하세-민코프스키 정리
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1. 개요
하세-민코프스키 정리는 대수적 수체 K에 대한 두 이차 형식이 K에서 동치일 필요충분조건이 K의 모든 완비화에서 동치라는 정리이다. 이 정리는 이차 형식 분류 문제를 실수, 복소수, p진수와 같은 국소체에서의 문제로 환원시킨다. 이차 형식의 불변량은 차원, 판별식, 각 자리에 대한 완비화에서 파생되며, 이들은 호환성 조건을 만족해야 한다. 이 정리는 국소-전역 원리의 중요한 예시이며, 산술 기하학의 기본적인 기법 중 하나로, 특정 방정식의 유리수 해 존재 여부를 판단하는 데 활용된다. 이 정리는 헤르만 민코프스키가 유리수체에 대해 증명했고, 헬무트 하세가 일반적인 대수적 수체로 확장했다.
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| 하세-민코프스키 정리 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 이름 | 하세-민코프스키 정리 |
| 분야 | 수론, 이차 형식 |
| 내용 | 수체에서 두 이차 형식이 동치일 필요충분조건은 국소적으로 동치인 것이다. |
| 설명 | |
| 설명 | 수체 $K$ 위의 두 이차 형식이 동치일 필요충분조건은 $K$의 모든 완비화에서 동치인 것이다. |
| 다른 표현 | 수체 $K$ 위의 이차 형식 $q$가 자명하지 않은 영점을 가지는 필요충분조건은 $K$의 모든 완비화에서 자명하지 않은 영점을 가지는 것이다. |
2. 정의
대수적 수체 에 대한 두 이차 형식 가 주어졌을 때, 다음 두 명제는 서로 동치이다.
- 에 대하여 과 는 동치이다.
- 의 모든 완비화(실수, 복소수, p진수)에 대하여 는 동치이다.
따라서, 일반적인 수체에 대한 이차 형식의 분류는 완비체(실수, 복소수, p진수의 대수적 확대)에 대한 이차 형식들의 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같다.
- 실수 이차형식은 차원과 부호수(signature)에 따라 완전히 분류된다.
- (비퇴화) 복소 이차형식은 차원에 따라 완전히 분류된다.
- p진수(의 대수적 확대)에 대한 이차형식은 차원과 하세 불변량(Hasse invariant)에 따라 완전히 분류된다.
3. 이차 형식의 분류
대수적 수체 에 대한 두 이차 형식 가 주어졌을 때, 다음 두 명제는 서로 동치이다.
- 에 대하여 과 는 동치이다.
- 의 모든 완비화(실수, 복소수, p진수)에 대하여 는 동치이다.
따라서, 일반적인 수체에 대한 이차 형식의 분류는 완비체인 실수, 복소수, p진수(의 대수적 확대)에 대한 이차 형식들의 분류로 귀결된다.
하세-민코프스키 정리는 수체 ''K'' 위의 이차 형식 분류 문제를 더 단순한 국소체 위의 문제로 환원시킨다. 비특이 이차 형식의 기본 불변량은 차원, 판별식, 그리고 각 자리 ''v''에 대한 완비화 '''K'''''v''에서 파생되는 불변량이다. ''v''의 선택에 따라, 이 완비화는 실수 '''R''', 복소수 '''C''', 또는 p진수 체가 될 수 있으며, 각각 다른 종류의 불변량을 가진다.
3. 1. 실수 이차 형식
실베스터의 관성 법칙에 따라, 부호수(또는 관성 음수 지수)는 완전한 불변량이다.3. 2. 복소 이차 형식
같은 차원의 모든 비특이 이차 형식은 동치이다.3. 3. p진수 이차 형식
p진수(의 대수적 확대)에 대한 이차 형식은 차원과 하세 불변량(Hasse invariant)에 따라 완전히 분류된다. '''Q'''''p'' 및 해당 대수적 확대의 경우, 동일한 차원의 형식은 하세 불변량에 의해 동등성까지 분류된다.3. 4. 불변량의 호환성 조건
이러한 불변량은 몇 가지 호환성 조건을 충족해야 한다. 패리티 관계(판별식의 부호는 관성 음수 지수와 일치해야 함) 및 곱 공식(국소-전역 관계)이 그것이다. 반대로, 이러한 관계를 만족하는 모든 불변량 집합에 대해, 이러한 불변량을 가진 '''K''' 위의 이차 형식이 존재한다.4. 중요성
하세-민코프스키 정리는 산술적인 질문에 답하기 위해 새로운 패러다임을 제시했다는 점에서 중요한 의미를 갖는다. 특정 유형의 방정식이 유리수 해를 갖는지 여부를 결정하기 위해, 뉴턴 방법 및 그 p-진 유사체인 헨젤의 보조정리와 같은 해석적 기법을 적용할 수 있는 실수와 p-진수의 완비체에서 해를 갖는지 테스트하는 것으로 충분하다. 이는 국소-전역 원리의 첫 번째 중요한 예시이며, 산술 기하학의 가장 기본적인 기법 중 하나이다.
5. 역사
헤르만 민코프스키가 유리수체에 대한 경우를 증명하였고, 헬무트 하세가 이를 일반적인 대수적 수체에 대하여 확장하였다.
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