도박꾼의 파산

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1. 개요

도박꾼의 파산은 두 명의 도박꾼이 자산을 걸고 반복적으로 도박을 하는 상황에서 한쪽이 파산할 확률을 계산하는 문제이다. 공정한 도박에서는 파산 확률이 초기 자산에 비례하며, 불공정한 도박에서는 각 도박꾼의 승리 확률에 따라 달라진다. 이 문제는 블레즈 파스칼과 피에르 드 페르마의 서신에서 처음 언급되었으며, 크리스티안 하위헌스에 의해 구체적으로 연구되었다. 또한, N-플레이어 파산 문제로 확장될 수 있으며, 특히 3명 이상의 플레이어의 경우 계산이 복잡해지지만, 행렬-해석적 방법을 통해 해결할 수 있다.

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도박꾼의 파산

2. 정의

도박꾼의 파산 문제는 두 도박꾼이 각각 초기 자산을 가지고 일련의 도박을 반복하여, 한 명이 파산할 때까지 게임을 진행하는 상황을 가정한다.

이 문제에 대한 가장 초기의 언급은 1656년 블레즈 파스칼이 피에르 드 페르마에게 보낸 편지에서 발견된다.^[2] 파스칼의 문제는 1656년 피에르 드 카르카비가 크리스티안 하위헌스에게 보낸 편지에 요약되어 있으며, 하위헌스는 이 문제를 재구성하여 ''De ratiociniis in ludo aleae''("도박 게임에서의 추론", 1657)에 게재했다.^[3]^[4] "도박꾼의 파산"이라는 용어는 훨씬 후대에 사용되었다.^[5]

이 문제는 종종 "무한대" 또는 훨씬 더 많은 자본을 가진 것으로 가정되는 북메이커 또는 카지노를 상대로 유한한 자본을 가진 도박꾼에게 적용된다. 게임이 공정하거나 수학적으로 마팅게일로 정의되는 시나리오에서도 도박꾼의 궁극적인 파산 확률이 1에 가까워진다는 것을 증명할 수 있다.^[6]

2. 1. 기본 설정

두 도박꾼이 각각 초기 자산 n₁^영어, n₂^영어을 가진다. 이들이 일련의 도박을 하여, 패자가 승자에게 자산 1만큼을 준다. 이렇게 일련의 도박을 계속하여, 둘 중 자산이 0이 되는 경우 파산하게 된다. 각 도박꾼이 하나의 도박을 이길 확률은 p₁^영어과 p₂=1-p₁^영어이다.

2. 2. 파산 확률 계산

두 도박꾼이 도박을 하여, 둘 중 자산이 0이 되는 경우 파산하게 된다. 각 도박꾼이 한 번의 도박을 이길 확률이

p_1

과

p_2=1-p_1

일 때, 각 도박꾼이 파산할 확률

P_1, P_2

는 공평한 도박(

p_1=p_2=1/2

)과 불공평한 도박(

p_1\ne p_2

)의 경우로 나누어 계산할 수 있다. 두 경우 모두

P_1+P_2=1

이므로, 둘 중 하나는 거의 확실하게 파산한다. 자세한 내용은 하위 문단을 참고하라.

2. 2. 1. 공평한 도박

두 도박꾼이 각각 초기 자산

n_1, n_2\in\mathbb N

을 가지고 일련의 도박을 하여, 패자가 승자에게 자산 1만큼을 주는 상황을 가정한다. 이때, 각 도박을 이길 확률이 동일한 (

p_1=p_2=1/2

) 경우를 '공평한 도박'이라고 한다. 이 경우 각 도박꾼이 파산할 확률은 다음과 같다.

:

P_1= \frac{n_2}{n_1+n_2}

:

P_2= \frac{n_1}{n_1+n_2}

여기서

P_1

은 첫 번째 도박꾼이 파산할 확률,

P_2

는 두 번째 도박꾼이 파산할 확률이다. 이 경우에도

P_1+P_2=1

이 성립하여, 두 도박꾼 중 한 명은 거의 확실하게 파산하게 된다.

2. 2. 2. 불공평한 도박

두 도박꾼이 하는 도박에서 각 도박꾼이 이길 확률이

p_1

과

p_2=1-p_1

으로 서로 다를 때 (

p_1\ne p_2

), 각 도박꾼이 파산할 확률은 다음과 같다.^[1]

:

P_1= 1-\frac{1-(p_2/p_1)^{n_1}}{1-(p_2/p_1)^{n_1+n_2}}

:

P_2= 1 - \frac{1-(p_1/p_2)^{n_2}}{1-(p_1/p_2)^{n_1+n_2}}

여기서

n_1

과

n_2

는 각 도박꾼의 초기 자산을 의미한다. 이 경우에도

P_1+P_2=1

이 성립하여, 두 도박꾼 중 한 명은 거의 확실하게 파산하게 된다.^[1]

2. 3. 특수한 경우

카지노가 도박꾼보다 훨씬 더 부유한 경우(

n_1\ll n_2

)를 생각해보자.

n_2\to\infty

극한을 취하면 다음과 같다.

:

P_1=\begin{cases}(p_2/p_1)^{n_1}&p_1>p_2\\1&p_1\le p_2\end{cases}

:

P_2=1-P_1

따라서 도박꾼은 승률이 50%를 초과하는 경우(

p_1>1/2

)에는 파산할 확률이 유한하고, 그렇지 않은 경우(

p_1\le1/2

)에는 거의 확실하게 파산한다. 심지어 도박이 공평한 경우(

p_1=p_2=1/2

)에도 거의 확실하게 파산한다.

3. N-플레이어 파산 문제

N-플레이어 파산 문제는 2명 이상의 도박꾼이 참여하는 경우로, 도박꾼의 파산 문제를 확장한 것이다.^[7] 각 플레이어는 초기 자본을 가지고 게임을 시작하며, 서로 돈을 따고 잃는 과정을 반복한다. 이 과정에서 최소 한 명 이상의 플레이어가 파산하면 게임이 종료된다.

이 문제는 마르코프 연쇄 방법을 사용하여 해결할 수 있지만, 플레이어 수나 초기 자본이 증가하면 계산이 매우 복잡해진다. 플레이어가 2명이고 초기 자본이 매우 큰 경우에는 브라운 운동을 이용하여 근삿값을 구할 수 있지만, 3명 이상일 때는 이 방법을 사용할 수 없다.

3. 1. 2인 경우의 해 근사

위에서 설명한 문제(2명의 플레이어)는 소위 N-플레이어 파산 문제의 특별한 경우이다.^[7] 여기에는 각각 x₁|엑스일^영어, x₂|엑스이^영어, …, x_N|엑스엔^영어 달러의 초기 자본을 가진 N명의 플레이어가 있으며, 고정된 규칙에 따라 일련의 (임의의) 독립적인 게임을 하고 서로에게서 돈을 따고 잃는다. 게임 시퀀스는 적어도 한 명의 플레이어가 파산하는 즉시 종료된다. 표준 마르코프 연쇄 방법을 적용하여 원칙적으로 이보다 더 일반적인 문제를 해결할 수 있지만, 플레이어 수나 초기 자본이 증가하면 계산이 빠르게 어려워진다. N=2이고 초기 자본 x₁|엑스일^영어, x₂|엑스이^영어가 큰 경우, 2차원 브라운 운동을 사용하여 해를 잘 근사할 수 있다. (N ≥ 3인 경우에는 불가능하다.)

3. 2. 다인수 문제의 해결 알고리즘

앞서 설명한 2인 도박꾼 문제는 다인수(N-플레이어) 파산 문제의 특수한 경우이다.^[7] 다인수 문제는

N \geq 2

명의 플레이어들이 각각

x_1, x_2, \ldots, x_N

달러의 초기 자본을 가지고 정해진 규칙에 따라 독립적인 게임을 진행하며 서로 돈을 따고 잃는 방식으로, 최소 한 명의 플레이어가 파산하면 게임이 종료된다. 표준 마르코프 연쇄 방법을 적용하여 이 문제를 해결할 수 있지만, 플레이어 수나 초기 자본이 증가하면 계산이 매우 복잡해진다. 플레이어가 2명(

N=2

)이고 초기 자본이 큰 경우에는 2차원 브라운 운동을 사용하여 해를 근사할 수 있지만, 플레이어가 3명 이상(

N \geq 3

)일 때는 불가능하다.

N \geq 3

이고 초기 자본이 제한된 일반적인 경우, Swan(2006)은 행렬-해석적 방법(파산 문제에 대한 폴딩 알고리즘)을 기반으로 하는 알고리즘을 제안하여 계산 복잡도를 크게 줄였다.

4. 역사

도박꾼의 파산 문제는 1656년 블레즈 파스칼이 피에르 드 페르마에게 쓴 편지에서 처음 등장했으며,^[8] 이는 확률 문제에 대한 더 유명한 서신 교환이 있은 지 2년 후였다.^[2] 파스칼이 제기한 문제는 같은 해 피에르 드 카르카비가 크리스티안 하위헌스에게 보낸 편지에 요약되어 있다.^[9] 하위헌스는 이 문제를 1657년 자신의 저서 《주사위 놀이에서의 논리》(De ratiociniis in ludo aleae^la)에 문제 5번으로 수록했다.^[10]

"도박꾼의 파산"이라는 용어는 이보다 훨씬 후대에 사용되기 시작했다.^[5] 일반적으로 이 문제는 유한한 자본을 가진 도박꾼이 북메이커나 카지노처럼 훨씬 더 많은 자본을 가진 상대를 எதிர்த்து 게임을 할 때 적용된다. 게임이 공정하거나 수학적으로 마팅게일인 경우에도, 결국 도박꾼이 파산할 확률은 1에 가까워진다.^[6]

4. 1. 파스칼과 페르마의 서신

이 문제는 1656년 블레즈 파스칼이 피에르 드 페르마에게 쓴 편지에서 최초로 등장한다.^[8] 같은 해 피에르 드 카르카비가 크리스티안 하위헌스에게 보낸 편지에서는 다음과 같이 이 문제가 나타난다.^[9]

갑과 을이 세 개의 주사위로 노름을 한다. 갑은 세 주사위의 합이 11인 경우 1점을 얻고, 을은 합이 14인 경우 1점을 얻는다. 만약 자신이 이겼을 경우 상대방의 점수가 0인 경우에만 자신의 점수가 1점 증가하고, 만약 상대방의 점수가 양수인 경우 대신 상대방의 점수가 1 감소한다. 최초로 점수가 12점이 되는 편이 승리한다. 갑과 을이 이길 확률은 각각 무엇인가?

하위헌스는 이 문제를 1657년 출판된 저서 《주사위 놀이에서의 논리》(De ratiociniis in ludo aleae^la)^[10]에서 문제 5번으로 다루었고, 각각 이길 확률의 비가 244,140,625 : 282,429,536,481라고 계산하였다.

파스칼이 페르마에게 보낸 편지(1656년)는 도박꾼의 파산 문제에 대한 가장 초기의 언급이다.^[2] 피에르 드 카르카비는 같은 해 하위헌스에게 보낸 편지에서 파스칼의 버전을 다음과 같이 요약했다.^[3]

두 사람이 세 개의 주사위로 게임을 하는데, 첫 번째 선수는 11이 나오면 점수를 얻고, 두 번째 선수는 14가 나오면 점수를 얻는다. 그러나 점수가 일반적인 방식으로 누적되는 대신, 상대방의 점수가 0일 경우에만 점수가 플레이어의 점수에 추가되고, 그렇지 않으면 상대방의 점수에서 뺀다. 승자는 12점에 먼저 도달하는 사람이다. 각 선수가 이길 상대적인 확률은 무엇인가?

하위헌스는 이 문제를 재구성하여 ''De ratiociniis in ludo aleae''("도박 게임에서의 추론", 1657)에 게재했다.^[4]

문제 (2-1) 각 플레이어는 12점으로 시작하고, 플레이어에게 세 개의 주사위를 성공적으로 굴리면(첫 번째 플레이어에게 11, 두 번째 플레이어에게 14가 나오면) 해당 플레이어의 점수에 1점을 더하고 다른 플레이어의 점수에서 1점을 뺀다. 게임의 패자는 0점에 먼저 도달하는 사람이다. 각 플레이어의 승리 확률은 얼마인가?

이것이 고전적인 도박꾼의 파산 공식이다. 즉, 두 명의 플레이어가 고정된 판돈으로 시작하여, 한 명 또는 다른 한 명이 0점에 도달하여 "파산"될 때까지 점수를 이전한다. 그러나 "도박꾼의 파산"이라는 용어는 훨씬 후대에 사용되었다.^[5]

4. 2. 크리스티안 하위헌스

크리스티안 하위헌스는 1657년 출판된 자신의 저서 《주사위 놀이에서의 논리》(De ratiociniis in ludo aleae^la)^[10]에서 이 문제를 다루었다.^[9] 하위헌스는 이 문제에서 갑과 을이 이길 확률의 비를 다음과 같이 계산하였다.^[9]

:244 140 625 : 282 429 536 481

하위헌스는 또한 다음과 같은 문제의 변형을 제시하였다. 각 플레이어는 12점으로 시작하고, 세 개의 주사위를 던져 특정 숫자가 나오면(첫 번째 플레이어는 11, 두 번째 플레이어는 14) 해당 플레이어의 점수가 1점 올라가고 상대방의 점수는 1점 내려간다. 0점에 먼저 도달하는 플레이어가 게임에서 패배한다. 이 경우 각 플레이어의 승리 확률은 얼마인가?^[4]

5. 결과의 원인

카지노가 도박꾼보다 훨씬 더 많은 돈을 가지고 있는 경우( $n_1 \ll n_2$ )를 생각해보자. 이 경우 $n_2\to\infty$ 극한을 취하면 다음과 같은 결과가 나온다.

: $P_1=\begin{cases}(p_2/p_1)^{n_1}&p_1>p_2\\1&p_1\le p_2\end{cases}$

: $P_2=1-P_1$

따라서, 도박꾼은 이길 확률( $p_1$ )이 1/2보다 크면 파산할 확률이 유한하고, 1/2 이하면 거의 확실하게 파산한다. 심지어 공정한 게임( $p_1=p_2=1/2$ )에서도 도박꾼은 거의 확실하게 파산한다.

5. 1. 베팅 방식과 파산의 관계

d

를 도박꾼이 어떤 시점에 가지고 있는 돈의 양이라고 하고,

N

을 임의의 양의 정수라고 하자. 도박꾼이 이겼을 때 베팅액을

\frac{d}{N}

으로 올리고, 졌을 때는 베팅액을 줄이지 않는다고 가정한다. 이러한 방식은 실제 도박꾼들 사이에서 드물지 않게 나타난다.

이 베팅 방식에서는 도박꾼을 파산시키려면 최대 ''N''번 연속으로 져야 한다. 각 베팅에서 이길 확률이 1보다 작으면 (1이면 그들은 도박꾼이 아니다), 아무리 큰 ''N''이라도 결국 연속으로 ''N''번 지는 베팅을 할 것이 거의 확실하다. 각 베팅의 기대값이 양수여도, 이겼을 때 베팅을 충분히 빠르게 늘리기만 하면 같은 결과, 즉 파산에 이르게 된다.

공정한 게임(이길 확률이

\frac{1}{2}

)을 하는 도박꾼은 결국 파산하거나 재산을 두 배로 불린다. 대칭성에 의해, 돈을 두 배로 불리기 전에 파산할 확률은

\frac{1}{2}

이다. 돈을 두 배로 불린다면, 이 과정을 반복하며 다시 파산하기 전에 돈을 두 배로 불릴 확률은

\frac{1}{2}

이다. 두 번째 과정 후, 아직 파산하지 않았을 확률은

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

이다. 이런 식으로 진행하면,

n

번의 과정 후에 파산하지 않을 확률은

\left(\frac{1}{2}\right)^n

로

0

에 접근하고,

n

번의 연속적인 과정 후에 파산할 확률은

\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^i

로

1

에 접근한다.

호이겐스의 결과는 다음 섹션에서 설명된다.

부정적인 기대값을 가진 게임을 하는 플레이어는 공정한 게임을 하는 플레이어보다 나을 것이 없으므로, 결국 파산할 것이다.

5. 2. 공정한 게임에서의 파산

카지노가 도박꾼보다 훨씬 더 많은 돈을 가지고 있다고 가정하자. 이 경우 도박꾼은 이길 확률(

p_1

)이 1/2보다 크더라도 파산할 확률이 0이 아니고, 이길 확률이 1/2 이하이면 거의 확실하게 파산한다. 심지어 공정한 게임(

p_1=p_2=1/2

)을 하는 경우에도 도박꾼은 거의 확실하게 파산한다.

도박꾼이 이겼을 때 베팅액을 늘리고, 졌을 때는 베팅액을 줄이지 않는 전략을 사용한다고 가정하자. 이길 확률이 1보다 작으면, 결국 연속으로 여러 번 져서 파산하게 된다. 각 베팅의 기대값이 양수여도, 이겼을 때 베팅을 충분히 빠르게 늘리면 같은 결과가 발생한다.

공정한 게임(승리 확률

\frac{1}{2}

)에서 도박꾼은 결국 파산하거나 재산을 두 배로 불린다. 돈을 두 배로 불리기 전에 파산할 확률은

\frac{1}{2}

이다. 돈을 두 배로 불린 후 이 과정을 반복하면, 다시 파산하기 전에 돈을 두 배로 불릴 확률은

\frac{1}{2}

이다. 두 번의 과정 후에 파산하지 않을 확률은

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

이다. 이런 식으로

n

번의 과정 후에 파산하지 않을 확률은

\left(\frac{1}{2}\right)^n

으로 0에 접근하고,

n

번의 연속적인 과정 후에 파산할 확률은

\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^i

로 1에 접근한다.

호이겐스의 결과는 다음 섹션에서 설명된다.

부정적인 기대값을 가진 게임을 하는 플레이어는 공정한 게임을 하는 플레이어보다 상황이 더 나쁘므로, 결국 파산할 것이다.

5. 3. 기대값과 파산

d

를 도박꾼이 어떤 시점에 가지고 있는 돈의 양이라고 하고,

N

을 임의의 양의 정수라고 하자. 도박꾼이 이겼을 때 베팅액을

\frac{d}{N}

으로 올리고, 졌을 때는 베팅액을 줄이지 않는다고 가정한다(실제 도박꾼들 사이에서 드문 패턴은 아니다). 이 베팅 방식 하에서, 도박꾼을 파산시키려면 최대 ''N''번 연속으로 지는 베팅이 필요하다. 각 베팅에서 이길 확률이 1보다 작으면 (1이면 그들은 도박꾼이 아니다), 아무리 큰 ''N''이라도 결국 연속으로 ''N''번 지는 베팅을 할 것이 거의 확실하다. 각 베팅의 기대값이 양수여도, 정확한 규칙을 따를 필요는 없고, 이겼을 때 베팅을 충분히 빠르게 늘리기만 하면 된다.

공정한 게임(이길 확률이

\frac{1}{2}

)을 하는 도박꾼은 결국 파산하거나 재산을 두 배로 불릴 것이다. 대칭성에 의해, 도박꾼은 돈을 두 배로 불리기 전에 파산할 확률이

\frac{1}{2}

이다. 만약 돈을 두 배로 불린다면, 이 과정을 반복하며 다시 파산하기 전에 돈을 두 배로 불릴 확률은

\frac{1}{2}

이다. 두 번째 과정 후에, 아직 파산하지 않았을 확률은

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

이다. 이런 식으로 진행하면,

n

번의 과정 후에 파산하지 않을 확률은

\left(\frac{1}{2}\right)^n

로

0

에 접근하고,

n

번의 연속적인 과정 후에 파산할 확률은

\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^i

로

1

에 접근한다.

호이겐스의 결과는 다음 섹션에서 설명된다.

부정적인 기대값을 가진 게임의 플레이어의 최종 운명은 공정한 게임의 플레이어보다 좋을 수 없으므로, 그들 또한 파산할 것이다.

6. 하위헌스의 결과 예시

크리스티안 하위헌스가 제시한 결과는 다음과 같다.

하위 섹션에서 설명하는 공정한 동전 던지기와 불공정한 동전 던지기 예시를 통해 이 문제를 이해할 수 있다.

6. 1. 공정한 동전 던지기

두 명의 플레이어가 동전 던지기를 하여 각 플레이어가 동전의 각 면이 나올 확률이 50%인 공정한 게임을 한다고 가정하자. 동전을 던질 때마다 패자는 승자에게 1페니를 준다. 게임은 한 플레이어가 모든 페니를 갖게 되면 종료된다.

동전을 던지는 횟수에 제한이 없다면, 게임이 결국 이 방식으로 종료될 확률은 1이다. 주어진 유한한 앞면과 뒷면의 문자열은 결국 확실하게 뒤집힐 것이고, 처음에는 높지만 이 문자열이 나오지 않을 확률은 지수적으로 감소하기 때문이다. 특히 플레이어는 게임이 이미 종료되었을 시점에 플레이에 있는 총 페니 수만큼 긴 앞면 문자열을 결국 뒤집을 것이다.^[1]

플레이어 1이 ''n''₁ 페니를 가지고 플레이어 2가 ''n''₂ 페니를 가지고 있다면, 플레이어 1과 2가 각각 무일푼으로 끝낼 확률 ''P''₁과 ''P''₂는 다음과 같다.

P₁ = n|n2^영어 / (n₁ + n₂)

P₂ = n|n1^영어 / (n₁ + n₂)

이에 대한 두 가지 예는 한 플레이어가 다른 플레이어보다 더 많은 페니를 가지고 있는 경우와 두 플레이어가 모두 동일한 수의 페니를 가지고 있는 경우이다.

첫 번째 경우, 플레이어 1 (''P''₁)이 8페니를 가지고 있고 플레이어 2 (''P''₂)가 5페니를 가지고 있다면, 각자가 질 확률은 다음과 같다.

P₁ = 5 / (8 + 5) = 5 / 13 = 0.3846 또는 38.46%

P₂ = 8 / (8 + 5) = 8 / 13 = 0.6154 또는 61.54%

따라서 이길 확률이 같더라도 페니를 적게 가지고 시작하는 플레이어가 실패할 가능성이 더 높다.

두 플레이어가 모두 동일한 수의 페니(이 경우 6)를 가지고 있는 두 번째 경우, 각자가 질 가능성은 다음과 같다.

P₁ = 6 / (6 + 6) = 6 / 12 = 1 / 2 = 0.5

P₂ = 6 / (6 + 6) = 6 / 12 = 1 / 2 = 0.5

6. 2. 불공정한 동전 던지기

불공정한 동전 던지기에서 플레이어 1이 이길 확률을 ''p'', 플레이어 2가 이길 확률을 ''q'' = 1 - ''p''라 하면, 각 플레이어가 파산할 확률은 다음과 같다.

:

\begin{align}P_1 & = \frac{1-(\frac{p}{q})^{n_2}}{1-(\frac{p}{q})^{n_1+n_2}} \\[5pt]P_2 & = \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\end{align}

여기서 ''P''₁은 플레이어 2가 파산할 확률, ''P''₂는 플레이어 1이 파산할 확률, ''n''₁은 플레이어 1의 초기 자금, ''n''₂는 플레이어 2의 초기 자금을 의미한다.

예상 도달 시간은 유한하므로, 각 상태에

\left(\frac{q}{p}\right)^l

값을 연관시켜 상태의 기대값이 일정하게 유지되는 마틴게일을 이용하면, 다음 방정식 시스템의 해를 구할 수 있다.

:

\begin{align}P_1 + P_2 & = 1 \\[5pt]\left(\frac{q}{p}\right)^{n_1} & = P_1 + P_2 \left(\frac{q}{p}\right)^{n_1+n_2}\end{align}

다른 방법으로, 플레이어 1이 ''n'' > 1의 돈을 가지고 시작하여 파산할 확률 ''P''(''R''_''n'')을 고려하여 재귀 관계식을 이용할 수 있다. 전체 확률의 법칙을 사용하면 다음을 얻는다.

:

P(R_n) = P(R_{n}\mid W)P(W) + P(R_{n}\mid\bar{W})P(\bar{W}),

여기서 ''W''는 플레이어 1이 첫 번째 내기에서 이기는 사건을 나타낸다. ''P''(''W'') = ''p''이고, ''P''(''W''^-) = 1 - ''p'' = ''q''이다. ''P''(''R''_''n''|''W'') = ''P''(''R''_''n''+1)는 플레이어 1이 ''n''+1의 돈을 가지고 시작하여 파산할 확률이며, ''P''(''R''_''n'' | ''W''^-) = ''P''(''R''_''n''-1)는 플레이어 1이 ''n''-1의 돈을 가지고 시작하여 파산할 확률이다.

''q''_''n'' = ''P''(''R''_''n'')으로 표기하면, 다음과 같은 선형 동차 재귀 관계식을 얻는다.

:

q_n = q_{n+1} p + q_{n-1} q,

이 식은 ''q''₀ = 1 (플레이어 1이 돈 없이 시작하면 파산 확률은 1)이고, ''q''_{''n''₁ + ''n''₂} = 0 (플레이어 1이 모든 돈을 가지고 시작하면 파산 확률은 0)임을 이용하여 풀 수 있다.

참조

_[1] 논문 The Gambler's Ruin https://www.jstor.or[...] 1909
_[2] 서적 Games, Gods, and Gambling: A History of Probability and Statistical Ideas Courier Dover Publications
_[3] 논문 Pascal's Problem: The 'Gambler's Ruin' 1983-04
_[4] 서적 Mathematics from the birth of numbers W. W. Norton & Company
_[5] 논문 An attrition problem of gambler's ruin 1979-04
_[6] 웹사이트 12.2: Gambler's Ruin https://stats.libret[...] 2018-06-25
_[7] 논문 The gambler's ruin problem with n players and asymmetric play https://www.scienced[...] 1999-08-01
_[8] 서적 Games, Gods, and Gambling: A History of Probability and Statistical Ideas https://archive.org/[...] Courier Dover Publications
_[9] 저널 Pascal’s problem: The ‘gambler's ruin’ 1983-04
_[10] 웹인용 영어 번역 http://www.stat.ucla[...] 2014-04-17

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