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등변 코호몰로지

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1. 개요

등변 코호몰로지는 위상 공간 X와 위상군 G의 작용을 고려하여 정의되는 코호몰로지 이론이다. 등변 코호몰로지는 호모토피 궤도 공간의 특이 코호몰로지로 정의되며, 이는 G의 분류 공간을 사용하여 구성된다. 등변 코호몰로지는 국소 계수를 갖는 코호몰로지의 아날로그이며, 코슐 쌍대성을 만족한다. 등변 코호몰로지는 등변 미분 형식을 사용하여 계산할 수 있으며, 국소화 정리를 통해 군 작용의 고정점 집합을 이용하여 계산할 수도 있다. 등변 코호몰로지는 등변 특성류, 주 다발의 모듈러스 스택 연구 등 다양한 분야에 응용된다.

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등변 코호몰로지

2. 정의

X위상 공간이고 G위상군일 때, 군의 작용 X\times G\to G를 생각하면, '''등변 코호몰로지''' H^\bullet_G(X)는 '''호모토피 궤도 공간'''(homotopy orbit space영어) X_{\text{h}G}의 특이 코호몰로지로 정의된다.[1]

:H^\bullet_G(X)=H^\bullet(X_{\text{h}G})

호모토피 궤도 공간은 G분류 공간 EG\to BG를 이용하여 정의된다. EGG-주다발이므로 G의 작용이 존재하고, X\times BG에 (대각) G-작용이 존재한다. '''호모토피 궤도 공간''' X_{\text{h}G}는 이 작용의 궤도 공간이다.

:X_{\text{h}G}=X\times_GEG

G-모듈 ''A''의 계수를 사용하여 등변 코호몰로지 H_G^*(X;A)를 정의할 수도 있다. 이는 아벨 군이며, 국소 계수를 갖는 코호몰로지의 아날로그이다.

''X''가 다양체이고 ''G''가 콤팩트 리 군이며, \Lambda가 실수 또는 복소수체(가장 일반적인 상황)인 경우, 등변 코호몰로지는 카르탕 모델(등변 미분 형식 참조)을 사용하여 계산할 수 있다.

브레돈 코호몰로지나 불변 미분 형식의 코호몰로지와는 혼동하지 않아야 한다. ''G''가 콤팩트 리 군이면, 평균화 인수를 통해 모든 형식을 불변하게 만들 수 있으므로, 불변 미분 형식의 코호몰로지는 새로운 정보를 주지 않는다.

코슐 쌍대성은 등변 코호몰로지와 일반 코호몰로지 사이에 성립한다.

2. 1. 호모토피 궤도 공간

위상 공간 X위상군 G군의 작용이 주어졌을 때, '''호모토피 궤도 공간'''(homotopy orbit space영어) X_{\text{h}G}는 이 작용의 궤도 공간을 호모토피 이론 관점에서 수정한 개념이다. 이는 G분류 공간 EG\to BG를 이용하여 구성된다. EGG-주다발이므로 G의 작용이 존재하며, X\times BG에 대각 G-작용을 정의할 수 있다. 호모토피 궤도 공간은 이 작용의 궤도 공간으로, 다음과 같이 표현된다.

:X_{\text{h}G}=X\times_GEG

'''호모토피 몫'''은 '''호모토피 궤도 공간''' 또는 '''보렐 구성'''이라고도 불린다. 이는 궤도 공간 ( XG의 작용으로 나눈 몫)의 "호모토피적으로 올바른" 버전을 제공하며, X호모토피 동치인 공간으로 대체하여 작용이 자유 작용이 되도록 보장한다.

이를 위해, ''G''에 대한 보편 다발 ''EG'' → ''BG''를 구성하고, 곱 ''EG'' × ''X''에 "대각" ''G''-작용을 정의한다. (''e'',''x'').''g'' = (''eg'',''g−1x'') 이 대각 작용은 ''EG''에서 자유 작용이므로 자유 작용이다. 따라서 호모토피 몫 ''X''''G''를 이 자유 ''G''-작용의 궤도 공간 (''EG'' × ''X'')/''G''로 정의한다.

호모토피 몫은 공간 ''X''에 대한 ''G''의 작용과 주 다발 ''EG'' → ''BG''로부터 얻어진 ''BG'' 위의 연관된 ''X''-다발이다. 이 다발 ''X'' → ''X''''G'' → ''BG''를 '''보렐 올'''이라고 한다.

예를 들어, ''X''를 복소 대수 곡선 (콤팩트한 리만 곡면)이라 하고, ''G''를 복소 단순 연결 반단순 리 군이라고 하자. ''X'' 위의 모든 주 ''G''-번들은 분류 공간 BG가 2-연결되어 있고 ''X''의 실수 차원이 2이므로 자명한 번들과 동형이다. ''X'' 위에 매끄러운 ''G''-번들 P_\text{sm}을 고정하면, ''X'' 위의 주 ''G''-번들과 그 위의 복소 해석적 구조로 구성된 모든 동형류의 집합 \OmegaP_\text{sm} 위의 복소 해석적 구조의 집합과 동일시될 수 있다. \Omega는 무한 차원 복소 아핀 공간이므로 수축 가능하다.

\mathcal{G}P_\text{sm}의 모든 자기 동형 사상의 군(게이지 군)이라고 하면, \mathcal{G}에 의한 \Omega의 호모토피 몫은 ''X'' 위의 복소 해석적(또는 대수적) 주 ''G''-번들을 분류한다. 즉, 이 몫은 이산 군 \mathcal{G}의 분류 공간 B\mathcal{G}이다.

주 번들의 모듈러스 스택 \operatorname{Bun}_G(X)를 몫 스택 [\Omega/\mathcal{G}]로 정의하면, 호모토피 몫 B\mathcal{G}\operatorname{Bun}_G(X)의 호모토피형이다.

2. 2. 군군 코호몰로지와의 관계

리 군군 \mathfrak{X} = [X_1 \rightrightarrows X_0]에 대한 매끄러운 다양체의 등변 코호몰로지는 리 군군의 군군 코호몰로지의 특별한 예시이다. 이는 콤팩트 리 군 G에 대한 G-공간 X가 주어졌을 때, 다음 군군과 연관되기 때문이다.

\mathfrak{X}_G = [G\times X \rightrightarrows X]


이 군군의 등변 코호몰로지 군은 군군의 드람 이중 복합체의 총화인 카르탄 복합체 \Omega_G^\bullet(X)를 사용하여 계산할 수 있다. 카르탄 복합체의 항은 다음과 같다.

\Omega^n_G(X) = \bigoplus_{2k+i = n}(\text{Sym}^k(\mathfrak{g}^\vee)\otimes \Omega^i(X))^G


여기서 \text{Sym}^\bullet(\mathfrak{g}^\vee)는 리 군 G에서 가져온 쌍대 리 대수의 대칭 대수이며, (-)^GG-불변 형식을 나타낸다. 이는 콤팩트 리 군 G에 대한 BG의 코호몰로지를 계산하는 데 특히 유용한 도구인데, 이는 다음의 코호몰로지로 계산할 수 있기 때문이다.

[G \rightrightarrows *]


여기서 작용은 점에 대해 자명하다. 그러면,

H^*_{dR}(BG) = \bigoplus_{k\geq 0 }\text{Sym}^{2k}(\mathfrak{g}^\vee)^G


예를 들어,

\begin{align}

H^*_{dR}(BU(1)) &= \bigoplus_{k=0}\text{Sym}^{2k}(\mathbb{R}^\vee) \\

&\cong \mathbb{R}[t] \\

&\text{ where } \deg(t) = 2

\end{align}

듀얼 리 대수에 대한 U(1) 작용이 자명하기 때문이다.[1]

3. 성질

매끄러운 다양체의 복소수 계수 등변 코호몰로지는 등변 미분 형식을 통해 드람 코호몰로지와 유사하게 계산된다.

G자명군인 경우, 자명군의 분류 공간은 한원소 공간 BG=EG=\{\bullet\}이다. 따라서 X\times_GEG\cong X이며, 이 경우 H^\bullet_G(X)\cong H^\bullet(X)이다. 즉, 자명군에 대한 등변 코호몰로지는 단순히 특이 코호몰로지이다.

반대로 X가 한원소 공간 X=\{\bullet\}인 경우, X\times_GEG\cong BG이므로, H^\bullet_G(X)\cong H^\bullet(BG)는 단순히 G군 코호몰로지이다.

등변 코호몰로지 H_G^*(X;A)G-모듈 ''A''의 계수로 정의할 수도 있으며, 아벨 군이다. 이는 국소 계수를 갖는 코호몰로지의 아날로그이다.

만약 ''X''가 다양체이고, ''G''가 콤팩트 리 군이며, \Lambda가 실수 또는 복소수인 경우(가장 일반적인 상황), 위 코호몰로지는 카르탕 모델(등변 미분 형식 참조)을 사용하여 계산할 수 있다.

이 구성은 브레돈 코호몰로지나 불변 미분 형식의 코호몰로지와 혼동해서는 안 된다. ''G''가 콤팩트 리 군이면, 평균화 인수를 통해 모든 형식을 불변하게 만들 수 있으므로, 불변 미분 형식의 코호몰로지는 새로운 정보를 제공하지 않는다.

코슐 쌍대성은 등변 코호몰로지와 일반 코호몰로지 사이에 성립한다.

4. 계산

매끄러운 다양체의 복소수 계수 등변 코호몰로지는 등변 미분 형식을 통해 드람 코호몰로지와 유사하게 계산된다.

만약 ''X''가 다양체이고, ''G''가 콤팩트 리 군이면, 카르탕 모델(등변 미분 형식 참조)을 사용하여 등변 코호몰로지를 계산할 수 있다.[1] 콤팩트 리 군 \(G\)에 대한 \(G\)-공간 \(X\)가 주어졌을 때, 군군 \(\mathfrak{X}_G = [G\times X \rightrightarrows X] \)의 등변 코호몰로지 군은 군군의 드람 이중 복합체의 총화인 카르탄 복합체 \(\Omega_G^\bullet(X)\)를 사용하여 계산할 수 있다. 카르탄 복합체의 항은 다음과 같다.

>\(\Omega^n_G(X) = \bigoplus_{2k+i = n}(\text{Sym}^k(\mathfrak{g}^\vee)\otimes \Omega^i(X))^G\)

여기서 \(\text{Sym}^\bullet(\mathfrak{g}^\vee)\)는 \(G\)의 쌍대 리 대수의 대칭 대수이며, \((-)^G\)는 \(G\)-불변 형식을 나타낸다.

\(BG\)의 코호몰로지는 \([G \rightrightarrows *]\) (작용은 점에 대해 자명)의 코호몰로지로 계산할 수 있다.

>\(H^*_{dR}(BG) = \bigoplus_{k\geq 0 }\text{Sym}^{2k}(\mathfrak{g}^\vee)^G\)

예를 들어 \(U(1)\) 작용이 자명하므로,

>\(H^*_{dR}(BU(1)) \cong \mathbb{R}[t]\) (\(\deg(t) = 2\))

이다.

4. 1. 국소화 정리

국소화 정리는 등변 코호몰로지를 계산하는 데 매우 유용한 도구이다. 이 정리를 이용하면, 군 작용의 고정점 집합에 대한 정보로부터 전체 공간의 등변 코호몰로지를 계산할 수 있다.

5. 응용

(응용 섹션의 내용은 '등변 특성류' 하위 섹션에서 이미 자세히 다루고 있으므로, 중복을 피하기 위해 생략한다.)

5. 1. 등변 특성류

''G''-다양체 ''M'' 위의 등변 벡터 다발 ''E''에 대해, 호모토피 몫 EG \times_G M 위에 벡터 다발 \widetilde{E}가 유도된다. 이 다발은 EG \times M 위의 다발 \widetilde{E}=EG \times E로 당겨진다. ''E''의 등변 특성류는 H^*(EG \times_G M) = H^*_G(M)의 코호몰로지 환의 완비화의 원소인 \widetilde{E}의 일반적인 특성류이다. (체른-바일 이론을 적용하기 위해 ''EG''의 유한 차원 근사가 사용된다.)

또는, 등변 체른류를 먼저 정의하고, 일반적인 경우처럼 체른류의 불변 다항식으로 다른 특성류를 정의할 수 있다. 예를 들어, 등변 선 다발의 등변 토드류는 해당 다발의 등변 첫 번째 체른류에서 평가된 토드 함수이다. (선 다발의 등변 토드류는 등변 첫 번째 체른류의 멱급수이며, 비등변적인 경우와 달리 다항식이 아니므로 등변 코호몰로지 환의 완비화에 속한다.)

비등변적인 경우, 첫 번째 체른류는 다양체 ''M'' 위의 복소 선 다발의 모든 동형류 집합과 H^2(M; \mathbb{Z}). 사이의 전단사로 볼 수 있다.[2] 등변적인 경우에는, 등변 첫 번째 체른류가 모든 등변 복소 선 다발의 동형류 집합과 H^2_G(M; \mathbb{Z}) 사이의 전단사를 제공한다.

6. 예시

G자명군일 때, 분류 공간은 한원소 공간 BG=EG=\{\bullet\}이다. 따라서 H^\bullet_G(X)\cong H^\bullet(X)이며, 이는 자명군에 대한 등변 코호몰로지가 특이 코호몰로지임을 의미한다.

반대로, X가 한원소 공간 X=\{\bullet\}일 경우, H^\bullet_G(X)\cong H^\bullet(BG)G군 코호몰로지가 된다.

리 군 G에 대한 BG의 코호몰로지는 다음 군군을 통해 계산할 수 있다.

[G \rightrightarrows *]


여기서 작용은 점에 대해 자명하다. 그러면,

H^*_{dR}(BG) = \bigoplus_{k\geq 0 }\text{Sym}^{2k}(\mathfrak{g}^\vee)^G


가 된다. 예를 들어

\begin{align}

H^*_{dR}(BU(1)) &= \bigoplus_{k=0}\text{Sym}^{2k}(\mathbb{R}^\vee) \\

&\cong \mathbb{R}[t] \\

&\text{ where } \deg(t) = 2

\end{align}


이는 듀얼 리 대수에 대한 U(1) 작용이 자명하기 때문이다.[1]

6. 1. 복소 대수 곡선 위의 주 다발

''X''를 복소 대수 곡선이라 하자. ''X''는 위상 공간으로, 복소점의 집합 X(\mathbb{C})으로 식별되며, 이는 콤팩트한 리만 곡면이다. ''G''를 복소 단순 연결 반단순 리 군이라고 하자. 그러면 ''X'' 위의 모든 주 ''G''-번들은 자명한 번들과 동형이다. 분류 공간 BG는 2-연결되어 있고, ''X''는 실수 차원 2를 가지기 때문이다. ''X'' 위에 매끄러운 ''G''-번들 P_\text{sm}을 고정하자. 그러면 ''X'' 위의 모든 주 ''G''-번들은 P_\text{sm}과 동형이다. 즉, ''X'' 위의 주 ''G''-번들과 그 위의 복소 해석적 구조로 구성된 모든 동형류의 집합 \OmegaP_\text{sm} 위의 복소 해석적 구조의 집합, 또는 동등하게는 ''X'' 위의 정칙 접속의 집합과 동일시될 수 있다(차원적 이유로 접속은 적분 가능하기 때문이다). \Omega는 무한 차원 복소 아핀 공간이므로 수축 가능하다.

\mathcal{G}P_\text{sm}의 모든 자기 동형 사상의 군(즉, 게이지 군)이라고 하자. 그러면 \mathcal{G}에 의한 \Omega의 호모토피 몫은 ''X'' 위의 복소 해석적(또는 동등하게는 대수적) 주 ''G''-번들을 분류한다. 이 몫은 정확히 이산 군 \mathcal{G}의 분류 공간 B\mathcal{G}이다.

주 번들의 모듈러스 스택 \operatorname{Bun}_G(X)를 몫 스택 [\Omega/\mathcal{G}]로 정의할 수 있으며, 그러면 호모토피 몫 B\mathcal{G}는 정의에 의해 \operatorname{Bun}_G(X)의 호모토피형이다.

6. 2. 분류 공간의 코호몰로지

G자명군일 때, 분류 공간은 한원소 공간 BG=EG=\{\bullet\}이다. 따라서 H^\bullet_G(X)\cong H^\bullet(X)이며, 이는 자명군에 대한 등변 코호몰로지가 특이 코호몰로지임을 의미한다.

반대로, X가 한원소 공간 X=\{\bullet\}일 경우, H^\bullet_G(X)\cong H^\bullet(BG)G군 코호몰로지가 된다.

리 군 G에 대한 BG의 코호몰로지는 다음 군군을 통해 계산할 수 있다.

[G \rightrightarrows *]


여기서 작용은 점에 대해 자명하다. 그러면,

H^*_{dR}(BG) = \bigoplus_{k\geq 0 }\text{Sym}^{2k}(\mathfrak{g}^\vee)^G


가 된다. 예를 들어

\begin{align}

H^*_{dR}(BU(1)) &= \bigoplus_{k=0}\text{Sym}^{2k}(\mathbb{R}^\vee) \\

&\cong \mathbb{R}[t] \\

&\text{ where } \deg(t) = 2

\end{align}


이는 듀얼 리 대수에 대한 U(1) 작용이 자명하기 때문이다.[1]

참조

[1] 서적
[2] 문서 using Čech cohomology and the isomorphism H^1(M; \mathbb{C}^*) \simeq H^2(M; \mathbb{Z}) given by the exponential function.



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