체의 일변수 함수체의 유한 확대를 뜻한다.
종류
종류수체: 유리수체 Q의 유한 확대
함수체: 유한체 Fq(t)의 유한 확대
성질
값매김대역체의 각 자리(영어: place)는 아르키메데스 값매김이거나, 아니면 이산 값매김이다.
곱 공식대역체 K의 모든 자리에 대한 절댓값 |·|v를 잡으면, 임의의 0이 아닌 원소 x ∈ K×에 대하여 거의 모든 v에 대하여 |x|v = 1이며, 다음이 성립한다.
곱 공식 (수식)'prodv'
국소-대역 원리어떤 대역체 위의 방정식이 해를 갖는지 여부는 그 완비화에서 해를 갖는지 여부와 동치이다.
국소-대역 원리 관련 이론하세 원리
하세-민코프스키 정리
역사대역체의 개념은 원래 하인리히 웨버가 1890년대에 수체를 연구하면서 도입하였다.
에밀 아르틴과 조지 윌리엄 웨이플스가 1945년과 1946년에 공리적으로 정의하였다.
관련 개념국소체
아델 환
아이델 군
아라켈로프 이론
기본 보조정리
참고 문헌
참고 문헌

2. 정의

'''대역 함수체'''(大域函數體, global function field영어)는 다음 두 조건을 만족시키는 체이다.


  • 유한체에 대한 대수 곡선의 함수체와 동형이다.
  • 유한체 계수의 유리 함수체 \mathbb F_q(t)의 유한 확대와 동형이다.


체 K에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  • 대수적 수체 또는 대역 함수체와 동형인 체이다. 즉, \mathbb Q의 유한 확대이거나 어떤 q에 대한 \mathbb F_q(t)의 유한 확대이다.
  • (대역체의 공리적 정의) K 위의 절댓값들의 각 동치류 가운데 적절한 대표원 \|-\|_v을 잡으면, 다음 두 공리가 성립한다.[2]
  • ('''곱 공식''', product formula영어) 임의의 a\in K^\times에 대하여 \{v\colon |a|_v\ne1\}<\aleph_0이며, 또한 \prod_v|a|_v=1이다. 여기서 \prod_v는 K 위의 모든 절댓값들의 동치류에서, 위에서 고른 대표원들에 대한 곱이다.
  • (국소성) 절댓값 \|-\|_v 가운데, 완비화 K_v가 국소체가 되는 것이 적어도 하나 이상 존재한다.

3. 성질

대역 함수체는 유한체에 대한 대수 곡선의 함수체와 동형이거나, 유한체 계수의 유리 함수체 \mathbb F_q(t)의 유한 확대와 동형인 체이다.[2]

대수적 수체와 대역 함수체는 여러 유사한 성질을 갖는다. 이 둘은 모두 모든 완비화가 국소 컴팩트 체(국소체 참조)라는 특징을 가지며, 데데킨트 정역의 분수체로 나타낼 수 있다. 이 때, 모든 0이 아닌 아이디얼은 유한 지수를 갖는다.[2]

이 두 종류의 체 사이의 유사성은 대수적 정수론에서 중요한 동기 부여 요인이었다. 리하르트 데데킨트와 하인리히 M. 베버는 19세기에 수체와 리만 곡면 사이의 유사성에 대한 아이디어를 제시했다. 1930년대에는 리만 곡면의 대수 곡선으로서의 측면을 유한체 위에서 정의된 곡선으로 매핑하는 '전역체' 개념을 통해 더 엄밀한 유사성이 구축되었고, 1940년 앙드레 베유가 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설을 해결하면서 정점에 달했다.

3. 1. 자리 (Place)

오스트롭스키 정리에 따라 대수적 수체의 (자명하지 않은) 자리는 다음 세 종류 가운데 하나이다.

  • 실수체로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R에 대응하는 '''실수 자리'''.
  • 복소수체로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb C의 동치류 \iota\sim\bar\iota에 대응하는 '''복소수 자리'''.
  • 대수적 정수환 \mathcal O_K의 각 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p진 자리.


대역 함수체 \mathbb F_q(x)의 (자명하지 않은) 자리는 다음 두 종류 가운데 하나이다.

  • P(x), Q(x)\in\mathbb F_q[x]에 대하여, P/Q\mapsto\deg P-\deg Q인 이산 값매김에 대응하는 절댓값.
  • 각 기약 다항식 P\in\mathbb F_q[x]에 대하여, P진 자리.


이 경우, 모든 절댓값은 비아르키메데스 절댓값이다.

3. 2. 곱 공식 (Product Formula)

대역체 K의 자리 v는 절댓값들의 동치류이다. 이 동치류 속의 '''정규화 절댓값'''(normalized absolute value영어) |\cdot|_v에 대해 다음과 같은 곱 공식이 성립한다.[3]

# 임의의 a\in K에 대하여, |a|_v\ne1인 자리 v의 수는 유한하다.

# 임의의 a\in K에 대하여, \prod_v|a|_v=1이다.

0이 아닌 원소 ''x''에 대해서도 다음과 같은 곱 공식이 성립한다.

:\prod_v |x|_v = 1,

여기서 ''v''는 체의 모든 값매김을 나타낸다.

3. 3. 대수적 정수환 (Ring of Integers)

대역체 $K$의 '''대수적 정수환''' $\mathcal O_K$는 모든 비아르키메데스 절댓값 (유한 자리)에 대하여, 절댓값이 1 이하인 (즉, 이산 값매김이 음수가 아닌) 원소들의 집합이다.[2]

:$ \mathcal O_K=\{a\in K\colon|a|_v\le1\forall v<\infty\} $

다시 말해, $K$의 모든 국소체의 대수적 정수환들의 교집합이다.

만약 $K/\mathbb Q$가 대수적 수체라면, 그 대수적 정수환은 $\mathbb Z\subset K$의 정수적 폐포이다. 특히, $\mathbb Q$의 대수적 정수환은 $\mathbb Z$이다. $\mathbb F_q(x)$의 대수적 정수환은 다항식환 $\mathbb F_q[t]$이며, $\mathbb F_q(x)$의 유한 확대의 대수적 정수환은 $\mathbb F_q[x]$의 정수적 폐포이다.

대역체 $K$의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$는 데데킨트 정역이며, $\mathcal O_K$의 0이 아닌 모든 아이디얼은 유한 지표를 갖는다.

4. 유사성

두 종류의 체 사이에는 여러 가지 형식적인 유사성이 있다. 두 종류의 체는 모두 모든 완비화가 국소 컴팩트 체라는 특징을 갖는다 (국소체 참조). 두 종류의 체는 모두 모든 0이 아닌 아이디얼이 유한 지수를 갖는 데데킨트 정역의 분수체로 실현될 수 있다. 각 경우, 0이 아닌 원소 ''x''에 대해 다음의 곱 공식이 성립한다.

:\prod_v |x|_v = 1,

여기서 ''v''는 체의 모든 값매김을 나타낸다.

두 종류의 체 사이의 유추는 대수적 정수론에서 강력한 동기 부여 요인이 되어 왔다. 수체와 리만 곡면 사이의 유추 아이디어는 19세기의 리하르트 데데킨트와 하인리히 M. 베버로 거슬러 올라간다. 리만 곡면의 대수 곡선으로서의 측면이 유한체 위에서 정의된 곡선으로 매핑되는 '전역체' 아이디어를 통해 표현되는 보다 엄격한 유추는 1930년대에 구축되었으며, 1940년 앙드레 베유에 의해 해결된 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설로 절정에 달했다. 이 용어는 베유가 부분적으로 유사성을 연구하기 위해 저술한 ''기본 정수론'' (1967)에서 유래했을 수 있다.

일반적으로 함수체 경우에서 작업하는 것이 더 쉽고, 그 다음 수체 측면에서 병렬 기술을 개발하려는 시도를 할 수 있다. 아라켈로프 이론의 발전과 게르트 팔팅스가 모델 추측을 증명하는 데 이를 활용한 것은 극적인 예이다. 이 유추는 또한 이와사와 이론과 주 추측의 발전에 영향을 미쳤다. 랑글란즈 프로그램에서 기본 보조 정리의 증명 또한 수체 경우를 함수체 경우로 축소하는 기술을 활용했다.

5. 관련 정리

수체와 함수체, 이 두 종류의 체 사이에는 여러 가지 형식적인 유사성이 있다. 이들은 모두 모든 완비화가 국소 컴팩트 체(국소체 참조)라는 특징을 가지며, 0이 아닌 아이디얼이 유한 지수를 갖는 데데킨트 정역의 분수체로 나타낼 수 있다. 또한, 0이 아닌 원소 ''x''에 대해 다음의 곱 공식이 성립한다.

:\prod_v |x|_v = 1,

여기서 ''v''는 체의 모든 값매김을 나타낸다.

이러한 유사성은 대수적 정수론에서 중요한 동기 부여 요인이 되었다. 19세기 리하르트 데데킨트와 하인리히 M. 베버는 수체와 리만 곡면 사이의 유추를 제시했고, 1930년대에는 '전역체' 개념을 통해 더 엄격한 유추가 구축되었다. 이는 1940년 앙드레 베유의 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설 해결로 절정에 달했다. "대역체"라는 용어는 베유의 ''기본 정수론''(1967)에서 유래했을 가능성이 있다.

함수체는 일반적으로 다루기 더 쉬우며, 이를 바탕으로 수체에 대한 유사한 기술을 개발하려는 시도가 이루어졌다. 아라켈로프 이론과 게르트 팔팅스의 모델 추측 증명은 이러한 노력의 대표적인 예시이다. 이 유추는 이와사와 이론과 주 추측의 발전, 그리고 랑글란즈 프로그램에서 기본 보조 정리 증명에도 영향을 미쳤다.

5. 1. 하세-민코프스키 정리 (Hasse-Minkowski Theorem)

하세-민코프스키 정리는 전역체 위의 두 이차 형식이 체의 모든 완비화에서 국소적으로 동치일 경우에만 동치임을 나타내는 수론의 기본적인 결과이다.

5. 2. 아르틴 상호 법칙 (Artin Reciprocity Law)

두 종류의 체 사이의 유사성은 대수적 정수론에서 중요한 동기 부여 요인이 되어 왔다. 이러한 유사성, 특히 수체와 리만 곡면 사이의 유추는 19세기 리하르트 데데킨트와 하인리히 M. 베버에 의해 처음 제기되었다. 이후 1930년대에 보다 엄밀한 유추가 구축되었고, 1940년 앙드레 베유가 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설을 해결하면서 정점에 달했다.

Artin reciprocity law|아르틴 상호 법칙영어은 Hasse 국소-전역 원리를 기반으로 하는 전역체 ''K''의 절대 갈루아 군의 아벨화에 대한 설명을 제공한다. 이는 코호몰로지를 사용하여 설명할 수 있다.

''L''''v''/''K''''v''를 갈루아 군 ''G''를 갖는 국소체의 갈루아 확대라고 할 때, '''국소 상호 법칙'''은 다음 정규 동형 사상을 설명한다.

:\theta_v: K_v^{\times}/N_{L_v/K_v}(L_v^{\times}) \to G^{\text{ab}},

이를 '''국소 아르틴 기호''', '''국소 상호 사상''' 또는 '''노름 잉여 기호'''라고 한다.

''L''/''K''를 전역체의 갈루아 확대라고 하고, ''C''''L''을 ''L''의 이데알류 군이라고 할 때, 서로 다른 ''K''의 위치 ''v''에 대한 사상 ''θ''''v''는 이데알류 클래스의 국소 성분을 곱하여 단일 '''전역 기호 사상'''으로 조합될 수 있다. 아르틴 상호 법칙의 명제 중 하나는 이로 인해 정규 동형 사상이 발생한다는 것이다.[1][2]

6. 역사

앙드레 베유는 1939년에 대수적 수체와 대수적 함수체가 여러 유사한 성질을 가진다는 사실을 지적하였다.[4] 베유는 1967년에 훗날 대역체를 차별하는 것을 인종 차별의 일종인 "분리된 평등함"(separate but equal영어)에 비유하기도 하였다.

두 종류의 체 사이에는 여러 가지 형식적인 유사성이 있다. 두 종류의 체는 모두 모든 완비화가 국소 컴팩트 체(국소체 참조)라는 특징을 갖는다. 또한 모두 모든 0이 아닌 아이디얼이 유한 지수를 갖는 데데킨트 정역의 분수체로 실현될 수 있다. 각 경우, 0이 아닌 원소 ''x''에 대해 다음의 ''곱 공식''이 성립한다.

:\prod_v |x|_v = 1,

여기서 ''v''는 체의 모든 값매김을 나타낸다.

이러한 유사성은 대수적 정수론에서 강력한 동기 부여 요인이 되어 왔다. 수체와 리만 곡면 사이의 유추는 19세기의 리하르트 데데킨트와 하인리히 M. 베버로 거슬러 올라간다. 리만 곡면의 대수 곡선으로서의 측면이 유한체 위에서 정의된 곡선으로 매핑되는 '전역체' 아이디어를 통해 표현되는 보다 엄격한 유추는 1930년대에 구축되었으며, 1940년 앙드레 베유에 의해 해결된 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설로 절정에 달했다. 이 용어는 베유가 부분적으로 유사성을 연구하기 위해 저술한 ''기본 정수론'' (1967)에서 유래했을 수 있다.

일반적으로 함수체 경우에서 작업하는 것이 더 쉽고, 그 다음 수체 측면에서 병렬 기술을 개발하려는 시도를 할 수 있다. 아라켈로프 이론의 발전과 게르트 팔팅스가 모델 추측을 증명하는 데 이를 활용한 것은 극적인 예이다. 이 유추는 또한 이와사와 이론과 주 추측의 발전에 영향을 미쳤다. 랑글란즈 프로그램에서 기본 보조 정리의 증명 또한 수체 경우를 함수체 경우로 축소하는 기술을 활용했다.

참조

[1] 문서 Artin
[2] 저널 Axiomatic characterization of fields by the product formula for valuations 1945
[3] 서적 Algebraic number theory Springer 1999
[4] 저널 Sur l’analogie entre les corps de nombres algébriques et les corps de fonctions algébriques http://gallica.bnf.f[...] 1939-01-15
[5] 서적 Basic number theory Springer-Verlag 1967


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